专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2021·安徽高三二模（文））已知函数 cos2 sinf x x x ，则下列说法中正确的是（ ）
A． f x 的一条对称轴为
4x
B． f x 在 ,6 2
上是单调递减函数
C． f x 的对称中心为 ,02
D． f x 的最大值为1
【答案】B
【分析】
根据诱导公式可推导得到 2f x f x
， 0f x f x ，知 AC 错误；利用二倍角公式化简
得到 22sin sin 1f x x x ，根据复合函数单调性的判断方法可知 B 正确；由二次函数型的函数最值
的求解方法可求得 max
9
8f x ，知 D 错误.
【详解】
对于 A， cos 2 sin cos2 cos2 2f x x x x x f x
，
4x 不是 f x 的对称轴，A 错误；
对于 B， 22sin sin 1f x x x ，当 ,6 2x
时， 1sin ,12x
，
令 sin x ，则其在 ,6 2
上单调递增，又 22 1y 在 1 ,12
上单调递减，
由复合函数单调性知： f x 在 ,6 2
上单调递减，B 正确；
对于 C， cos 2 2 sin cos2 sinf x f x x x x x 2cos2x 2sin x 0 ，
,02
不是 f x 的对称中心，C 错误；
对于 D， 22sin sin 1f x x x ，
sin 1,1x ，当 1sin 4x 时， max
1 1 918 4 8f x ，D 错误.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：关于函数对称性结论如下：
（1）若 f x a f b x ，则 f x 关于直线
2
a bx 成轴对称；
（2）若 f x a f b x c ，则 f x 关于 ,2 2
a b c
成中心对称.
2．（2021·山西高三三模（理））已知 1tan( ) 2
， tan( ) 2 ， 0, 2
，则 tan 等于（ ）
A． 3 B． 1
3 C． 3 或 1
3 D．1或 1
3
【答案】B
【分析】
对 1tan( ) 2
和 tan( ) 2 按照两角和差的正切公式展开计算，
可得
2 tan 1
2
2ta
tan 1 2 n
n
ta
，求出 tan 的值，最后求出 tan 的值.
【详解】
2
tan ta 1tan( ) 1 tan tan
n
，化简得
t
2 tatan 2 an
n 1
，
又 2tan ttan( ) 1 tan ta
an
n
，化简得 nt 2
2 taan 1 tan
，
则
2 tan 1
2
2ta
tan 1 2 n
n
ta
，得 2 24tan 1 tan ，
所以 tan 1 ，
又 0, 2
，则 tan 0 ， tan 1 ，则 1tan 3
.
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题计算结果时易忽略 0, 2
，从而导致错解.
3．（2021·全国高三月考（理））黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较
大部分得比值，该比值为 5 1 0.6182m ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比例得值还可
以近似地表示为 2sin18 ，则 3sin12
cos12
m
的 近似值等于（ ）
A． 1
2 B．1 C． 2 D． 3
【答案】B
【分析】
由题可得 2sin18m ，利用 sin18 sin 30 12 展开化简可得 3sin12 cos12 1cos12 cos12
m
.
【详解】
由题可得 2sin18m ，
3sin12 2sin 30 123sin12 3sin12 2sin18
cos12 cos12 cos12
m
3sin12 2sin30 cos12 2cos30 sin12 cos12 1cos12 cos12
.
故选：B.
4．（2021·江西赣州市·高三二模（文））已知函数 3sin cos 0 , 0f x x x ，
其图象两相邻对称轴间的距离为
2
，且图象向左平移
6
个单位后关于原点对称，则
12f
的值为（ ）
A． 3 B． 3 C．1 D． 1
【答案】C
【分析】
化简函数解析式为 2sin 6
f x x ，求出函数 f x 的最小正周期，可得出 的值，再由平移
后所得函数为奇函数，结合 的取值范围可得出 的值，可得出函数 f x 的解析式，代值计算可得出
12f
的值.
【详解】
3sin cos 2sin 6f x x x x
，
因为函数 f x 的图象两相邻对称轴间的距离为
2
，
则该函数的最小正周期为 2T ， 2 ，
将函数 f x 的图象向左平移
6
个单位后，得到函数 2sin 2 2sin 26 6 6y x x
的
图象，
因为函数 2sin 2 6y x
为奇函数，则 6 k k Z ，可得 6k k Z ，
0 ， 5
6
，则 22sin 2 3f x x
，
因此， 52sin 112 6f .
故选：C.
【点睛】
思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 sin + 0y A x B 或 cos + 0y A x B 的形式；
（2）将 x 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 siny x 或余弦函数 cosy x 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称
性、单调性等）解决相关问题.
5．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））已知函数 ( ) tan sin cosf x x x x ，则（ ）
A． ( )f x 的最小正周期为 2
B． ( )f x 的图象关于 y 轴对称
C． ( )f x 的图象不关于 ,02
对称
D． ( )f x 的图象关于 ( ,0) 对称
【答案】D
【分析】
A 用周期性来判断，B 用奇偶性来判断，CD 选项利用对称性来判断.
【详解】
1tan sin 22f x x x ，
A 选项， tany x 和 1 sin 22y x 的最小正周期都是 ，所以 f x 的最小正周期是 ，A 选项错误.
B 选项， tany x 和 1 sin 22y x 都是奇函数，所以 f x 是奇函数，图象关于原点对称，B 选项错误.
C 选项， 1 1 1tan sin 2 sin 22 2 2 tan 2f x x x xx
，
1 1 1tan sin 2 sin 22 2 2 tan 2 2f x x x x f xx
，
所以 ( )f x 的图象关于 ,02
对称，C 选项错误.
D 选项， 1 1tan sin 2 2 tan sin 22 2f x x x x x ，
1 1tan sin 2 2 tan sin 22 2f x x x x x f x ，
所以 ( )f x 的图象关于 ,0 对称，D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
判断函数图象关于点 ,0a 对称，则需判断 f a x f a x .
6．（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模（理））在 ABC 中， 22sin 2 2 cos 3 0A A ，若 B C ，m 0 ，
0n ，且 2 2 21 tan 2tan 1 0m B B m ， 2sin2 1C n ，则有（ ）
A． m n B． m n C． 1mn D． 2mn
【答案】A
【分析】
求出
8 4B C ， 2 sin 4m B
， 2 sin 4n C
，即得 ,m n 的大小；求出
mn sin( ) cos( )B C B C ，即得 mn 的大小.
【详解】
解：因为 22sin 2 2 cos 3 0A A ，
所以 22 1 cos 2 2 cos 3 0A A ，
整理得 2
2 cos 1 0A ，即 2cos 2A ，
由 A 为三角形内角得 3
4A ，
4B C ，
因为 B C ，
所以
8 4B C ，0 4C B ，
又 2 2 21 tan 2tan 1 m B B m
2 21 1 tan 2tan 0m B B ，
所以
2 2
2 2
1 2sin 1 sin 2 0cos cos cos
m B m B
B B B
，
所以 2 21 sin2 sin45 2m B ，
所以 2 21 sin2 (sin cos )m B B B ，
因为 2 2sin2 1 (sin cos )n C C C ， 0m ， 0n ，
所以 sin cos 2sin 4m B B B
， sin cos 2sin 4n C C C
，
则 m n ，所以 A 正确，B 错误；
(sin cos )(sin cos )mn B B C C
sin sin sin cos sin cos cos cosB C B C C B B C
sin( ) cos( ) 2B C B C ，D 错误；
又 2cos( ) cos 4 2B C ，
所以 2 2sin( ) cos( ) 22 2B C B C ，C 错误．
故选：A．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是通过三角恒等变换，求出 2 sin 4m B
， 2 sin 4n C
，三角
恒等变换关键在于“三看（看角看名看式）”“三变（变角变名变式）”.
7．（2021·新疆乌鲁木齐市·高三三模（理））已知 1sin cos6 3
，则 cos 2 3
（ ）
A． 7
9
B． 4 3
9
C． 4 3
9 D． 7
9
【答案】D
【分析】
根据条件利用正弦的和差化积公式展开化简得到 1sin 6 3
，再利用二倍角公式化简求值即可．
【详解】
1sin cos6 3
，所以 1sin cos cos sin cos6 6 3
，
即 1 3 1cos sin cos2 2 3
，
∴ 3 1 1sin cos sin2 2 3 6
，
2
2 1 7cos 2 cos 2 1 2sin 1 23 3 96 6
.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角恒等变换，解题关键是熟练掌握两角和差的正弦公式以及公式的逆用、余弦二倍
角公式及角的变换，属于常考题.
8．（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模（文））在 ABC 中， 3
4A ，若 B C ， m 0 ， 0n ，且
2 2 21 tan 2tan 1 0m B B m ， 2sin2 1C n ，则有（ ）
A． mn C． 1mn D． 2mn
【答案】A
【分析】
化简方程 2 2 21 tan 2tan 1 0m B B m 得 2 sin 4
m= B ，又 2 sin 4
n C ，根据
4
B C ，即可判断 m,n 大小关系，由 (sin cos )(sin cos )mn B B C C ，化简计算即可求取范围．
【详解】
解：因为 3
4A ，则
4B C
因为 2 2 21 tan 2tan 1 m B B m
2 21 1 tan 2tan m B B
2 2
2 2
1 2sin 1 sin2 0cos cos cos
m B m B
B B B
所以 2 1 sin 2 m B ，
所以 2 21 sin2 (sin cos )m B B B ，
又 0m ，所以 sin cos 2 sin 4
m B B= B ，
因为 2sin2 1C n ， 0n ，所以 sin cos 2 sin 4
n C C C ，
4
B C ，所以
4 4 2
B C ，则 m n
所以，A 正确，B 错误；
由 (sin cos )(sin cos )mn B B C C
sin sin sin cos sin cos cos cosB C B C C B B C
sin( ) cos( ) 2B C B C ，
又 cos( ) cos45B C ，又
4B C ，所以 2 2 22 2 mn ，即 1 22 mn ，C，D 错误；
故选：A．
9．（2021·吉林长春市·东高三其他模拟（理））已知 2sin 6 3
，则 sin 2 6
（ ）
A． 1
9
B． 1
9 C． 4 5
9
D． 4 5
9
【答案】A
【分析】
由 2 2( )2 6 6
，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得 2sin(2 ) 2sin ( ) 16 6
，即可求
值.
【详解】
由题意有： 2 2( )2 6 6
，
∴ 2cos( 2 ) sin(2 ) cos2( ) 1 2sin ( )2 6 6 6 6
，又 2sin 6 3
，
∴ 1sin 2 6 9
.
故选：A.
10．（2021·新疆高三三模（文））已知 1sin 6 3
，则 cos 2 3
（ ）
A． 7
9
B． 4 3
9
C． 4 3
9 D． 7
9
【答案】D
【分析】
根据 2cos(2 ) cos[2( )] 1 2sin ( )3 6 6
，代入即可求解.
【详解】
因为 1sin 6 3
，
由 2 21cos(2 ) cos[2( )] 1 2sin ( ) 1 2 ( )3 6 6 3
7
9
.
故选：D.
11．（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知 m R ，若定义 m 表示不超过 m 的最大整数，
如 1.7 2 ， 1 1 ， 0.6 0 ， 1.6 1 .若 23 3sin 2 3 cos2 2f x x x ， 0, 2x
，则
函数 y f x 值域为（ ）
A． 1,2 B． 1,1 C．{ }1,0,1,2- D． 1,0,1
【答案】D
【分析】
利用二倍角和辅助角公式化简得到 3sin 2 6f x x
，利用正弦型函数值域的求解方法可求得 f x
值域，根据 m 的定义，分段讨论得到 y f x 的值域.
【详解】
23 3 3 3sin 2 3 cos sin 2 cos2 3sin 22 2 2 2 6f x x x x x x
，
当 0, 2x
时， 72 ,6 6 6x
， 1sin 2 ,16 2x
， 3 , 32f x
，
当 3 ,02f x
时， 1f x ；当 0,1f x 时， 0f x ；
当 1, 3f x 时， 1f x ；
y f x 的值域为 1,0,1 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的新定义运算问题，解题关键是能够通过三角恒等变换和整体对应的方式准确
求得正弦型函数的值域.
12．（2021·山西高三二模（文））三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为
“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角 为直角
三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积 1S 与大正方形面积 2S 之比为1: 25 ，则
3cos 4
（ ）
A． 2
10
B． 2
10
C． 7 2
10
D． 7 2
10
【答案】D
【分析】
如图。由题意得 1cos sin 5DE DC EC EH DC DC ，从而可得 1sin cos 5
，给等式两
边平方化简后得 242sin cos 25
，从而可求出 7sin cos 5
，而
3 3 3cos cos cos sin sin4 4 4
2 (sin cos )2
，进而可求得答案
【详解】
由题意得 5DC EH ，因为 sinCE DC ，
1cos sin 5DE DC EC EH DC DC ，
所以 1sin cos 5
，则 11 2sin cos 25
，
所以 242sin cos 25
，
所以 2 49sin cos 1 2sin cos 25
，
因为 (0, )2
，所以 7sin cos 5
，
所以 3 3 3cos cos cos sin sin4 4 4
2 (sin cos )2
2 7 7 2
2 5 10
，
故选：D
13．（2021·新疆高三其他模拟（理））已知 0, ，1 sin2 cos2 sin ，则sin 2 （ ）
A． 3
4
B． 3
4 C． 3
8
D． 3
8
【答案】A
【分析】
根据二倍角余弦公式化简等式，最后根据平方法结合二倍角的正弦公式和同角的三角函数关系式中平方和
关系进行求解即可.
【详解】
解：∵1 cos2 sin2 sin
∴ 22sin 2sin cos sin ，因为 0,π ，所以sin 0 ，
即： 1sin cos 2
，则 2 2 21 1sin cos sin cos 2sin cos4 4
，
∴ 3sin 2 4
.
故选：A
14．（2021·新疆高三其他模拟（理））筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还
在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流量稳
定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离 h 为1.5m ，
筒车的半径 r 为 2.5m ，筒车每秒转动 rad12
，如图 1 所示，盛水桶 M 在 0P 处距水面的距离为3.5m ，9s 后
盛水桶 M 到水面的距离近似为(取 2 1.4 )（ ）
A．1.20m B．1.15m C． 0.35m D． 0.30m
【答案】B
【分析】
设 为水平方向与 0OP 的夹角，可知水桶 M 到水面的距离为 5 3sin2 2y ，由 0P 处的 y 值可构造方程求
得 4sin 5
，根据所求距离为 5 3sin 92 12 2
，利用三角恒等变换公式计算可得结果.
【详解】
由题意知：水桶 M 到水面的距离为： 5 3sin2 2y ( 为水平方向与 0OP 的夹角)
由 5 3sin 3.52 2
得： 4sin 5
，则 3cos 5
，
则9s 后水桶 M 距离水面的距离为： 5 3sin 92 12 2
，
即 5 3 5 3 3 6 2sin cos cos sin 1.152 4 2 4 2 4
.
9s 后水桶 M 距离水面的距离约为1.15m .
故选：B.
15．（2021·江西新余市·高三二模（文））若 1sin 5
，则
2
2
cos2 cos
3sin 2
的值为（ ）
A． 1
24
B． 1
24 C． 6
12
D． 6
12
【答案】A
【分析】
先对
2
2
cos2 cos
3sin 2
利用二倍角公式、诱导公式和同角三角函数的关系化简，然后代值求解即可
【详解】
解：因为 1sin 5
，
所以
2 2 2 2
2 2
2
cos2 cos 2cos 1 cos cos 1=3 cos cossin 2
2
11 cos
2n1 i
1
1 s
2
1 11 241
51
，
故选：A
16．（2021·安徽马鞍山市·高三二模（文））已知 sin 3
= 3
3
，则 cos 23
的值为（ ）
A． 2
3 B． 1
3 C． 1
3
D． 2
3
【答案】C
【分析】
已知条件由诱导公式可化为 3cos 6 3
，再由余弦的二倍角公式可解．
【详解】
解： 3sin 3 3
，
3sin cos2 6 6 3
，
2
2 3 1cos 2 2 1 2 13 6 3 3cos
．
故选：C ．
17．（2021·安徽淮南市·高三一模（理））在平面直角坐标系 xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆 O
交于点 P(x0，y0)，若 cos( 6
)= 4
5
，则 x0=（ ）
A． 4 3 3
10
B． 4 3 3
10
C． 3 3 4
10
D． 4 3 3
10
【答案】A
【分析】
由三角函数的定义知 x0=cosα，因为 cosα= cos 6 6
，所以利用两角差的余弦公式可求.
【详解】
解：由题意，x0=cosα.
α∈ ,02
，
6
∈ ,3 6
，
又 cos( 6
)= 4
5
3
2
，
6
∈ ,03
，
sin 6
= 3
5- ，
x0=cosα= cos 6 6
= cos 6
cos 6
+ sin 6
sin 6
= 4 3 3 1
5 2 5 2
= 4 3 3
10
.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键点是根据 cos( 6
)= 4
5
3
2
，缩小角的范围，从而确定 sin 6
的正负.
18．（2021·西藏拉萨市·高三一模（理））已知 5cos , ( , )5 2
， 则 tan( )4
（ ）
A． 1
3 B．3 C． 3 D． 1
3
【答案】D
【分析】
首先根据角 的余弦值及角 的范围求得角 的正切值，最后根据两角和的正切公式求解即可.
【详解】
5cos , ( , )5 2
， 2 5sin 5
tan 2,
1 tan 1 2 1tan 4 1 tan 1 2 3
.
故选：D.
19．（2021·天津河北区·高三一模）已知函数 22cos 3sin 2 1f x x x （ 0 ）的最小正周期为
，则下列说法正确的是（ ）
A． 2
B．函数 f x 的最大值为 1
C．函数 f x 在 0 6,
上单调递增
D．将函数 f x 的图象向右平移
6
个单位长度，可得到函数 ( ) 2sin 2g x x= 的图象
【答案】C
【分析】
由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用余弦函数的图像和性质即可求解．
【详解】
解：因为 22cos 3sin 2 1 cos2 3sin 2 2cos 2 3f x x x x x x
的最小正周期为 ，
所以 2
2
，解得 1 ，故 A 错误；
由于 2cos 2 3f x x
，可得 f x 的最大值为 2，故 B 错误；
在 0 6,
上， 2 ,03 3x
，故 2cos 2 3f x x
单调递增，故 C 正确；
将函数 f x 的图象向右平移
6
个单位长度，
可得到函数 22cos 2 2cos 26 3 3g x x x
，故 D 错误．
故选：C．
20．（2021·江苏淮安市·高三二模）化简可得 7sin sin12 12
（ ）
A． 1 cos 22 6
B． 1 sin 22 6
C． 1 cos 22 6
D． 1 sin 22 6
【答案】D
【分析】
利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可得解．
【详解】
7sin( )sin( ) sin( )sin[ ( )] sin( )cos( )12 12 12 2 12 12 12
1 1sin 2( ) sin(2 )2 12 2 6
．
故选：D
21．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（理））已知函数 2 22sin cos 3 sin cosf x x x x x ，判断下列给
出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个
①对任意的 xR ，都有 2
3f x f x
；
②将函数 y f x 的图象向左平移
12
个单位，得到偶函数 g x ；
③函数 y f x 在区间 7,12 12
上是减函数；
④“函数 y f x 取得最大值”的一个充分条件是“
12x ”
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
先把 f x 化简，再对①②③④一一验证：
对于①，根据解析式直接验证；
对于②，利用相位变换直接验证；
对于③，利用复合函数的单调性直接验证；
对于④，直接代入验证.
【详解】
函数 2 22sin cos 3 sin cos sin 2 3 cos2 2sin 2 3f x x x x x x x x
，
对于①， 2 22sin 2 2sin 2 23 3 3 3f x x x
2sin 2 3x f x
，所以①对；
对于②，函数 y f x 的图象向左平移
12
个单位，
得到函数 2sin 2 2cos212 3g x x x
，所以②对；
对于③，因为 7 3, 2 ,12 12 3 2 2x x
，
所以 f x 在区间 7,12 12
上是减函数，所以③对；
对于④，因为 2sin 2 212 12 3f
，所以
12f
为最大值，
即“函数 y f x 取得最大值”的一个充分条件是“
12x ”，所以④对.
故选：A.
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于 siny x 或 cosy x 的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
22．（2021·浙江嘉兴市·高三二模）若定义在 R 上的函数 f x 对任意的 ,a bR ，均有
f a b f a f b ，则称函数 f x 具有性质 P ．现给出如下函数：（1） 2 1f x x ；（2）
2f x x ；（3） sinf x x ；（4） 2xf x ．则上述函数中具有性质 P 的函数有（ ）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】A
【分析】
对（1）（3）进行验证证明；对（2）（4）举反例，即可得到答案；
【详解】
对（1）， ( ) 2( ) 1f a b a b ， ( ) ( ) 2( ) 2f a f b a b ，显然 f a b f a f b 不成立，故
（1）错误；
对（2），令 3a b ，则 ( ) (6) 36f a b f ， ( ) ( ) 2 (3) 2 9 18f a f b f ，
故（2）错误；
对（3），| sin( ) | | sin cos cos sin | | sin cos | | cos sin |a b a b a b a b a b
| sin | | cos | | cos | | sin | | sin | | sin |a b a b a b ，故（3）正确；
对（4）， 2a b ， 4( ) 2 16f a b ， 2 2( ) ( ) 2 2 8f a f b ，故（4）错误；
故选：A.
23．（2021·江西上饶市·高三二模（文））已知 1sin 6 3
， 2cos 3
，则 cos cos23
（ ）
A． 2
9 B． 2
9
C． 7
9 D． 7
9
【答案】B
【分析】
根据二倍角的余弦公式，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】
解：∵ 2cos 3
，∴
2
2 2 5cos2 2cos 1 2 13 9
，
∵ 1sin 6 3
，∴ 1cos cos sin3 2 6 6 3
，
∴ 1 5 2cos cos23 3 9 9
．
故选：B
24．（2021·陕西汉中市·高三二模（文））已知函数 ( ) sin cos ( 0)f x x x 在区间 ,2 3
上是增
函数，则 的值可以为（ ）
A． 3
4 B． 4
5 C．1 D． 2
【答案】A
【分析】
由辅助角公式得 ( ) 2 sin( )4f x x ，根据正弦函数的性质求 ( )f x 的单调递增区间，结合题设确定 的
范围，即可判断 的可能值.
【详解】
由 ( ) sin cos 2 sin( )4f x x x x ，
∴在 2 22 4 2k x k 上 ( )f x 是增函数，即 2 3 2
4 4
k kx
( )k Z ，
∴
1 3(2 )4 2
1 (2 )4 3
k
k
，得
3 42
36 4
k
k
，又 0 ，
∴ 30 4
.
故选：A.
25．（2021·陕西汉中市·高三二模（文））已知 1sin( ) 3
，那么 cos2 （ ）
A． 7
9
B． 2
9
C． 2
9 D． 7
9
【答案】D
【分析】
根据诱导公式得 1sin 3
，代入二倍角公式即可．
【详解】
因 1sin sin 3
，
所以
2
2 1 7cos2 1 2sin 1 2 3 9
．
故选：D．
26．（2021·江西萍乡市·高三二模（文））已知 tan 2 =- ，则 2sin 2 cos 的值为（ ）
A． 4
5 B． 4
5
C． 3
5 D． 3
5-
【答案】D
【分析】
利用二倍角公式，然后弦化切，即可利用已知条件计算求值．
【详解】
tan 2 ，
2
2
2 2 2
2sin cos cos 2tan 1 3sin 2 cos sin cos tan 1 5
∴ ．
故选：D．
【点睛】
方法点睛：三角函数求值问题中已知 tan 求关于sin ,cos 的代数式的值时一般利用弦公切后直接代入
tan 求值，在关于 sin ,cos 的齐次式中，常常用弦公切的方法转化为 tan 的式子．
27．（2021·江苏南通市·高三月考）已知 ， 0, ， 3 10cos 10
，若 1sin sin22 ，则
（ ）
A． 5
4
B． 2
3
C． 7
6
D． 7
4
【答案】A
【分析】
由 1sin sin22 可得 1sin[ sin[( ) ]2( )] ，然后利用两角和与差的正弦公式展开
化简可得 cos sin 3sin co 0s ，由 3 10cos 10
可得 10
10sin ，代入化简得
sin cos ，由题意可知 cos( ) 0 ，所以 tan 1 ，再结合 , 的范围可求得
结果
【详解】
由题意可知， 1sin sin22 ，可化为 1sin[ sin[( ) ]2( )] ，
展开得 1 1sin cos cos sin cos sin sin cos2 2
，则
cos sin 3sin co 0s ，
因为 ， 0, ，且 3 10cos 10
，
所以 2 10sin 1 cos 10
，
则 3 10 10sin 3 cos 010 10
，且 ,2
，
所以 sin cos ，
当 cos( ) 0 时不满足题意，所 tan 1 ，
因为 ,2
， 0, ，
所以 ,22
，则 5
4
，
故选：A.
28．（2021·四川石室中学高一月考）函数 3 1sin cos2 2f x x x ，则下列结论错误的是（ ）
A．f(x)的一个周期为 2 B． y f x 的图象关于直线 8
3x 对称
C． f x 的一个零点为
6x D． f x 在 ,2
π π
上单调递减
【答案】D
【分析】
由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．
【详解】
由已知 ( ) sin( )6f x x ，
最小正周期是 2T ， 2 也是它的一个周期，A 正确；
8 8( ) sin( ) 13 3 6f ，所以 8
3x 是一条对称轴，B 正确；
( ) sin( ) sin( )6 6f x x x ，显然
6x 时， ( ) 06f ，C 正确；
,2x
时， 5( , )6 3 6x ，x 2
3
时， 2( ) 13f ，函数在 2,2 3
上递增，在 2( , )3
上递减，
D 错误．
故选：D．
【点睛】
结论点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由用
正弦函数性质求解．在三角函数 ( ) sin( )f x A x 中若 0( )f x 是最值，则 0x x 是一条对称轴，若
0( ) 0f x ，则 0( ,0)x 是一个对称中心．
29．（2021·四川石室中学高一月考）已知锐角 , 满足 22 ,tan tan 2 33 2
，则
sin （ ）
A． 1
2 B． 3
2
C． 6 2
4
D． 6 2
4
【答案】C
【分析】
求出 tan( )2
，由两角和的正切公式展开，结合已知求得 tan 2
和 tan ，然后求得
sin ,cos ,sin ,cos ，再由两角差的正弦公式计算．
【详解】
由 22 3
得
2 3
，所以
tan tan2tan 32 1 tan tan2
，
又 tan tan 2 32
，所以 tan tan 3 32
，
由
tan tan 3 32
tan tan 2 32
，解得
tan 2 32
tan 1
，或
tan 12
tan 2 3
（舍去，此时 不是锐角），
tan 1 ， 是锐角，
4
， 2sin cos 2
22
2tan 2(2 3) 12sin 21 (2 3)1 tan 2
，则 3cos 2
，
所以 2 3 2 1 6 2sin( ) sin cos cossin 2 2 2 2 4
．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键
是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．．
30．（2021·四川石室中学高一月考）若 0, ,sin cos 4cos2 ,2
则 sin2 （ ）
A．15
16 B． 7
8 C． 31
16
D． 15
32
【答案】A
【分析】
由余弦的二倍角公式变形后求得 cos sin ，平方后结合正弦的二倍角公式可得．
【详解】
因为 (0, )2
，sin cos 0 ，
2 2sin cos 4cos2 4(cos sin ) ，所以 1cos sin 4
，
平方得 2 2 1cos 2sin cos sin 16
， 11 sin 2 16
， 15sin 2 16
．
故选：A．
31．（2021·安徽黄山市·高三二模（理））若 1cos 6 4x
，则 sin 2 6x
（ ）
A． 15
8
B． 7
8 C． 15
8
D． 7
8
【答案】D
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简，即
sin 2 sin 2 cos26 6 2 6x x x
22cos 16x
，代值计算即可
【详解】
解：因为 1cos 6 4x
，
所以sin 2 sin 2 cos26 6 2 6x x x
22cos 16x
212 14
7
8
．
故选：D．
32．（2021·全国高三月考（理））若角 顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 2 0x y
上，则 π πsin cos4 4
（ ）
A． 3
5
B． 4
5
C． 3
10
D． 3
10
【答案】C
【分析】
先由已知求得 tan 2 =- ， 2 1cos 5
，再运用诱导公式和三角恒等变换化简代入计算可得选项.
【详解】
因为角 终边在直线 2 0x y 上，所以 tan 2 =- ，∴ 2 1cos 5
．
∴ π π π π 1 π πsin cos sin cos 2sin cos4 4 4 4 2 4 4
1 πsin 22 4
2 21 π 1 1 1 3sin 2 cos2 2cos 1 cos2 2 2 2 2 10
．
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解决本题的类型的问题，关键在于角的终边得出角的三角函数值，并且根据三角函数的诱导公
式和三角恒等变换化简代入求值.
33．（2021·全国高三月考（理））将函数 sin cos sin 1 0x x xf x 的图象上所有的点横坐
标扩大为原来的 2 倍得 y g x 的图象，若 g x 在 2,6 3
上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． 0 2 B． 3 22
C． 3 15
2 8
D．15 28
【答案】C
【分析】
利用二倍角和辅助角公式化简得到 2 1sin 22 4 2
f x x ，由三角函数的伸缩变换得到
2 1sin2 4 2g x x
；利用 2,6 3x
可求得
4x 的范围，将其放入 siny x 的单调递减区
间，可构造不等式组求得结果.
【详解】
2 1 1 cos2sin cos sin 1 sin 2 12 2xf xx xx x 1 1 1sin 2 cos22 2 2x x
2 1sin 22 4 2x
，
2 1sin2 4 2g x x
，
当 2,6 3x
时， 2,4 6 4 3 4x
，
又 g x 在 2,6 3
上单调递减，
2 3 23 4 2
26 4 2
k
k Z
k
，
解得：
153 8
312 2
k
k Z
k
，当 0k 时，满足题意，即 3 15
2 8
.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：根据正弦型函数 siny A ωx φ 在区间内的单调性求解参数范围的基本方法是：利用 x 的范
围求得 x 的范围，将 x 整体放入 siny x 对应的单调区间中，构造不等关系求得参数范围.
34．（2021·安徽高三月考（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与直线 1
3y x
重合，则 1 cos2 sin 22
的值为 （ ）
A． 3
2 B． 1
5 C． 3
2
D． 1
5
【答案】A
【分析】
先利用三角函数的定义计算出sin ,cos ，再利用二倍角公式求出sin 2 ,cos 2 ，即可求出
1 cos2 sin 22
的值.
【详解】
在角α的终边上任取一点 P，记 | |r OP ,
当 P 在第一象限时，不妨取 3,1P ，则 2 2| | 3 1 10r OP ，
根据三角函数的定义得： 1 3sin ,cos ,
10 10
y x
r r
由二倍角公式得： 1 3 3sin 2 2sin cos 2 510 10
，
2
2 3 4cos2 2cos 1 2 1 510
.
所以
411 cos2 3 15 35sin 22 2 5 10 2
.
当 P 在第三象限时，不妨取 3, 1P ，则 2 2| | 3 1 10r OP ，
根据三角函数的定义得： 1 3sin ,cos ,
10 10
y x
r r
由二倍角公式得： 1 3 3sin 2 2sin cos 2 510 10
，
2
2 3 4cos2 2cos 1 2 1 510
.
所以
411 cos2 3 15 35sin 22 2 5 10 2
.
综上所述：1 cos2 3sin 22 2
故选：A.
【点睛】
(1) 三角函数值的大小与点 P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；
(2)利用三角公式求三角函数值的关键：选择合适的公式进行化简求值．
35．（2021·安徽高三月考（文））已知 ， 都是锐角，且满足 1 sincos tan
，则（ ）
A．3 2
B．3 2
C． 2 2
D． 2 2
【答案】C
【分析】
根据同角三角函数关系中的商关系，逆用两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质、诱导公式进行求解即
可.
【详解】
1 sin sincos cos tan 1 sin cos 1 sintan cos
cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos ，
即sin( ) cos sin( )2
，因为 ， 都是锐角，
所以 0 ， 0 2 2
，因此有
2
或
2
，
当
2
时，可得 2 2
；
当
2
时，可得
2
舍去，
故选：C
36．（2021·河南郑州市第九中学高一期中）已知函数 ( ) sin 2 cos2f x x a x 的图象的一条对称轴是直线
6x ，则函数 ( ) sin 2 cos2g x a x x 的图象（ ）对称
A．关于直线
12x 对称 B．关于点 ,012
对称
C．关于直线
2x 对称 D．关于点 ,02
对称
【答案】A
【分析】
根据三角函数的和差公式、辅助角公式将函数进行化简求值，利用三角函数的对称性的性质即可求解.
【详解】
2( ) sin2 cos2 1 sin 2f x x a x a x （其中 tan a ），
因为直线
6x 是函数 f x 的对称轴，
所以有 2 6 2k （ k Z ），
所以
6k （ 3), tan 3k Z a ，
3 2 3( ) sin2 cos2 cos 23 3 6g x x x x
，
2 3 2 3cos3 6 6 3( )12g
,
所以 ( )g x 关于直线
12x 对称，故 A 正确，B 错误；
2 3 cos 1( 6) 32g
，
所以 ( )g x 不关于直线
2x 对称，也不关于点 ,02
对称，
故 C，D 错误.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数变换公式、三角函数的性质是解题关
键.
37．（2021·全国高三专题练习）若 lg tan 1 ， 3log tan 2 ，则 ( )tan - =（ ）
A． 19
89
B． 1
91 C． 1
89
D． 1
91
【答案】B
【分析】
根据指数与对数的关系得到 tan ， tan ，再根据两角差的正切公式计算可得；
【详解】
解：因为 lg tan 1 ， 3log tan 2
所以 tan 10 ， 2tan 3 9
所以 ( ) tan tan 10 9 1tan 1 tan tan 1 10 9 91
- -- = = =+ + ´
故选：B
二、多选题
38．（2021·江苏高三月考）由倍角公式 2cos2 2cos 1x x ，可知 cos2x 可以表示为 cos x 的二次多项式．一
般地，存在一个 *( )n nN 次多项式 2
0 1 2 0 1 2,) ,( ( ), , n
n n nP t a a t a t a t a a a a R ，使得
cos cos( ) nnx P x ，这些多项式 ( )nP t 称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（ ）
A． 3
3 4 3( ) P t t t B．当 3n 时， 0 0a
C． 1 2 2 2 na a a a D． 5 1sin18 4
【答案】ACD
【分析】
根据题目定义以及二倍角公式即可判断 A 正确，令
2x ，可得 0 cos 2
na ，可判断出 B 错误，令 0x 可
得 0 1 1 na a a ，结合 0 0, 1 a 可判断出 C 正确，根据二倍角公式可知 5 1sin18 4
，D 正确．
【详解】
因为 3 2cos3 cos2 cos sin 2 sin 2cos cos 2sin cos x x x x x x x x x ，
所以 3 2 3cos3 2cos cos 2 1 cos cos 4cos 3cos x x x x x x x ，即 3
3 4 3( ) P t t t ，故选项 A 正确；
令
2x ，则 cos 02
t ，则 0 cos 2
na ，则 0 0, 1 a ，即选项 B 错误；令 0x ，则 cos 1t x ，
可得 0 1 1 na a a ，所以 1 0,1,2 na a ，则选项 C 正确；设sin18 x ，则
22 2cos72 2cos 36 1 2 1 2 1 x x ，将 5 1
4x 代入，方程成立，即选项 D 正确．
故选：ACD．
39．（2021·浙江高一期末）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，给出下列命题，其中正确
的命题为（ ）
A．若 A B C ，则 sin sin sinA B C ；
B．若 40, 20, 25a b B ，则满足条件的 ABC 有两个；
C．若 0 tan tan 1A B ，则 ABC 是钝角三角形；
D．存在角 A，B，C，使得 tan tan tan tan tan tanA B C A B C 成立；
【答案】ABC
【分析】
A.利用正弦定理判断该选项正确；
B. 由于 40sin 25 40sin 30 20 ，因此满足条件的 ABC 有两个，所以该选项正确；
C. 可以证明 tan 0C ， ABC 是钝角三角形，所以该选项正确；
D. 可以证明 tan A tan B tan tan tan tanC A B C ，所以该选项不正确.
【详解】
A.若 A B C ， a b c ，由正弦定理可得：
sin sin sin
a b c
A B C
，则sin sin sinA B C ，所以该
选项正确；
B. 若 40a ， 20b ， 25B ，则 40sin 25 40sin 30 20 ，因此满足条件的 ABC 有两个，所以该
选项正确；
C. 若 0 tan A tan 1B ，则 tan tantan tan( ) 01 tan tan
A BC A B A B
， tan 0C ， (0, )C ， ( , )2C ，
ABC 是钝角三角形，所以该选项正确；
D. 由于当
2C 时， tan tantan tan( ) 1 tan tan
A BC A B A B
， tan A tan B tan tan tan tanC A B C ，所以
该选项不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是灵活利用和角的正切公式 tan tantan( ) 1 tan tan
A BA B A B
，只有灵活运用该公式
才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.
40．（2021·河北秦皇岛市·高三二模）已知函数 ( ) cos 3sin ( 0)f x x x 的部分图象如图所示，则
下列选项正确的是（ ）
A． 2
B．函数 ( )f x 的单调增区间为 7 , ( )12 12k k k Z
C．函数 ( )f x 的图象关于 7 ,012
中心对称
D．函数 ( )f x 的图象可由 2cosy x 图象向右平移
6
个单位长度得到
【答案】AC
【分析】
由图象求出函数 ( )f x 的解析式，然后逐一去解答各选项的问题而得解.
【详解】
( ) cos 3sin 2cos 3f x x x x
由图象可知 3 5 3
4 3 12 4
T
，所以 2T ，所以 2 ，故 A 选项正确
函数 ( )f x 的解析式为 ( ) 2cos 2 3f x x
，
令 2 2 2 ( )3k x k k Z 得： 2
3 6k x k ，
故 ( )f x 的单调增区间为 2 , ( )3 6k k k Z
，故 B 选项错误
因为 7 012f
，故 C 选项正确
因为 ( )f x 图象可由 2cosy x 图象向左平移
6
个单位长度得到，故 D 选项错误
故选：AC
【点睛】
已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，关键是求待定系数ω和φ，一般是由周期求出ω；
由图象上的最高(低)点或者零点确定 φ值.
41．（2021·江苏南通市·高三月考）如图，已知函数 siny A ωx φ ( 0A ， 0 2
)的图象与 x 轴
交于点 A， B ，与 y 轴交于点C ，若 7OB OA ， 50 2AB ，且 9tan 8ACB ，则下列说法正确的
是（ ）
A． f x 的最小正周期为 4
B．将 f x 的图象向左平移
6
个单位后的图象关于原点对称
C． f x 在区间 1,1 上的值域为 2, 3
D． f x 在区间 6,7 上单调递增
【答案】AC
【分析】
先利用正切定义、两角差的正切公式和 9tan 8ACB 得到OC 与 OA 关系，设 OC n ，OA m ，结合
点 ,0A m 和 6 2
TAB m 求得 , ,n m ，再结合 50 2AB ，确定 2sin 2 6f x x
，利用三角
函数图象与性质逐一判断选项的正误即可.
【详解】
由图象可知， tan tanOB OAOCB OCAOC OC
， ，
所以 tan tanACB OCB OCA
2
9
81
OB OA
OC OB OAOC OC
OB OA OC OA OB
OC OC
，
由 7OB OA 代入整理得 2 23 16 21 0OC OA OC OA ，即 3 7 3 0OC OA OC OA ，设
OC n ，OA m ，则 7
3
mn 或 3n m ，
由图象中点 ,0A m ，可知 2sin 0m ，即 2m k ， k Z ，
又因为 6 6 2
TAB OB OA OA m
，所以
6m ，则 2 6k ，k Z ，因为
2
，
所以取 0k ，
6
，所以 2sin 6y f x x
，
则 0 2sin 16n f
，即 1n ，则 1
3m 或 3
7m ，
当 3
7m 时， 18 56 7 2AB m ，所以舍去；
当 1
3m 时， 56 2 2AB m ，满足题意，故 2 2
2 6 2T AB m
，则 2sin 2 6f x x .
对于选项 A，其最小正周期
2 4
2
T
， A 正确；
对于选项 B， f x 的图象向左平移
6
个单位后为
2
( ) 2sin 2sin2 6 6 2 12 6g x x x
，
显然 (0) 0g ，图象不关于原点对称，B 错误；
对于选项 C， 1,1x 时，则 2 ,2 6 3 3x
，所以 2sin 2, 32 6x
， C 正确；
对于选项 D， 6,7x 时， 17 10,2 6 6 3x
， f x 单调递减， D 错误.
故选：AC.
【点睛】
思路点睛：
有关三角函数 sin( )y A x 问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最
高点或最低点确定 A，再根据周期或 1
2
周期或 1
4
周期求出 ，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，
求出满足条件的 值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，
根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求 或 的值或最值或范围等.
42．（2021·湖北高三二模）已知 为第一象限角， 为第三象限角，且 3sin 3 5
， 12cos 3 13
，
则 cos( ) 可以为（ ）
A． 33
65
B． 63
65
C． 33
65 D． 63
65
【答案】CD
【分析】
利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对应的正余弦值，将角
进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果.
【详解】
因为 为第一象限角，
所以 (2 ,2 ),2k k k Z ， 5(2 ,2 ),3 3 6k k k Z ，
因为 3sin 3 5
，所以 3 3 sin5 2 3
，
所以
3
是第二象限角，所以 4cos 3 5
，
为第三象限角，
所以 3(2 ,2 ),2k k k Z ， 2 7(2 ,2 ),3 3 6k k k Z ，
因为 12cos 3 13
，所以
3
是第二象限角或第三象限角，
当
3
是第二象限角时， 5sin 3 13
，
此时 cos( ) cos[( ) ( )]3 3
cos( )cos( ) sin( )sin( )3 3 3 3
4 12 3 5 33( ) ( )5 13 5 13 65
，
当
3
是第三象限角时， 5sin 3 13
，
此时 cos( ) cos[( ) ( )]3 3
cos( )cos( ) sin( )sin( )3 3 3 3
4 12 3 5 63( ) ( ) ( )5 13 5 13 65
，
故选：CD.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值
时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.
第 II 卷（非选择题）
三、解答题
43．（2021·上海高三二模）设函数 lg 1 cos2 cosf x x x ， 0, 2
（1）讨论函数 y f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）设 0 ，解关于 x 的不等式 3 04 4f x f x .
【答案】（1）答案见解析；（2） 3 3 52 ,2 2 ,24 4 4 4k k k k ， k Z .
【分析】
（1）应用分析法：若 ( )f x 为偶函数有 f x f x ，易得 2sin sin 0x 恒成立；若 ( )f x 为奇函数有
0 0 0f x f x ，易得 2 cos 0 恒成立；再根据 的取值范围即可确定 ( )f x 分别为奇、偶函数是
否能成立.
（2）由函数不等式，将自变量代入化简得 2cos cos 04x
，结合题设及余弦函数的性质即可求解
集.
【详解】
（1）由对数的性质，得1 cos2 0x ，
∴ cos2 1x ，即 x k k Z ，故定义域关于原点对称，
1、偶函数，则有 f x f x ，即 lg 1 cos2 cos log 1 cos2 cosx x x x ，可
得 cos cosx x ，
∴整理得：要使 2sin sin 0x 对一切 x k k Z 恒成立，在 0, 2
中有 0 .
2、奇函数，则定义域内，任意 0x 有 0 0 0f x f x ，如 0 4x ，
∴ 04 4f f
，而 lg 1 cos( ) cos cos4 2 4 4f
，
lg 1 cos cos =cos4 2 4 4f
，
∴ 2 cos 0 ，显然在 [0, )2
上不成立，
综上，当 0 时为偶函数；当 0, 2
时既不是奇函数又不是偶函数.
（2）由 3 04 4f x f x
，代入得
3 3lg 1 cos2 cos lg 1 cos2 cos 04 4 4 4x x x x
，
∴ 3lg 1 sin 2 cos lg 1 sin 2 cos 04 4x x x x
，化简为
cos cos 04 4x x
，展开整理得： 2cos cos 04x
，
∵ 0, 2
，即 cos 0 ，
∴可得 1 1 2
2
cos 04
, ,4
3
4
x
x k k Z k Z
x k
∴解集为 3 3 52 ,2 2 ,24 4 4 4k k k k ， k Z .
【点睛】
关键点点睛：
（1）利用分析法，假设 ( )f x 为奇或偶函数，将问题转化为说明在已知 的范围中是否有使 2sin sin 0x 、
2 cos 0 成立的区间即可.
（2）将自变量代入函数式，结合三角恒等变换化简，根据余弦函数的性质求解集.
44．（2021·江苏高三月考）在① 4 sin cos 3a B A b ，② 2 2 2sin sin ( )sin b B c C b c A ，
③ 3sin cos b aA A a b
．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出
cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 1cos 3C ，________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】
若选①，则由正弦定理可得 4sin sin cos 3sinA B A B ，化简后可求出角
6A 或
3
，再由 1cos 3C 求
出 2 2sin 3C ，然后由 cos cos( )B A C 可求出 cos B 的值；
若选②，则由正弦定理得 3 3 2( ) b c b c a ，即可得 2 2 2b c bc a ，再利用余弦定理可求得 cos A，
从而可求出角
3A ，再由 1cos 3C 求出 2 2sin 3C ，然后由 cos cos( )B A C 可求出 cos B 的值；
若选③，由 3sin cos b aA A a b
结合辅助角公式和基本不等式可得sin A 16
，则可求出
3A ，
而利用基本不等式时有 a b ，从而可得三角形为等边三角形，与 1cos 3C 相矛盾，则可得问题中的三角
形不存在
【详解】
选①：因为 4 sin cos 3a B A b ，由正弦定理得 4sin sin cos 3sinA B A B ，
所以 (0, )B ，所以sin 0B ，
所以 4sin cos 3A A ， 3sin 2 2A ，
又 (0, )A ， 2 (0,2 )A ，所以 2 3
A 或 2
3
，即
6A 或
3
．
因为 1cos 3C ， (0, )C ，所以 2 2 2sin 1 cos 3C C ．
当
6A 时， cos cos( )B A C
3 1 1 2 2 2 2 3cos 6 2 3 2 3 6C
，
当
3A 时， cos cos( )B A C
1 1 3 2 2 2 6 1cos 3 2 3 2 3 6C
，
因此 cos B 的值为 2 2 3
6
或 2 6 1
6
．
选②：因为 2 2 2sin sin ( )sin b B c C b c A ，
由正弦定理得 3 3 2( ) b c b c a ，
因为 0b c ，所以 2 2 2b c bc a ，
所以
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 (0, )A ，所以
3A ．
因为 1cos 3C ， (0, )C ，所以 2 2 2sin 1 cos 3C C ，
所以 cos cos( )B A C
1 1 3 2 2 2 6 1cos 3 2 3 2 3 6C
，
因此 cos B 的值 2 6 1
6
．
选③：因为 3sin cos b aA A a b
，所以 2sin 6
b aA a b
，
因为 2 2sin 2 26
b a b aA a b a b
，
于是 2b a
a b
，即 a b ；且 2sin 26A
，即 sin 16A
，
注意到 (0, )A ， 7,6 6 6A
，
因此
6 2A ，即
3A ，
于是 ABC 为等边三角形，
因此 1cos 2C 与 1cos 3C 相矛盾，
故 ABC 不存在．
【点睛】
关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利
用正弦定理进行边角互化，从而可求出角 A 的值，再结合三角函数恒等变换公式求出 cos B 的值，考查计算
能力，属于中档题
45．（2021·浙江高一期末）在①函数 1( ) sin(2 ) 0,| |2 2f x x
的图象向左平移
12
个单位长
度得到 ( )g x 的图象， ( )g x 的图象关于原点对称：②向量 ( 3sin ,cos2 )m x x ， 1 1cos ,2 4n x
，
0 ， ( )f x m n
ur r
；③函数 1 ( ) cos sin ( 0)6 4f x x x
这三个条件中任选一个，补充在
下面问题中，并解答问题.已知________，函数 ( )f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
．
（1）若 0 2
，且 3sin 2
，求 ( )f 的值；
（2）求函数 ( )f x 在[0,2 ] 上的单调递减区间.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1） 1( ) 2f ；（2） 5,3 6
， 4 11,3 6
.
【分析】
（1）选择条件①时，首先根据对称轴可得三角函数的最小正周期，进而可得 1 ，再根据图象向左平移
12
后关于原点对称可得
6k ，进而根据其已知范围可得
6
，所以有 1 sin 22 6f x x
，再
根据已知条件 0 2
及 3sin 2
得
3
，代入 ( )f x 可得结果；选择条件②时，根据向量数量积的
坐标运算及三角函数倍角公式、辅助角公式可得 1 sin 22 6f x x
，利用对称轴可得三角函数的最
小正周期，进而可得 1 ，所以有 1 sin 22 6f x x
，下同选择条件①；选择条件③时，根据三角
函数和与差的公式及三角函数倍角公式、辅助角公式变形可得 1 sin 22 6f x x
，以下同选择条件①；
（2）根据 siny x 的单调递减区间可得 32 2 22 6 2k x k ， k Z ，解不等式组可得
1 sin 22 6f x x
的单调递减区间，令 k 为整数，可得 ( )f x 在[0,2 ] 上的单调递减区间.
【详解】
（1）选条件①时，
∵ 1( ) sin(2 ) 0,| |2 2f x x
的图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
，
∴ 2 =2T ，而 0 ，∴ 22 2 ， 1 ，
∵ ( )f x 的图象向左平移
12
个单位长度得到 ( )g x 的图象，
∴ 1 1( ) sin 2 = sin 22 12 2 6g x x x
，
∵ ( )g x 的图象关于原点对称，
∴
6 k ，∴
6k ，
∵| | 2
，∴
6
，
∴ 1( ) sin 22 6f x x
，
∵ 0 2
，且 3sin 2
，∴
3
，
∴ 1 1 1sin 2 sin 22 6 2 3 6 2f .
选条件②时，
3 1( ) sin cos cos22 4f x m n x x x
3 1sin 2 cos24 4x x
1 3 1sin 2 cos22 2 2x x
1 sin 22 6x
，
∵ ( )f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
，
∴ 2 =2T ，而 0 ，∴ 22 2 ， 1 ，
∴ 1( ) sin 22 6f x x
，以下同①；
选条件③时，
1 ( ) cos sin 6 4f x x x
3 1 1cos sin cos2 2 4x x x
23 1 1sin cos cos2 2 4x x x
3 1= sin 2 cos 24 4x x
1 3 1= sin 2 cos22 2 2x x
1= sin 22 6x
，以下同①.
（2）由 32 2 22 6 2k x k ， k Z ，
解得 5
3 6k x k ， k Z ，
令 0k ， 5
3 6x ；
令 1k ， 4 11
3 6
π πx .
∴函数 ( )f x 在[0,2 ] 上的单调递减区间为 5,3 6
， 4 11,3 6
.
46．（2021·浙江高一期末）已知函数 ( ) 2sin cos 2 3 sin cos4 4f x x x x x
（1）求函数 ( )f x 的对称轴方程；
（2）将函数 ( )f x 的图象向右平移
3
个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象，当 0, 2x
，求 ( )g x 的值域．
【答案】（1）对称轴方程为 x 2 12
k ，k∈Z．（2）[ 3,2]
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数 f（x）的对称轴方
程．(2)由平移变化得 ( )g x 的解析式，再利用整体换元法求值域
【详解】
（1）∵函数 f（x）＝2sinxcosx+2 3 sin（x 4
）cos（x 4
）
＝sin2x 3 sin（2x 2
）＝sin2x 3 cos2x＝2sin（2x 3
），
∴令 2x 3
kπ 2
，求得 x 2 12
k ，k∈Z，故函数 f（x）的对称轴方程为 x 2 12
k ，k∈Z．
（2） ( )=f 2sin 2 2sin 23 3 3 3g x x x x
令 22 [ , )3 3 3t x 则 [2s n ,2]i 3t ，故 ( )g x 的值域为[ 3,2]
47．（2021·浙江高一期末）已知 ( ) 2cos (sin 3 cos ) 3f x x x x ．
（1）求函数 ( )f x 的最小正周期及单凋递减区间；
（2）求函数 ( )f x 在区间[ ,0]2
的值域．
【答案】（1）最小正周期是 ，单凋递减区间是 5 11, ,12 12k k k Z
；（2） 2, 3 .
【分析】
先利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为 2sin 2 3f x x
，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
( ) 2cos (sin 3 cos ) 3f x x x x ，
22sin cos 2 3 cos 3x x x ，
sin 2 3 cos2x x ，
2sin 2 3x
．
（1）函数 ( )f x 的最小正周期 2
2T ，
令 32 2 2 ,2 3 2k x k k Z ，
解得 5 11 ,12 12k x k k Z ，
所以函数的单凋递减区间是 5 11, ,12 12k k k Z
；
（2）因为 [ ,0]2x ，
所以 42 3 3 3x
， ，则 3sin 2 1,3 2x
，
所以 2sin 2 2, 33x
，
所以函数的值域是 2, 3 ．
【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 2T
，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T
.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t＝ωx＋φ，将其转化
为研究 y＝sin t 的性质．
48．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））设 a 为常数，函数 sin 2 cos 2 2 1f x a x x
（ xR ）
（1）设 3a ，求函数 y f x 的单调递增区间；
（2）若函数 y f x 为偶函数，求此函数的值域.
【答案】（1） ,3 6k k
， k Z ；（2） 0,2 .
【分析】
（1）化简 ( )f x ，利用正弦函数的增区间可求出 ( )f x 的增区间；
（2）利用 ( ) ( )f x f x 对 xR 恒成立可求出 0a ，再根据余弦函数的值域可求出结果.
【详解】
（1）当 3a 时， 3sin 2 cos2 1 2sin 2 16f x x x x
由 2 2 22 6 2k x k ， k Z ，
得
3 6k x k ， k Z ，此函数的单调递增区间为 ,3 6k k
， k Z .
（2）定义域 D R ，因为函数 y f x 为偶函数，所以对于任意的 xR ，均有 f x f x 成立，
即 sin 2 cos 2 2 1 sin 2 cos 2 2 1a x x a x x
也即 2 sin 2 0a x 对于任意实数 x 均成立，只有 0a ，
此时 cos2 1f x x ，
因为 1 cos2 1x ，
所以 0 1 cos2 2x ，故此函数的值域为 0,2 .
【点睛】
关键点点睛：（2）中，利用 ( ) ( )f x f x 对 xR 恒成立可求出 0a 是解题关键.
49．（2021·浙江台州市·高三二模）已知函数 ( ) 3sin cosf x x x .
（Ӏ）求函数 ( )f x 的单调递增区间；
（ӀӀ）若 8 5( ) , [ , ]5 6 6f ，求sin 的值.
【答案】（Ⅰ） 2 2 , 23 3k k
， k Z ；（Ⅱ） 4 3 3
10
.
【分析】
（1）先用辅助角公式变形函数为 ( ) 2sin 6f x x
，再把
6x 带入函数单调递增区间，分离出 x 即可
得解；
（2）由 8( ) 5f ，即 4sin 6 5
，根据 的范围求出 3cos 6 5
，带入
sin sin 6 6
即可得解.
【详解】
（Ⅰ） ( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x
令 2 22 6 2k x k ， k Z
得 2 2 23 3k x k ， k Z ，
( )f x 的单调增区间为 2 2 , 23 3k k
， k Z ；
（Ⅱ） 8( ) 5f ，即 4sin 6 5
，
5,6 6
， ,6 3
，
又 4 3sin sin6 5 2 3
，
所以 2 ,6 3
，得 3cos 6 5
sin sin sin cos cos sin6 6 6 6 6 6
4 3 3
10
.
50．（2017·浙江绍兴市·高三二模）已知函数 22sin cos 2 3f x x x
．
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求 f x 在 0, 2
上的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 0 3
， ．
【分析】
（Ⅰ）先化简 1 sin 2 6f x x
，再利用公式 2T
可求最小正周期；
（Ⅱ）解不等式 2 2 22 6 2k x k ， k Z ，可求 f x 在 0, 2
上的单调递增区间．
【详解】
解：（Ⅰ）因为 2cos2 1 2sinx x
所以 22sin cos 2 3f x x x
1 31 cos2 cos2 sin 22 2x x x
1 sin 2 6x
．
故 f x 的最小正周期为 ．
（Ⅱ）由 2 2 22 6 2k x k ， k Z ，
得
6 3k x k - + ， k Z ．
故 f x 在 0, 2
上的单调递增区间为 0 3
， ．
51．（2021·江苏高一期中）对于集合 1 2, , , nA 和常数 0 ，定义：
2 2 2
1 0 2 0 0cos cos cos n
n
为集合 A 相对的 0 的“余弦方差”．
（1）若集合 ,3 4A
， 0 0 ，求集合 A 相对 0 的“余弦方差”；
（2）判断集合 2, ,3 3A
相对任何常数 0 的“余弦方差”是否为一个与 0 无关的定值，并说明理由；
（3）若集合 , ,4A
， [0, ) ， [ ,2 ) ，相对任何常数 0 的“余弦方差”是一个与 0 无关的
定值，求出 、 ．
【答案】（1） 3
8
；（2）证明见解析；定值 1
2
；（3） 7 23,12 12
或 11 19,12 12
.
【分析】
由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解】
（1）因为集合 ,3 4A
， 0 0 ，
所以
2 2 1 1cos cos 33 4 4 2
2 2 8
；
（2）由“余弦方差”的定义得： 2 2 2
0 0 0
2cos cos cos3 3
3
，
2 2
2
0 0 0 0 0 0
2 2cos cos sin cossin sincos sin cos cos sin3 3 3 3 s n
3
i
，
2 2
2
0 0 0 0 0
1 3 1 3cos sin cos sin cos2 2 2 2
3
，
2 2 2
0 0 0
1 3cos sin cos 12 2
3 2
.
所以 1
2
是与 0 无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得： 2 2 2
0 0 0cos cos cos4
3
，
2
2 2
0 0 0 0 0 0cos cos sin cos coss sin sin sinin cos cos sin4 4
3
，
2 2
0 0 0 0
1 1 1( cos cos sin sin3 2 2
，
2 2 2 2
0 0 0 0cos cos cos cos sin sin sin s n2 i ，
2 2 2 2
0 0 0 0cos cos cos cos sin sin sin in2 )s ，
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1 1[( cos cos )cos ( sin sin )sin3 2 2
，
0 0(1 sin 2 sin 2 )co s ]s in ，
2 2 2 20 01 cos2 1 cos21 1 1[( cos cos ) ( sin sin )22 2 23
，
0sin 2(1 sin 2 sin 2 ) 2 ] ，
2 2 2 2 2 2 2 20 1cos21 1 1[(cos cos sin sin ) ( cos cos ) ( sin sin )3
1
2 2 2 22
，
0sin 2(1 sin 2 sin 2 ) 2 ] ,
0cos21[(cos2 cos2 )3
3
2 2
0sin 2(1 sin 2 sin 2 ) 2 ] ，
要使 是一个与 0 无关的定值，则 cos2 cos2 0
1 sin 2 sin 2 0
，
因为 cos 2 cos 2 ，所以 2 与 2 的终边关于 y 轴对称或关于原点对称，
又sin 2 sin 2 1 ，
所以 2 与 2 的终边只能关于 y 轴对称，
所以
cos2 cos2 0
1sin 2 sin 2 2
，
因为 [0, ) ， [ ,2 ) ，
当 72 6
时， 232 6
，
当 112 6
时， 192 6
，
所以 7 23,12 12
或 11 19,12 12
时，
相对任何常数 0 的“余弦方差”是一个与 0 无关的定值
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.
52．（2021·四川省泸县第二中学高一月考（文））已知 (2sin , 3 sin )
m x x ， (sin ,2cos )
n x x ，函数
( )f x m n
.
（1）将 ( )f x 的解析式化为 siny A x b 的形式；
（2）若 ( )f x 在区间 ,3 a
上的最大值为 3，求 a 的取值范围.
【答案】（1） ( ) 2sin 2 16f x x
；（2）[ , )3
.
【分析】
（1）代入向量数量积公式表示出函数 ( )f x ，然后利用降幂公式和辅助角公式合一化简即可；（2）根据 ( )f x
在区间 ,3 a
上的最大值为3，可判断sin 2 16x
成立，从而列不等式 2 6 2a 求解.
【详解】
（1）由题意， 2( ) 2sin 2 3 sin cos 3 sin 2 cos2 1 2sin 2 16f x x x x x x x .
（2）因为 ( )f x 在区间 ,3 a
上的最大值为3，所以sin 2 16x
在区间 ,3 a
上成立，故
2 6 2a ，从而
3a
53．（2021·浙江高一期末）已知 (2cos ,1), ( 3sin cos , 1)a x b x x ，函数 ( )f x a b ．
（1）求函数 ( )f x 在区间 0, 2
上的最大值和最小值；
（2）若 0 0
8 , ,5 4 2f x x
，求 0cos2x 的值；
（3）若函数 ( )y f x 在区间 2,3 3
上是单调递增函数，求正数 的取值范围．
【答案】（1） max min2, 1f x f x ；（2） 4 3 3
10
；（3） 10 .4
【分析】
（1）由题意先表示出 f x 的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值
（2）由题意得 0
4sin 2 6 5x
，结合 0 0
π πcos2 cos 2 6 6x x
求解出答案
（3）表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到 的取值范围.
【详解】
（1） 2cos 3sin cos 1 3sin2 cos2f x a b x x x x x π2sin 2 6x
，
因为 π0, 2x
，所以 π π 7π26 6 6x ≤ ≤ ，所以 1 πsin 2 12 6x
，
所以 max min2, 1f x f x ．
（2）因为 0
8
5f x ，所以 0
π 82sin 2 6 5x
，所以 0
π 4sin 2 6 5x
，
因为 0
π π,4 2x
，所以 0
2π π 7π23 6 6x ，
所以 2
0 0
π π 3cos 2 1 sin 26 6 5x x
，
所以 0 0 0 0
π π 3 π 1 πcos2 cos 2 cos 2 sin 26 6 2 6 2 6x x x x
3 3 1 4 4 3 3
2 5 2 5 10
．
（3） πsin 2 6f x x
，令 π2 2 2 +2 6 2k x k k Z ， ， 得 π π π π
3 6
k kx ，
因为函数 f x 在 π 2π,3 3
上是单调递增函数，所以存在 0k Z ，使得 0 0π ππ 2π π π, ,3 3 3 6
k k
所以有
0
0
π π π ,3 3
π π 2π .6 3
k
k
即 0
0
3 1 ,
6 1 4 .
k
k
因为 >0 ，所以 0
1 ,6k 又因为 2π π 1 2π
3 3 2 2 ， 所以 30 2
， 所以 0
5.6k
从而有 0
1 5
6 6k ，所以 0 0k ，
所以 10 .4
【点睛】
方法点睛：本题主要考查了三角函数的综合运用，利用辅助角公式化简求出最值，并结合三角函数图像的
单调性求 的取值范围，解决此类问题常采用整体代换思想．
54．（2021·浙江高一期末）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边与单位
圆交点为 4 3,5 5P
．
（1）求 cos 4
和sin2 的值；
（2）求 3sin( ) 2cos( )
5cos(2 ) 3sin
的值．
【答案】（1） 7 2
10
， 24
25
；（2） 17
11
【分析】
先由任意角的三角函数的定义求出sin 、cos ，再运用诱导公式、两角和的余弦及二倍角正弦公式求值.
【详解】
根据题意， 3sin 5
， 4cos 5
（1） 2 2 2 4 2 3 7 2cos cos sin4 2 2 2 5 2 5 10
，
3 4 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25
，
（2）
3 43 23sin( ) 2cos( ) 3sin 2cos 175 5
4 35cos(2 ) 3sin 5cos 3sin 115 35 5
55．（2021·江苏苏州市·高一期中）已知 ， 都是锐角， 1 2 5tan ,cos7 5
．
（1）求sin ；
（2）求 2 ．
【答案】（1） 10
10
；（2） 2 4
.
【分析】
（1）利用同角三角函数公式，列出方程组求解 2 7 2sin ,cos10 10
，再根据角的范围求得
5sin 5
，最后 sin sin 展开求解即可;
（2）利用 2 ( ) 关系，利用 ,( ) 的三角函数值，计算 2 正切，正弦，
余弦都可，最后根据角的范围求解 2 .
【详解】
解：（1）：∵
2 2
sin 1tan cos 7
sin cos 1
，∴ 2 1sin 50
∵ 是锐角，∴ 2 7 2sin ,cos10 10
，
∵ 2 5cos ,05
，∴ 5sin 5
．
所以 sin sin sin cos cos sin
5 7 2 2 5 2 10= =5 10 5 10 10
（2）∵ 是锐角， 10 2sin 10 2
，∴ 0 4
， 3 10 1cos ,tan10 3
∵ , 是锐角， 1tan 12
．∴ 0 4
，
∴0 2 2
，
法一：
1 1
tan tan 3 2tan 2 tan 11 11 tan tan 1 3 2
，
∴ 2 4
法二：
10 2 5 3 10 5 2sin 2 sin sin cos cos sin 10 5 10 5 2
∴ 2 4
法三：
3 10 2 5 10 5 2cos 2 cos cos cos sin sin 10 5 10 5 2
∴ 2 4
.
【点睛】
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范
围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选
正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0, 2
，选正、余弦皆可；若角的
范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为 ,2 2
，选正弦较好．
四、填空题
56．（2021·安徽高三二模（理））已知 ， 均为锐角，若 cos 0 ， 1tan 3
，则cos __________．
【答案】 10
10
【分析】
根据已知可得
2
，又由同角三角函数的基本关系求出sin ，最后利用诱导公式可求 cos .
【详解】
解： Q ， 均为锐角，
0 ，
cos 0 ，
2
，
1tan ,03
，
10sin 10
，
10cos cos sin2 10
.
故答案为： 10
10
.
57．（2021·湖南高三三模）已知 1sin 8 3
，则sin 2 cos2 __________．
【答案】 7 2
9
.
【分析】
由二倍角公式求得 7cos( 2 )4 9
，再根据两角和余弦公式展开得到 2 7(cos2 sin 2 )2 9
，最后求
出结果.
【详解】
因为 1sin( )8 3
，
所以 2 2 7cos(2( )) 1 2sin ( ) 18 8 9 9
，
又 2 2cos(2( )) cos( 2 ) cos2 sin 28 4 2 2
所以 2 7(cos2 sin 2 )2 9
，
则 7 2sin 2 cos2 9
.
故答案为： 7 2
9
.
【点睛】
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范
围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选
正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0, 2
，选正、余弦皆可；若角的
范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为 ,2 2
，选正弦较好．
58．（2021·吉林长春市·东高三其他模拟（文））已知 2sin 6 3
，则
cos 2 3
__________．
【答案】 1
9
【分析】
直接用二倍角公式求解即可.
【详解】
因为 2sin 6 3
，
所以
2
2
9c s 2 1sin 12 2 =6 3o 2 13
.
故答案为： 1
9
59．（2021·湖南怀化市·高三一模）若 3sin 12 2
，则 2sin 2 3
________________．
【答案】 1
2
【分析】
令
12
则 3,sin12 2
，代入求值式后应用诱导公式和二倍角公式求值．
【详解】
令
12
则 3,sin12 2
，代入 2sin 2 3
得
2
22 2 3 1sin 2 sin 2 sin 2 cos2 2sin 1 2 13 12 3 2 2 2
．
故答案为： 1
2
．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定已知角未知角的关系，确定选用的公式．用换元
法求解是一种非常简捷有效的方法．
60．（2021·陕西西安市·长安一中高三月考（文））观察下列几个三角恒等式：
① tan10 tan 20 tan 20 tan 60 tan 60 tan10 1 ；
② tan13 tan 35 tan 35 tan 42 tan 42 tan13 1 ；
③ tan5 tan100 tan100 tan 15 tan 15 tan5 1 ；
④ tan 160 tan 22 tan 22 tan 272 tan 272 tan 160 1 ；
一般地，若 tan 、 tan 、 tan 都有意义，你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为___________.
【答案】当 90 时， tan tan tan tan tan tan 1
【分析】
观察①②③④中等式的结构，可得出结论.
【详解】
对于①式，10 20 60 90 ；对于②式，13 35 42 90 ；
对于③式， 100 155 90 ；对于④式， 22 272 90 016 .
观察①②③④中等式的结构，可得出以下结论：
当 90 时， tan tan tan tan tan tan 1 .
理由如下：
①当 90 且 0 时，
若 tan 、 tan 、 tan 都有意义时，由两角和的正切公式可得 tan tantan 1 tan tan
，
所以， tan tan tan 1 tan tan ，
sin 90 cossin 1tan cos sin tancos 90
，
因此， tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan
tantan tan 1 tan tan 1tan
；
②若 90 且 0 时，则
sin 90sin cos 1tan cos sin tancos 90
，
可得 tan tan 1 ，此时， tan tan tan tan tan tan 1 .
综上所述，当 90 且 tan 、 tan 、 tan 都有意义，则
tan tan tan tan tan tan 1 .
故答案为：当 90 时， tan tan tan tan tan tan 1 .
【点睛】
方法点睛：若化简的式子中出现了 tan tan 及 tan tan 两个整体，常考虑 tan 的变形公式，
两角和的正切公式的常见四种变形如下：
（1） tan tan tan 1 tan tan ；
（2）
tan tan1 tan tan tan
；
（3） tan tan tan tan tan tan ；
（4）
tan tantan tan 1 tan
.
61．（2021·江苏高三月考）已知 ( ) sin(2 ) 3cos(2 ) 2f x x x
是奇函数，若 0, 2x
，
sin 2m x n ，则 n m 的最小值是___________.
【答案】 31 2
【分析】
利用函数的奇偶性可求 的值，从而可求 sin 2y x 的值域，从而可求 n m 的最小值.
【详解】
( ) sin(2 ) 3 cos(2 ) 2sin(2 )3f x x x x ，
因为 f x 为奇函数，故 ,3 k k Z ，
故 ,3k k Z ，而
2
，故
3
， ( ) 2sin 2f x x ，
0, 2x
时， 223 3 3x ，故 3 sin 2 12 x ，
故 n m 的最小值为 31 2
.
故答案为： 31 2
.
62．（2021·江西鹰潭市·高三一模（文））已知 1tan 3
，则 2
cos 2
(sin cos )
_______．
【答案】2
【分析】
利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】
已知
2 2
2 2 2
cos2 cos sin
(sin cos ) sin 2sin cos cos
2
2
22
111 tan 3 2tan 2tan 1 1 12 13 3
．
故答案为：2
五、双空题
63．（2021·浙江高一期末）为得到函数 ( ) sin 2 3 cos2g x x x 的图象，只需将 ( ) 2sin 2 6f x x
的
图象向____平移______个单位即可．
【答案】右
12
【分析】
先将 ( )g x 化为 ( ) 2sin 2 12 6g x x
，然后对照 ( ) 2sin 2 6f x x
可得结果.
【详解】
因为 ( ) sin 2 3 cos2 2sin 2 2sin 23 12 6g x x x x x
，
所以，要得到 ( )g x 的图象，只需将 ( ) 2sin 2 6f x x
的图象向右平移
12
个单位即可.
故答案为：①右；②
12
.
64．（2021·湖南高三月考）已知偶函数 cos cos 0, 0,6 3 2f x x x
的
最小正周期为 ，则 ___________； ___________.
【答案】1 5
12
【分析】
利用三角恒等变换思想化简函数解析式为 1 sin 2 22 3f x x
，根据函数 f x 的最小正周期
可求得 的值，根据函数 f x 为偶函数并结合 的取值范围可求得 的值.
【详解】
cos cos cos sin6 6 2 6 6f x x x x x
1 sin 2 22 3x .
因为 f x 的最小正周期为 ，所以 2
2
，得 1 ，则 1 sin 2 22 3f x x
，
因为 ( )f x 为偶函数，所以 2 3 2 k Zk ，可得 5
12 2
k k Z .
因为 0, 2
，所以 5
12
.
故答案为：1； 5
12
.
【点睛】
思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 sin + 0y A x B 或 cos + 0y A x B 的形式；
（2）将 x 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 siny x 或余弦函数 cosy x 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称
性、单调性等）解决相关问题.
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