2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性同步测试

1 北师大版九年级数学下册第三章 3．2 圆的对称性 同步测试(原卷版) 一．选择题 1.圆内接四边形 ABCD，∠A，∠B，∠C 的度数之比为 3：4：6，则∠D 的度数 为（ ） A．60 B．80 C．100 D．120 2．如图，在⊙O 中， ＝2 ，则以下数量关系正确的是（ ） A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB 3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC、CD、DA 是⊙O 的弦，且 BC＝CD＝DA，则 ∠BCD＝（ ） A．105° B．120° C．135° D．150° 4.如图，半圆 O 的直径 AB＝10cm，弦 AC＝6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长 为（ ） A． 4 5 cm B．3 5 cm C．5 5 cm D．4cm 5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为 72°，则该正多边形的边数 是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．如图在⊙O 中，若点 C 是 的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ） 2 A．45° B．80° C．85° D．90° 7.如图，弧 DA 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧 DA 上任意一点，若 AC＝5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ） A．15 B．20 C．15＋5 2 D．15＋5 5 8.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C、D 是 BE 上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE 是（ ） A．40° B．60° C．80° D．120° 9．下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个 10．如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝120°，半径 OA＝6，C 是弧 AB 的中点，CD⊥OA， 交 AB 于点 D，则 CD 的长为（ ） 3 A． B．3 C． D．2 11．如图，半圆 O 的直径 AB＝10cm，弦 AC＝6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为（ ） A． cm B． cm C． cm D．4cm 12．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 分别是⊙O 上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm， BD＝ cm，则⊙O 的半径是（ ） A． cm B．2cm C． cm D．3cm 二．填空题 13．如图，在⊙O 中， ，AB＝3，则 AC＝ ． 14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将 AB 旋转 n°得到 CD ，则 CD 的度数 是 度． 15.已知：如图，在⊙O 中，C 在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____ 4 16．点 A、C 为直径是 6 的圆周上两点，点 B 为 的中点，以线段 BA、BC 为邻边作菱形 ABCD，顶点 D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长 为 ． 17．如图，⊙O 的半径为 10，点 A、E、B 在圆周上，∠AOB＝45°，点 C、D 分别在 OB、OA 上，菱形 OCED 的面积为 ． 18．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D、C 在⊙O 上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC ＝ ，则⊙O 的半径长为 ． 三．解答题 19．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，BD＝AC． 求证：AB＝CD． 5 20．如图，在 Rt△ABO 中，∠O＝90°，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 AB 于点 C，交 OA 于点 D． （1）若∠A＝25°，则弧 BC 的度数为 ． （2）若 OB＝3，OA＝4，求 BC 的长． 21．如图，已知：AC、BD 是⊙O 的两条弦，且 AC＝BD，求证：AB＝CD． 22.如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC、AC 于点 D、E，且点 D 为 BC 的中点． （1）求证：△ABC 为等边三角形； （2）求 DE 的长； （3）在线段 AB 的延长线上是否存在一点 P，使△PBD≌△AED？若存在，请 求出 PB 的长；若不存在，请说明理由． 6 23．如图，AB 为€ ⊙O 的弦，半径 OC，OD 分别交 AB 于点 E，F．且 ＝ ． （1）求证：OE＝OF； （2）作半径 ON⊥AB 于点 M，若 AB＝8，MN＝2，求 OM 的长． 24.如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是 AB 上任一点（点 P 不与点 A、B 重合）， 连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M． （1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度； （2）求证：△ACM≌△BCP； （3）若 PA＝1，PB＝2，求梯形 PBCM 的面积． 7 25．已知⊙O 经过四边形 ABCD 的 B、D 两点，并与四条边分别交于点 E、F、 G、H，且 ＝ ． （1）如图①，连接 BD，若 BD 是⊙O 的直径，求证：∠A＝∠C； （2）如图②，若 的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数 量关系． 8 北师大版九年级数学下册第三章 3．2 圆的对称性 同步测试(解析版) 一．选择题 1.圆内接四边形 ABCD，∠A，∠B，∠C 的度数之比为 3：4：6，则∠D 的度数 为（ ） A．60 B．80 C．100 D．120 解：∵内接四边形的对角互补， ∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5 设∠A 的度数为 3x，则∠B，∠C，∠D 的度数分别为 4x，6x，5x ∴3x＋4x＋6x＋5x＝360° ∴x＝20° ∴∠D＝100° 故选：C． 2．如图，在⊙O 中， ＝2 ，则以下数量关系正确的是（ ） A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB 解：如图．连接 BC． ∵ ＝2 ， ∴ ＝ ， ∴AB＝BC， ∴AB+BC＞AC， ∴2AB＞AC， 故选：C． 3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC、CD、DA 是⊙O 的弦，且 BC＝CD＝DA，则 9 ∠BCD＝（ ） A．105° B．120° C．135° D．150° 解：由题意知，弦 BC、CD、DA 三等分半圆， ∴弦 BC 和 CD 和 DA 对的圆心角均为 60°， ∴∠BCD＝120°． 故选：B． 4.如图，半圆 O 的直径 AB＝10cm，弦 AC＝6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长 为（ ） A． 4 5 cm B．3 5 cm C．5 5 cm D．4cm 解：连接 OD，OC，作 DE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴  CD BD ， ∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD， ∴△AOF≌△ODE， ∴OE＝AF＝ 1 2 AC＝3（cm），在 Rt△DOE 中，DE＝ 2 2OD OE ＝4（cm）， 在 Rt△ADE 中，AD＝ 2 2DE AE ＝4 5 （cm）． 故选：A． 10 5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为 72°，则该正多边形的边数 是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 解：设正多边形的边数为 n． 由题意 ＝72°， ∴n＝5， 故选：B． 6．如图在⊙O 中，若点 C 是 的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ） A．45° B．80° C．85° D．90° 解：∵ ＝ ， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°， ∴∠AOB＝45°+45°＝90°， 故选：D． 7.如图，弧 DA 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧 DA 上任意一点，若 AC＝5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ） A．15 B．20 C．15＋5 2 D．15＋5 5 解：由于 AC 和 BC 值固定，点 P 在弧 AD 上，而 B 是圆心，所以 PB 的长也是 定值，因此，只要 AP 的长为最大值，∴当 P 的运动到 D 点时，AP 最长为 5 2 ， 11 所以周长为 5×3＋5 2 ＝15＋5 2 ．故选：C． 8.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C、D 是 BE 上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE 是（ ） A．40° B．60° C．80° D．120° 解：∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝180－∠AOE＝120°， ∴ BE 的度数是 120°， ∵C、D 是 BE 上的三等分点， ∴ CD 与 ED 的度数都是 40 度， ∴∠COE＝80°． 故选：C． 9．下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是 等弧． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个 解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦； ③、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴． 故选：D． 10．如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝120°，半径 OA＝6，C 是弧 AB 的中点，CD⊥OA， 交 AB 于点 D，则 CD 的长为（ ） 12 A． B．3 C． D．2 解：连接 OC，交 AB 于 F， ∵C 是 的中点， ∴ ， ∴∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB＝ ＝60°，OC⊥AB， Rt△BOF 中，OB＝OA＝6， ∴OF＝ OB＝3， ∴CF＝6﹣3＝3， ∵CD⊥OA， ∴∠OEC＝90°， ∴∠OCE＝30°， ∵∠CFD＝90°， ∴DF＝ ，CD＝2DF＝2 ， 故选：D． 11．如图，半圆 O 的直径 AB＝10cm，弦 AC＝6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为（ ） A． cm B． cm C． cm D．4cm 解：连接 OD，OC，作 DE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 13 ∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质）， ∴ ＝ ， ∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD， ∴△AOF≌△ODE， ∴OE＝AF＝ AC＝3（cm）， 在 Rt△DOE 中，DE＝ ＝4（cm）， 在 Rt△ADE 中，AD＝ ＝4 （cm）． 故选：A． 12．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 分别是⊙O 上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm， BD＝ cm，则⊙O 的半径是（ ） A． cm B．2cm C． cm D．3cm 解：过点 O 作 OE⊥AB，与圆交于点 E，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G，连接 CE、DE、BC． ∴GH＝DE＝2 ∵OC⊥OD，OE⊥AB， ∴∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°， ∴∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD， ∴AC＝DE＝2，CE＝BD＝ ， ∵∠COD＝90°，∠BOE＝90°， ∴∠CBD＝ ∠COD＝45°，∠BCE＝ BOE＝45°， ∴∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°， 14 ∴∠CED+∠BCE＝180°， ∴DE∥BC，四边形 EDBC 为等腰梯形， ∵BD＝ ，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°， ∴HB＝HD＝ BD＝1， 同理 EG＝1， ∵EG⊥BC，DH⊥BC， ∴EG∥DH， ∴四边形 EDHG 是平行四边形， ∴GH＝DE＝2， ∴BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4 在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20， ∴AB＝ ， OA＝OB＝ 故选：C． 二．填空题 13．如图，在⊙O 中， ，AB＝3，则 AC＝ 3 ． 解：∵在⊙O 中， ， ∴AC＝AB＝3， 故答案为：3 15 14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将 AB 旋转 n°得到 CD ，则 CD 的度数 是 度． 解：∵将 AB 旋转 n°得到 CD ， ∴ AB ＝ CD ， ∴∠DOC＝∠AOB＝20°， ∴ CD 的度数为 20 度． 故答案为 20． 15.已知：如图，在⊙O 中，C 在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____ 解：∵在⊙O 中，C 在圆周上，∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°． 故答案为：90°． 16．点 A、C 为直径是 6 的圆周上两点，点 B 为 的中点，以线段 BA、BC 为邻边作菱形 ABCD，顶点 D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 6 或 3 ． 解：过 B 作直径，连接 AC 交 AO 于 E， ∵点 B 为 的中点， 16 ∴BD⊥AC， 如图①， ∵点 D 恰在该圆直径的三等分点上， ∴BD＝ ×6 ＝2 ， ∴OD＝OB﹣BD＝ ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴DE＝ BD＝ ， ∴OE＝2 ， 连接 OC， ∵CE＝ ， ∴边 CD＝ ； 如图②，BD＝ ×6 ＝4 ， 同理可得，OD＝ ，OE＝ ，DE＝2 ， 连接 OC， ∵CE＝ ， ∴边 CD＝ ， 故答案为 6 或 3 ． 17 17．如图，⊙O 的半径为 10，点 A、E、B 在圆周上，∠AOB＝45°，点 C、D 分别在 OB、OA 上，菱形 OCED 的面积为 50 ﹣50 ． 解：连接 OE，CD 交于点 G，过 D 作 DF⊥OB 于 F， ∵∠AOB＝45°， ∴△ODF 是等腰直角三角形， 设 OF＝x，则 DF＝x，OD＝ x， ∵四边形 OCED 是菱形， ∴OE⊥CD，OG＝EG＝ OE＝5， ∵OC＝OD， ∴∠ODG＝∠DCF， ∵∠DFC＝∠OGD＝90°， ∴△DFC∽△OGD， ∴ ， ∴ ，DC＝ ， 在 Rt△OCG 中， ， 解得 x2＝50+25 （舍）或 50﹣25 ， ∴菱形 OCED 的面积＝ CD•OE＝ •10＝ ＝50 ﹣50， 故答案为：50 ﹣50． 18 18．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D、C 在⊙O 上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC ＝ ，则⊙O 的半径长为 ． 解：延长 CO 交⊙O 于 R，连 AR，DR，过 D 作 DM⊥AR 于 M， ∵∠DOC＝90°， ∴∠DOR＝90°， ∴∠DAR＝180°﹣ ×90°＝135°， ∴∠DAM＝45°， ∵DM⊥AM，DA＝2， ∴DM＝AM＝ ， ∴MR＝2 ，DR＝ ， ∵2OD2＝DR2， ∴OD＝ 故答案为 三．解答题 19．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，BD＝AC． 求证：AB＝CD． 19 证明：∵BD＝AC， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴AB＝CD 20．如图，在 Rt△ABO 中，∠O＝90°，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 AB 于点 C，交 OA 于点 D． （1）若∠A＝25°，则弧 BC 的度数为 50° ． （2）若 OB＝3，OA＝4，求 BC 的长． 解：（1）连接 OC． ∵∠AOB＝90°，∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝65°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB＝65°， ∴∠BCO＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴弧 BC 的度数为 50°， 20 故答案为 50°． （2）如图，作 OH⊥BC 于 H． 在 Rt△AOB 中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3， ∴AB＝ ＝ ＝5， ∵S△AOB＝ •OB•OA＝ •AB•OH， ∴OH＝ ＝ ， ∴BH＝ ＝ ＝ ， ∵OH⊥BC， ∴BH＝CH， ∴BC＝2BH＝ ． 21．如图，已知：AC、BD 是⊙O 的两条弦，且 AC＝BD，求证：AB＝CD． 证明：∵AC＝BD， ∴ ＝ ， ∴ ﹣ ＝ ﹣ ， ∴ ＝ ， ∴AB＝CD． 22.如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC、AC 于点 D、E，且点 D 为 BC 的中点． （1）求证：△ABC 为等边三角形； （2）求 DE 的长； （3）在线段 AB 的延长线上是否存在一点 P，使△PBD≌△AED？若存在，请 求出 PB 的长；若不存在，请说明理由． 21 解：（1）证明：连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵点 D 是 BC 的中点， ∴AD 是线段 BC 的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连接 BE． ∵AB 是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴BE⊥AC， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AE＝EC，即 E 为 AC 的中点， ∵D 是 BC 的中点，故 DE 为△ABC 的中位线， ∴DE＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×2＝1． （3）解：存在点 P 使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD＝ED， ∵∠BAC＝60°，DE∥AB， ∴∠AED＝120°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠PBD＝120°， ∴∠PBD＝∠AED，要使△PBD≌△AED； 只需 PB＝AE＝1． 22 23．如图，AB 为€ ⊙O 的弦，半径 OC，OD 分别交 AB 于点 E，F．且 ＝ ． （1）求证：OE＝OF； （2）作半径 ON⊥AB 于点 M，若 AB＝8，MN＝2，求 OM 的长． （1）证明：连接 OA、OB，如图 1 所示： ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， ∵ ＝ ， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE 和△OBF 中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴OE＝OF； （2）解：连接 OA，如图 2 所示： ∵OM⊥AB， ∴AM＝ AB＝4， 设 OM＝x，则 OA＝ON＝x+2， 在 Rt△AOM 中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2， 解得：x＝3， ∴OM＝3． 23 24.如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是 AB 上任一点（点 P 不与点 A、B 重合）， 连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M． （1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度； （2）求证：△ACM≌△BCP； （3）若 PA＝1，PB＝2，求梯形 PBCM 的面积． 解：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°； （2）证明：∵CM∥BP， ∴∠BPM＋∠M＝180°， ∠PCM＝∠BPC， ∵∠BPC＝∠BAC＝60°， ∴∠PCM＝∠BPC＝60°， ∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－（∠APC＋∠BPC）＝180°－120°＝60°， ∴∠M＝∠BPC＝60°， 又∵A、P、B、C 四点共圆， 24 ∴∠PAC＋∠PBC＝180°， ∵∠MAC＋∠PAC＝180° ∴∠MAC＝∠PBC ∵AC＝BC， ∴△ACM≌△BCP； （3）解：作 PH⊥CM 于 H， ∵△ACM≌△BCP， ∴CM＝CP AM＝BP， 又∠M＝60°， ∴△PCM 为等边三角形， ∴CM＝CP＝PM＝PA＋AM＝PA＋PB＝1＋2＝3， 在 Rt△PMH 中，∠MPH＝30°， ∴PH＝ 3 3 2 ， ∴S 梯形 PBCM＝ 1 2 （PB＋CM）×PH＝ 1 2 (2＋3)× 3 3 2 ＝ 15 3 4 ． 25．已知⊙O 经过四边形 ABCD 的 B、D 两点，并与四条边分别交于点 E、F、 G、H，且 ＝ ． （1）如图①，连接 BD，若 BD 是⊙O 的直径，求证：∠A＝∠C； （2）如图②，若 的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数 量关系． 25 解：（1）连接 DF、DG． ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DFB＝∠DGB＝90°， ∵ ＝ ， ∴∠EDF＝∠HDG， ∵∠DFB＝∠EDF+∠A， ∠DGB＝∠HDG+∠C， ∴∠A＝∠C． （2）结论：α+β+θ＝180°． 理由：如图②中，连接 DF，BH． ∵ ＝ ， ∴∠ADF＝∠HBG＝ θ， 26 ∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°， ∴∠AFD＝∠DHB， ∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG， ∴∠A+ θ+∠C+ θ＝180°， ∴α+β+θ＝180°．