2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．7切线长定理同步测试

1 北师大版九年级数学下册第三章 3．7 切线长定理 同步测试(原卷版) 一．选择题 1．下列说法中，正确的是（ ） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．90°的圆周角所对的弦是直径 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 2.如图所示，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E， 分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=15，则△PCD 的周长为（ ） A．15 B．12 C．20 D．30 3．如图，在半径为 2 的⊙O 中，半径 OC 垂直弦 AB，D 为⊙O 上的点，∠ADC ＝30°，则 AB 的长是（ ） A． B．3 C．2 D．4 4.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E 分别为 BC， AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ） A．9 B．7 C．11 D．8 5.圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 2 6．如图，四边形 ABDC 内接于⊙O，∠BDE＝78°36'，则∠BOC 的度数（ ） A．157°12' B．156°48′ C．78°12' D．156°28′ 7．如图，AB 是⊙O 的直径，DB，DE 分别切⊙O 于点 B、C，若∠ACE＝20°， 则∠D 的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知 ∠BAC=35°，∠P 的度数为（ ） A．35° B．45° C．60° D．70° 9．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过圆心 O 的割线，PA＝10cm， PB＝5cm，则弦 AC 的长是（ ）cm． A．15 B．10 C．3 D．6 10.如图，PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B，OP 交⊙O 于 C，下列结论中，错误 的（ ） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D． PA 2 =PC•PO 3 11．如图所示，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝21，BC＝20．若有一半径为 10 的 圆分别与 AB、BC 相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ） A．∠B 的角平分线与 AC 的交点 B．AB 的中垂线与 BC 中垂线的交 点 C．∠B 的角平分线与 AB 中垂线的交点 D．∠B 的角平分线与 BC 中垂线的交 点 12．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，把△ABC 沿 EF 折叠，点 C 的对应点 为 O，连接 AO，使 AO 平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点 O 是（ ） A．△ABC 的内心 B．△ABC 的外心 C．△ABF 的内心 D．△ABF 的外 心 二．填空题 13.如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C，DE 分别交 PA，PB 于 D、E， 已知 P 到⊙O 的切线长为 8cm，那么△PDE 的周长为 4 14．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ °． 15.如图，已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形上底 AD、下 底 BC 以及腰 AB 均相切，切点分别是 D，C，E．若半圆 O 的半径为 2，梯形的 腰 AB 为 5，则该梯形的周长是 16．已知圆 O 的半径为 5cm，点 P 在圆外，则 OP 长度的取值范围为 ． 17．如图，⊙O 的半径长为 5cm，△ABC 内接于⊙O，圆心 O 在△ABC 的内部．如 果 AB＝AC，BC＝8cm，那么△ABC 的面积为 cm2． 18．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PA 是割线，交⊙O 于 A、B 两点，与 直径 CT 交于点 D．已知 CD＝2，AD＝3，BD＝4，那 PB＝ ． 三.解答题 19.如图，已知 PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O 的半径. 5 20．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC＝60°，点 D 是 的中点， 点 E 在 OC 的延长线上，且 CE＝AD，连接 DE． （1）求证：四边形 AOCD 是菱形； （2）若 AD＝6，求 DE 的长． 21．如图，一段圆弧与长度为 1 的正方形网格的交点是 A、B、C． （1）请完成以下操作： ①以点 O 为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐 标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心 D，并连接 AD、CD； （2）请在（1）的基础上，完成下列填空： ①⊙D 的半径＝ （结果保留根号）． ②点（﹣2，0）在⊙D ；（填“上”、“内”、“外”） 6 ③弧 AC 的度数为 ． 22．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在△ABC 的外部，AB＝AC＝4， BC＝4 ，求⊙O 的半径． 23．如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，BC 为⊙O 的直径． (1)求证：AC∥OP； (2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求 AC 的长． 7 24．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点 E， 交 AM 于点 D，交 BN 于点 C，F 是 CD 的中点，连接 OF. (1)求证：OD∥BE； (2)猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由． 8 北师大版九年级数学下册第三章 3．7 切线长定理 同步测试(解析版) 一．选择题 1．下列说法中，正确的是（ ） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．90°的圆周角所对的弦是直径 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合 题意； C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意； D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧 也相等，故不符合题意； 故选：C． 2.如图所示，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E， 分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=15，则△PCD 的周长为（ ） A．15 B．12 C．20 D．30 解：∵P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E，分别 交 PA、PB 于点 C、D， ∴AC=EC，BD=DE，AP=BP， ∵PA=15，∴△PCD 的周长为：PA+PB=30． 故选：D． 3．如图，在半径为 2 的⊙O 中，半径 OC 垂直弦 AB，D 为⊙O 上的点，∠ADC ＝30°，则 AB 的长是（ ） 9 A． B．3 C．2 D．4 解：设半径 OC⊥弦 AB 于点 E， ∴ ＝ ， ∴∠D＝ ∠BOC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝2， ∴AE＝EB＝OB•sin60°＝ ， ∴AB＝2AE＝2 ， 故选：C． 4.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E 分别为 BC， AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ） A．9 B．7 C．11 D．8 解：如图： 10 设 AB，AC，BC 和圆的切点分别是 P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得 CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x． 则有 9-x+10-x=8， 解得：x=5.5． 所以△CDE 的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11． 故选：C． 5.圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 解： ∵圆外切等腰梯形的一腰长是 8， ∴梯形对边和为：8+8=16， 则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16． 故选：D． 6．如图，四边形 ABDC 内接于⊙O，∠BDE＝78°36'，则∠BOC 的度数（ ） A．157°12' B．156°48′ C．78°12' D．156°28′ 解：∵∠BDE＝78°36'， ∴∠CDB＝180°﹣∠BDE， ∵∠A+∠CDB＝180°， ∴∠A＝78°36'， ∴∠BOC＝157°12'， 故选：A． 7．如图，AB 是⊙O 的直径，DB，DE 分别切⊙O 于点 B、C，若∠ACE＝20°， 11 则∠D 的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 解：连 OC，如图， ∵DB、DE 分别切⊙O 于点 B、C， ∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA＝70°， ∴∠BOC＝2×70°＝140°， ∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°． 故选：A． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知 ∠BAC=35°，∠P 的度数为（ ） A．35° B．45° C．60° D．70° 解： 根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°． 根据切线长定理得 PA=PB， 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70°． 12 故选 D． 9．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过圆心 O 的割线，PA＝10cm， PB＝5cm，则弦 AC 的长是（ ）cm． A．15 B．10 C．3 D．6 解：连接 AB，根据切割线定理有， PA2＝PB•PC， ∴102＝5×（5+BC）， 解得 BC＝15， 又∵∠PAB＝∠PCA，∠APB＝∠CPA， ∴△APB∽△CPA， ∴PA：AB＝PC：AC， ∴10：AB＝20：AC①； ∵BC 是直径， ∴AB2+AC2＝BC2 ， ∴AB2+AC2＝152②； ①②联立解得 AC＝6 ． 故选：D． 10.如图，PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B，OP 交⊙O 于 C，下列结论中，错误 的是（ ） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D． PA 2 =PC•PO 13 解： 连接 OA、OB，AB， ∵PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B， 由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB， ∴△ABP 是等腰三角形， ∵∠1=∠2， ∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一）， 故 A，B，C 正确， 根据切割线定理知： PA 2 =PC•（PO+OC），因此 D 错误． 故选 D． 11．如图所示，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝21，BC＝20．若有一半径为 10 的 圆分别与 AB、BC 相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ） A．∠B 的角平分线与 AC 的交点 B．AB 的中垂线与 BC 中垂线的交 点 C．∠B 的角平分线与 AB 中垂线的交点 D．∠B 的角平分线与 BC 中垂线的交 点 解：∵圆分别与 AB、BC 相切， ∴圆心到 AB、CB 的距离都等于半径， ∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴圆心定在∠B 的角平分线上， ∵因为圆的半径为 10， ∴圆心到 AB 的距离为 10， 14 ∵BC＝20， 又∵∠B＝90°， ∴BC 的中垂线上的点到 AB 的距离为 10， ∴∠B 的角平分线与 BC 的中垂线的交点即为圆心． 故选：D． 12．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，把△ABC 沿 EF 折叠，点 C 的对应点 为 O，连接 AO，使 AO 平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点 O 是（ ） A．△ABC 的内心 B．△ABC 的外心 C．△ABF 的内心 D．△ABF 的外心 解：如图，连接 OB、OC， ∵AB＝AC，AO 平分∠BAC， ∴AO 是 BC 的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵∠BAC＝50°，AO 平分∠BAC， ∴∠BAO＝∠CAO＝25°， 根据折叠可知：CF＝OF，∠OFE＝∠CFE＝50°， 15 ∴∠OFC＝100°， ∴∠FCO＝ （180°﹣100°）＝40°， ∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠ACB＝ （180°﹣50°）＝65°， ∴∠OCA＝∠ACB﹣∠FCO＝65°﹣40°＝25°， ∴∠OAC＝∠OCA＝25°， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， ∴O 是△ABC 的外心． 故选：B． 二．填空题 13.如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C，DE 分别交 PA，PB 于 D、E， 已知 P 到⊙O 的切线长为 8cm，那么△PDE 的周长为 解：∵PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C， ∴PA=PB，DA=DC，EC=EB； ∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16； ∴△PDE 的周长为 16． 故答案为 16． 14．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ 64 °． 解：如图， 16 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°， 又∵△AOC 为等腰三角形， ∴∠5＝∠OCA， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°， ∵∠1+∠2＝64°， ∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5， ∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝∠1+∠2＝64°， ∴∠O＝2∠D＝128， 在等腰三角形 AOC 中， 2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°， ∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°， 故答案为 64． 15.如图，已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形上底 AD、下 底 BC 以及腰 AB 均相切，切点分别是 D，C，E．若半圆 O 的半径为 2，梯形的 腰 AB 为 5，则该梯形的周长是 解：根据切线长定理，得 AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是 5×2+4=14， 故答案为：14． 16．已知圆 O 的半径为 5cm，点 P 在圆外，则 OP 长度的取值范围为 OP＞5 ． 解：∵圆 O 的半径为 5cm，点 P 在圆外， 17 ∴OP＞5， 故答案为 OP＞5． 17．如图，⊙O 的半径长为 5cm，△ABC 内接于⊙O，圆心 O 在△ABC 的内部．如 果 AB＝AC，BC＝8cm，那么△ABC 的面积为 32 cm2． 解：作 AD⊥BC 于 D， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD＝ BC＝4， ∴AD 垂直平分 BC， ∴圆心 O 在 AD 上， 连接 OB， 在 Rt△OBC 中，∵BD＝4，OB＝5， ∴OD＝ ＝ ＝3， 如图，AD＝OA+OD＝5+3＝8，此时 S△ABC＝ ×8×8＝32； 故答案为：32． 18．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PA 是割线，交⊙O 于 A、B 两点，与 直径 CT 交于点 D．已知 CD＝2，AD＝3，BD＝4，那 PB＝ 20 ． 解：∵AD•BD＝CD•DT， 18 ∴TD＝ ， ∵CD＝2，AD＝3，BD＝4， ∴TD＝6， ∵PT 是⊙O 的切线，PA 是割线， ∴PT2＝PA•PB， ∵CT 为直径， ∴PT2＝PD2﹣TD2， ∴PA•PB＝PD2﹣TD2， 即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62， 解得 PB＝20． 故答案为：20． 三.解答题 19.如图，已知 PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O 的半径. 解：连接 OA、OB， 则 OA=OB（⊙O 的半径）， ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°， 已知∠P=90°， ∴∠AOB=90°， ∴四边形 APBO 为正方形， ∴OA=OB=PA=3， 则⊙O 的半径长是 3， 故答案为：3． 19 20．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC＝60°，点 D 是 的中点， 点 E 在 OC 的延长线上，且 CE＝AD，连接 DE． （1）求证：四边形 AOCD 是菱形； （2）若 AD＝6，求 DE 的长． 证明：（1）∵点 D 是 AC 的中点，连接 OD， ∴ ， ∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴∠AOD＝∠DOC＝60°， ∵OC＝OD， ∴OA＝OC＝CD＝AD， ∴四边形 AOCD 是菱形； （2）由（1）可知，△COD 是等边三角形． ∴∠OCD＝∠ODC＝60°， ∵CE＝AD，CD＝AD， ∴CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED＝ ∠OCD＝30°， ∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°， 在 Rt△ODE 中，DE＝OD•tan∠DOE＝6×tan60°＝6 ． 21．如图，一段圆弧与长度为 1 的正方形网格的交点是 A、B、C． 20 （1）请完成以下操作： ①以点 O 为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐 标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心 D，并连接 AD、CD； （2）请在（1）的基础上，完成下列填空： ①⊙D 的半径＝ 2 （结果保留根号）． ②点（﹣2，0）在⊙D 内 ；（填“上”、“内”、“外”） ③弧 AC 的度数为 90° ． 解：（1）①平面直角坐标系如图所示； ②如图，点 D 即为所求．点 D（2，0）； （2）①CD＝ ＝ ； ②（﹣2，0）到点 D 的距离小于半径， ∴点（﹣2，0）在⊙D 内； ③∵∠ADC＝90°， ∴ 的度数为 90°． 故答案为 2 ，内，90° 22．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在△ABC 的外部，AB＝AC＝4， BC＝4 ，求⊙O 的半径． 21 解：连结 AO，交 BC 于点 D，练结 BO． ∵AB＝AC， ∴ ．1 又∵AO 是半径， ∴AO⊥BC，BD＝CD．2 ∵ ， ∴ ．3 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝90°， ∵BD2+AD2＝AB2，AB＝4， ∴AD＝2.4 设⊙O 半径为 r． 在 Rt△BDO 中， ∵BD2+DO2＝BO2， ∴ ， ∴r＝4 ∴⊙O 的半径为 4． 23．如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，BC 为⊙O 的直径． (1)求证：AC∥OP； (2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求 AC 的长． 22 解：(1)连接 OA， ∵PA、PB 分别切⊙O 于 A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵OP 平分∠APB，∴∠POA＝∠POB，而∠BOA＝∠C＋∠OAC，而∠OAC＝ ∠C，∴∠POB＝∠C，∴AC∥OP (2)证△PAB 为等边三角形，可求∠ABC＝30°，又 BC＝10，∴AC＝5cm 24．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点 E， 交 AM 于点 D，交 BN 于点 C，F 是 CD 的中点，连接 OF. (1)求证：OD∥BE； (2)猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由． 解：(1)连接 OE，∵AM、DE 是⊙O 的切线，OA、OE 是⊙O 的半径， ∴∠ADO＝∠EDO，∠DAO＝∠DEO＝90°， ∴∠AOD＝∠EOD＝1 2 ∠AOE， ∵∠ABE＝1 2 ∠AOE， ∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE. (2)OF＝1 2CD.理由：连接 OC， ∵BC、CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCB＝∠OCE. ∵AM∥BN，∴∠ADO＋∠EDO＋∠OCB＋∠OCE＝180°， 23 由(1)得∠ADO＝∠EDO， ∴2∠EDO＋2∠OCE＝180°， 即∠EDO＋∠OCE＝90°， 在 Rt△DOC 中，∵F 是 DC 的中点，∴OF＝1 2CD.