1
北师大版九年级数学下册第三章 3.3 垂径定理 同步测试(原卷版)
一.选择题
1.如图,已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E,下列结论中一定正确的是( )
A.AE=OE B.CE=DE C.OE= 1
2
CE D.∠AOC=60°
2.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,CM=DM=2,
直线 MO 交圆于 E,EM=8,则圆的半径为( )
A.4 B.3 C. D.
3.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆的半径 OB=10dm,水面宽
AB 是 16dm,则截面水深 CD 是( )
A.3 dm B.4 dm C.5 dm D.6 dm
4.如图,已知⊙O 弦 AB 的长 6cm,OC⊥AB,OC=4cm,则⊙O 的半径为( )
A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
5.如图,⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,连结 AO 并延长交⊙O 于点 E,连结 EC.若
AB=8,OC=3,则 EC 的长为( )
2
A. B.8 C. D.
6.如图为球形灯笼的截面图,过圆心的 CD 垂直弦 AB 于 D,AB=2dm,CD=4dm,
则⊙O 半径为( )
A.2dm B. dm C. dm D. dm
7.如图,AB 是⊙O 的弦,OD⊥AB 于 D,若 AO=10,OD=6,则 AB 的长为( )
A.8 B.16 C.18 D.20
8.如图,⊙O 中,AC=6,BD=4,AB⊥CD 于 E 点,∠CDB=30°,则⊙O 的半径
为( )
A. B.5 C. D.
9.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,若 AB=4, ,则 O 到 AC 的距
离为( )
3
A.1 B.2 C. D.
10.如图,⊙O 的直径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4,则弦 AB 的长
是( )
A.3 B.6 C.4 D.8
11.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点 O 是这段弧所在圆的圆心,
∠AOB=60°,点 C 是 的中点,CD⊥AB,且 CD=5m,则这段弯路所在圆的半径
为( )
A.(20﹣10 )m B.20m C.30m D.(20+10 )m
12.已知⊙O 的直径 20,OP 长为 8,则过 P 的弦中,弦长为整数的弦共有( )
条.
A.1 B.9 C.17 D.16
二.填空题
13.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,
则 CD 的长为 .
4
14.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD⊥AB 于点 E,已知 CD=4,
AE=1,则⊙O 的半径为
15.在△ABC 中,AB=AC=5,sinB= ,⊙O 过点 B.C 两点,且⊙O 半径 r= ,
则 OA 的长为 .
16.半径等于 12 的圆中,垂直平分半径的弦长为 .
17.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道
圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道
有水部分的水面宽 AB=16cm,水面最深地方的高度为 4cm,则这个圆形截面的半
径为 cm.
18.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一,如图,已知一石拱桥的桥顶到水
面的距离 CD 为 8m,桥拱半径 OC 为 5m,求水面宽 AB= m.
三.解答题
19.已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D(如图).
求证:AC=BD.
5
20.在直径是 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最
大深度 CD 为 16cm,求油面宽度 AB 的长.
21.如图,将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心 O,
另一边所在直线与半圆交于点 D.E,量出半径 OC=5cm,弦 DE=8cm,求直尺的
宽.
6
22.已知:如图,∠PAC=30°,在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm,DB=10cm,以 DB
为直径作⊙O 交射线 AP 于 E.F 两点,求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长.
23.如图⊙O 的半径为 1cm,弦 AB.CD 的长度分别为 cm,1cm,
(1)求圆心 O 到弦 AB 的距离;
(2)则弦 AC.BD 所夹的锐角α的度数是多少?
7
24.如图,有一拱桥的桥拱是圆弧形,已知桥拱的水面跨度 AB(弧所对的弦的
长)为 8 米,拱高 CD(弧的中点到弦的距离)为 2 米.
(1)求桥拱所在圆的半径长;
(2)如果水面 AB 上升到 EF 时,从点 E 测得桥顶 D 的仰角为α,且 cotα=3,
求水面上升的高度.
25.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算
弧田(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积= (弦×矢+矢 2),弧田(如图)
由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB,“矢”指弓形高.在
如图所示的弧田中,半径为 5,“矢”为 2,求弧田面积为多少?
8
北师大版九年级数学下册第三章 3.2 垂径定理 同步测试(解析版)
一.选择题
1.如图,已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E,下列结论中一定正确的是( )
A.AE=OE B.CE=DE C.OE= 1
2
CE D.∠AOC=60°
解:根据⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E
∴CE=DE.
故选 B.
2.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,CM=DM=2,
直线 MO 交圆于 E,EM=8,则圆的半径为( )
A.4 B.3 C. D.
解:连接 OC,
∵M 是⊙O 弦 CD 的中点,
根据垂径定理:EM⊥CD,
设圆的半径是 x 米,
在 Rt△COM 中,有 OC2=CM2+OM2,
即:x2=22+(8﹣x)2,
9
解得:x= ,
所以圆的半径长是 .
故选:C.
3.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆的半径 OB=10dm,水面宽
AB 是 16dm,则截面水深 CD 是( )
A.3 dm B.4 dm C.5 dm D.6 dm
解:由题意知 OD⊥AB,交 AB 于点 E,
∵AB=16,
∴BC= AB= ×16=8,
在 Rt△OBC 中,
∵OB=10,BC=8,
∴OC= =6,
∴CD=OD﹣OC=10﹣6=4.
故选:B.
4.如图,已知⊙O 弦 AB 的长 6cm,OC⊥AB,OC=4cm,则⊙O 的半径为( )
A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
解:如图:
10
连接 OA.
∵OC⊥AB,AB=6cm,
∴AC=BC= 1
2
AB=3cm(垂径定理);
在 Rt△AOC 中,根据勾股定理知,
AO
2
= OC
2
+ AC
2
,
∴
OA
2
=16+9=25,
∴OA=5cm.
故选 B.
5.如图,⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,连结 AO 并延长交⊙O 于点 E,连结 EC.若
AB=8,OC=3,则 EC 的长为( )
A. B.8 C. D.
解:连接 BE,
∵AE 为⊙O 直径,
∴∠ABE=90°,
∵OD⊥AB,OD 过 O,
∴AC=BC= AB= =4,
∵AO=OE,
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∴BE=2OC,
∵OC=3,
∴BE=6,
在 Rt△CBE 中,EC= = =2 ,
故选:D.
6.如图为球形灯笼的截面图,过圆心的 CD 垂直弦 AB 于 D,AB=2dm,CD=4dm,
则⊙O 半径为( )
A.2dm B. dm C. dm D. dm
解:∵过圆心的 CD 垂直弦 AB 于 D,AB=2dm,CD=4dm,
∴BD=AD=1dm,
在 Rt△ODB 中,OD2+DB2=OB2,
即(4﹣r)2+12=r2,
解得:r= dm,
故选:C.
7.如图,AB 是⊙O 的弦,OD⊥AB 于 D,若 AO=10,OD=6,则 AB 的长为( )
A.8 B.16 C.18 D.20
解::∵AB 是⊙O 的弦,OD⊥AB 于 D,
∴AD=BD= 1
2
AB(垂径定理),
∴AB=2AD,
12
在 Rt△ADO 中,OD⊥AB 于 D,若 AO=10,OD=6,
∴AD=
AO
2
− OD
2
= 10
2
− 6
2
=
8(勾股定理);
∴AB=16.
故选 B.
8.如图,⊙O 中,AC=6,BD=4,AB⊥CD 于 E 点,∠CDB=30°,则⊙O 的半径
为( )
A. B.5 C. D.
解:如图,作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,连接 OD.
∵AB⊥CD,
∴∠OME=∠ONE=∠MEN=90°,
∴四边形 OMEN 是矩形,
∴OM=EN,ON=EM,
在 Rt△ACE 中,∵AC=6,∠A=∠CDB=30°,
∴CE= AC=3,AE=3 ,
在 Rt△DEB 中,∵BD=4,∠BDE=30°,
∴BE= BD=2,DE=2 ,
∴CD=3+2 ,AB=2+3 ,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
13
∴AM=BM= ,CN=DN= ,
∴EM=ON= ,
∴OD= = = .
故选:C.
9.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,若 AB=4, ,则 O 到 AC 的距
离为( )
A.1 B.2 C. D.
解:连接 BC,作 OE⊥AC 于 E.
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC= = =2 ,
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
∵AO=OB,
∴OE= BC= ,
故选:C.
10.如图,⊙O 的直径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4,则弦 AB 的长
是( )
A.3 B.6 C.4 D.8
14
解:如图:
连接 OA,
∵⊙O 的直径为 10,
∴OA=5,
∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4,
由垂径定理知,点 M 是 AB 的中点,AM= 1
2
AB,
由勾股定理可得,AM=3,所以 AB=6.
故选 B.
11.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点 O 是这段弧所在圆的圆心,
∠AOB=60°,点 C 是 的中点,CD⊥AB,且 CD=5m,则这段弯路所在圆的半径
为( )
A.(20﹣10 )m B.20m C.30m D.(20+10 )m
解:∵点 O 是这段弧所在圆的圆心,
∴OA=OB,
∵∠AOB=60°,
∴△AOB 是等边三角形,
∴AB=OA=OB,
设 AB=OB=OA=rm,
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∵点 C 是 的中点,
∴OC⊥AB,
∴C,D,O 三点共线,
∴AD=DB= rm,
在 Rt△AOD 中,
∴OD= r,
∵OD+CD=OC,
∴ r+5=r,
解得:r=(20+10 )m,
∴这段弯路的半径为(20+10 )m
故选:D.
12.已知⊙O 的直径 20,OP 长为 8,则过 P 的弦中,弦长为整数的弦共有( )
条.
A.1 B.9 C.17 D.16
答案:D
解:如图,
AB 是直径,OA=10,OP=8,过点 P 作 CD⊥AB,交圆于点 C,D 两点.
由垂径定理知,点 P 是 CD 的中点,
∴PC=4,
在直角三角形 OPC 中,由勾股定理求得,PC=6,
∴CD=12,则 CD 是过点 P 最短的弦长为 12;AB 是过 P 最长的弦,长为 20.
故过点 P 的弦的长度都在 12~20 之间;
因此弦长为 12,13,14,15,16,17,18,19,20;
当弦长为 12.20 时,过 P 点的弦分别为弦 CD 和过 P 点的直径,分别有一条;
当弦长为 13,14,15,16,17,18,19 时,根据圆的对称性知,符合条件的弦
16
应该有两条;
故弦长为整数的弦共有 16 条.
二.填空题
13.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,
则 CD 的长为 2 .
解:作 OH⊥CD 于 H,连结 OC,如图,
∵OH⊥CD,
∴HC=HD,
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,
∴OA=4,
∴OP=OA﹣AP=2,
在 Rt△OPH 中,∵∠OPH=30°,
∴∠POH=60°,
∴OH= OP=1,
在 Rt△OHC 中,∵OC=4,OH=1,
∴CH= ,
∴CD=2CH=2 .
故答案为:2
14.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD⊥AB 于点 E,已知 CD=4,
AE=1,则⊙O 的半径为
17
解:连接 OC,如图所示:
∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,
∴CE=
1
2
CD=2,∠OEC=90°,
设 OC=OA=x,则 OE=x-1,
根据勾股定理得:
CE
2
+ OE
2
=
OC
2
,
即 2 2 22 1+ - =
解得:x=2.5;
故答案为:2.5.
15.在△ABC 中,AB=AC=5,sinB= ,⊙O 过点 B.C 两点,且⊙O 半径 r= ,
则 OA 的长为 3 或 5 .
解:如图,作 AD⊥BC 于 D,
∵AB=AC=5,
∴AD 垂直平分 BC,
∴点 O 在直线 AD 上,
连结 OB,
在 Rt△ABD 中,sinB= = ,
∵AB=5,
∴AD=4,
∴BD= = =3,
在 Rt△OBD 中,OB= ,BD=3,
∴OD= =1,
18
当点 A 与点 O 在 BC 的两侧时,OA=AD+OD=4+1=5;
当点 A 与点 O 在 BC 的同侧时,OA=AD﹣OD=4﹣1=3,
故 OA 的长为 3 或 5.
故答案为 3 或 5.
16.半径等于 12 的圆中,垂直平分半径的弦长为 .
解:如图,
∵OD=CD=6,
∴由勾股定理得 AD=6
3
,
∴由垂径定理得 AB=12
3
,
故答案为:12
3
.
17.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道
圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道
有水部分的水面宽 AB=16cm,水面最深地方的高度为 4cm,则这个圆形截面的半
径为 10 cm.
解:设此圆形截面所在圆的圆心为 O,连接 OA,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,交弧
于点 C,
则 CD=4cm,AD= AB= ×16=8(cm),
设这个圆形截面的半径为 rcm,
19
则 OD=OC﹣CD=r﹣4(cm)
∵在 Rt△AOD 中,OA2=OD2+AD2,
∴r2=(r﹣4)2+82,
解得:r=10,
故这个圆形截面的半径为 10cm.
故答案为:10.
18.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一,如图,已知一石拱桥的桥顶到水
面的距离 CD 为 8m,桥拱半径 OC 为 5m,求水面宽 AB= 8 m.
解:连接 OA,如图所示.
∵CD⊥AB,
∴AD=BD= AB.
在 Rt△ADO 中,OA=OC=5m,OD=CD﹣OC=3m,∠ADO=90°,
∴AD= = =4(m),
∴AB=2AD=8m.
故答案为:8.
三.解答题
20
19.已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D(如图).
求证:AC=BD.
解:过 O 作 OE⊥AB 于点 E,
则 CE=DE,AE=BE,
∴BE-DE=AE-CE,即 AC=BD;
20.在直径是 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最
大深度 CD 为 16cm,求油面宽度 AB 的长.
解:由题意得出:OC⊥AB 于点 D,
由垂径定理知,点 D 为 AB 的中点,AB=2AD,
∵直径是 52cm,
∴OB=26cm,
∴OD=OC﹣CD=26﹣16=10(cm),
由勾股定理知,
BD= =24(cm),
∴AB=48cm.
21
21.如图,将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心 O,
另一边所在直线与半圆交于点 D.E,量出半径 OC=5cm,弦 DE=8cm,求直尺的
宽.
解:过点 O 作 OM⊥DE 于点 M,连接 OD.
∴DM= DE.
∵DE=8(cm)
∴DM=4(cm)
在 Rt△ODM 中,∵OD=OC=5(cm),
∴OM= = =3(cm)
∴直尺的宽度为 3cm.
22.已知:如图,∠PAC=30°,在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm,DB=10cm,以 DB
为直径作⊙O 交射线 AP 于 E.F 两点,求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长.
22
解:过点 O 作 OG⊥AP 于点 G,连接 OF
∵DB=10cm,
∴OD=5cm
∴AO=AD+OD=3+5=8cm
∵∠PAC=30°
∴OG= 1
2
AO= 1
2
×8=4cm
∵OG⊥EF,∴EG=GF
∵GF=
OF
2
− OG
2
= 5
2
− 4
2
=3cm
∴EF=6cm.
23.如图⊙O 的半径为 1cm,弦 AB.CD 的长度分别为 cm,1cm,
(1)求圆心 O 到弦 AB 的距离;
(2)则弦 AC.BD 所夹的锐角α的度数是多少?
解:(1)过点 O 作 OE⊥AB 于 E,连结 OA.OB,如图,
∴AE=BE= AB,
23
∵OA=OB=1,AB= ,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△OAB 为等腰直角三角形,
∴OE= AB= ;
(2)连结 OC.OD,如图,
∵OC=OD=1,CD=1,
∴△OCD 为等边三角形,
∴∠COD=60°,
∴∠CAD= ∠COD=30°,
∵△OAB 为等腰直角三角形,
∴∠AOB=90°,
∴∠ADB= ∠AOB=45°,
∴∠α=∠CAD+∠ADB=30°+45°=75°.
24.如图,有一拱桥的桥拱是圆弧形,已知桥拱的水面跨度 AB(弧所对的弦的
长)为 8 米,拱高 CD(弧的中点到弦的距离)为 2 米.
(1)求桥拱所在圆的半径长;
(2)如果水面 AB 上升到 EF 时,从点 E 测得桥顶 D 的仰角为α,且 cotα=3,
求水面上升的高度.
解:(1)∵ ,DC⊥AB,
∴AC=BC,DC 经过圆心,
设拱桥的桥拱弧 AB 所在圆的圆心为 O,
24
∵AB=8,
∴AC=BC=4,
联结 OA,设半径 OA=OD=R,OC=OD﹣DC=R﹣2,
∵OD⊥AB,
∴∠ACO=90°,
在 Rt△ACO 中,∵OA2=AC2+OC2,
∴R2=(R﹣2)2+42,
解之得 R=5.
答:桥拱所在圆的半径长为 5 米.
(2)设 OD 与 EF 相交于点 G,联结 OE,
∵EF∥AB,OD⊥AB,
∴OD⊥EF,
∴∠EGD=∠EGO=90°,
在 Rt△EGD 中, ,
∴EG=3DG,
设水面上升的高度为 x 米,即 CG=x,则 DG=2﹣x,
∴EG=6﹣3x,
在 Rt△EGO 中,∵EG2+OG2=OE2,
∴(6﹣3x)2+(3+x)2=52,
化简得 x2﹣3x+2=0,解得 x1=2(舍去),x2=1,
答:水面上升的高度为 1 米.
25.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算
弧田(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积= (弦×矢+矢 2),弧田(如图)
由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB,“矢”指弓形高.在
如图所示的弧田中,半径为 5,“矢”为 2,求弧田面积为多少?
25
解:如图所示:
∵OA=OC=5,CD=2,
∴OC=3,
∵OC⊥AB,
∴AC=BC= =4,
∴AB=8,
∴弧田面积= (弦×矢+矢 2)= (8×2+22)=10;