2020—2021学年北师大版八年级数学下册1.2.1直角三角形第1课时学案

北师大版八年级数学下册第 1 章三角形的证明 1.1 直角三角形 第 1 课时 直角三角形 1 【知识清单】 一、直角三角形的性质 1、定理：直角三角形两个锐角互余； 2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 二、直角三角形的判定 1、定理：有两个角互余的三角形是直角三角形； 2、定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角 形. 三、互逆命题、互逆定理 1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那 么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称 为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 【经典例题】 例题 1、若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【考点】三角形内角和定理，直角三角形的判定． 【分析】根据已知列出相关的等式，在由三角形的内角和定理推出这个三角形有一个 角是直角． 【解答】设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3(其中∠3 最大)， 根据题意得：∠1=∠3-∠2， ∴∠1+∠2=∠3， 又∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)， ∴2∠3=180°， ∴∠3=90°． 故选 B． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定定理，解答的关键是沟通三 个内角的关系． 例题 2、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，在 AB 上截取 AE=AC，BD=BC． 求∠DCE 的度数． 【考点】 等腰三角形的性质、直角三角形性质. 【分析】因为在△ABC 中，∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，根据等腰三角形性质和三 角形的性质求出∠3=∠DCE+∠2，∠3=∠A+∠1，∠4=∠DCE+∠1，∠4=∠B+∠2，求出即 可． 【解答】∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵AC=AE，BD=BC， ∴∠3=∠DCE+∠2，∠3=∠A+∠1， ∠4=∠DCE+∠1，∠4=∠B+∠2， ∴∠DCE+∠2=∠A+∠1，∠DCE+∠1=∠B+∠2， ∴2∠DCE+∠1+∠2=∠A+∠B+∠1+∠2， ∴2∠DCE=∠A+∠B， ∴∠DCE = )(2 1 BA  =45°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，直角三角形中两 个锐角互余，关键是求出∠DCE 与(∠A+∠B)的等量关系． 【夯实基础】 1、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能不构成直角三角形的是( ) A．2、 3 、 7 B． 3 、 4 、 5 C．1、 2 、 3 D．5、12、 13 2、下列定理中，没有逆定理的是( ) A、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 B、直角三角形中，两锐 角互余 C、全等三角形的对应角相等 C、两直线平行内错角 3、若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且满足(c-b)·(c2+b2-a2)=0，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角 三角形 4、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=52°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处， 折痕为 CD，则∠A′DB=( ) A．24° B．16° C．14° D．4° 例题 2 图 第 5 题图 5、如果一个三角形的外角与它相邻的内角相等，则这个三角形为 . 6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 B 恰好与点 A 重合，若 AC=4cm，BC=8cm，则△ACD 的面积 . 7、如图，∠1=∠C，AD⊥BC，垂足为 D，有下列结论： (1)图中有三个直角三角形；(2)∠B+∠C=90°； (3)∠B=∠2； (4)AD2=BD·CD； (5)AB·AC=AD·BC. 其中正确的是 .(填正确的序号) 8、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出逆命题并写成“如果…，那么…. 的形式”；(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写 出“已知”，“求证”，再 进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明． 9、如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯截面图，已知 BC=6 米，AB=9 米，中间平台 DE 与地面 AB 平行，且 DE 的长度为 2 米，DM、EN 为平台的两根支柱，DM、EN 垂 直于 AB，垂足分别为 M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为 3 米． (1)若要在楼梯上(包括平台 DE)铺满地毯， 求地毯的面积； (2)沿楼梯从 A 点到 E 点铺设价格为每平方米 100 元的地毯，从 E 点到 C 点铺设价格为每 平方米 120 元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯 共需要花费多少元钱？(结果精确到 1 元) 【提优特训】 第 7 题图 第 9 题图 10、如果一个三角形的三条高的交点是这个三角形的其中一个顶点，那么这个三角形 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 11、如图，点 P 是等边三角形△ABC 内部一点，AP=2，BP= 32 ，CP=4，则△ABC 的面 积为( ) A．81 B． 4 81 C．27 D． 2 81 12、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，∠BAC=60°，点 P 是 BC 边上的动点(不 与 B、C 重合)，则 AP 的长不可能是( ) A. 5.7 B. 6.5 C. 9.8 D. 10 13、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，AD 是腰 BC 上的中线，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，延长 CH 到 E，使 CE=AD，交 AB 于 F，连接 EB、FD，有如 下结论：①∠EBC=90°； ②∠1=∠2；③EF=DF；④FH=CH；⑤四边形 EBDH 的面积等于三角形 AHC 的 面积.其中正确的结论个数为( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 14、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC， D、E 是斜边 BC 上的动点(不与 B、 C 重合)，在运动过程中始终保持∠DAE=45°，线段 BD=a，DE=b，EC=c，则 BD、 DE、EC 的等量关系为 . 15、如图，△ABC，∠ACB=90°，E 是 AC 的点连接 DE、BE，若 CE=CB，DE=AB． 则∠DAC 的度数为 . 第 11 题图 第 12 题图 第 15 题图第 13 题图 第 14 题图 16、下列命题：(1)等腰三角形两底角相等；(2)如图 a=b，则 a2=b2；(3)直角三角形的 两个锐角互余；(4)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；(5)对 顶角相等.其中逆命题是真命题的是 .(填序号) 17、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，BE 是∠ABC 的平分线， 交 AD 于点 F，交 AC 于点 E，求证：AE=AF. 18 、阅读下列材料，并解决问题： 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边 BC 上的高，两条直角边 AB=a，AC=b， 斜边 BC=c， 斜边上的高 AD=h， 下列结论一定成立的是( ) A. ab=h2 B. ab=ch C. a+b=h+c D. ah=cb 解答：∵△ABC 是直角三角形， ∴△ABC 的面积= abACAB 2 1 2 1  . 又∵AD 是斜边 BC 上的高， ∴△ABC 的面积= chADBC 2 1 2 1  . ∴ chab 2 1 2 1  ， ∴ chab  . 故选 B. 根据上面的结论解决下列问题： (1)已知一直角三角形的两条直角边的长分别为 9，40，斜边上的高为 41 360 ，求斜边 的长； (2)已知一等腰直角三角形的斜边为 c，直角边为 a，斜边上的高为 h，若 h=7，求直 角边 a 的 长度. 【中考链接】 第 17 题图 第 18 题图 19、(2020•重庆 B)如图，在△ABC 中，AC 22 ，ABC45，BAC15，将ACB 沿 直线 AC 翻折至ABC 所在的平面内，得ACD．过点 A 作 AE，使DAEDAC， 与 CD 的延长线交于点 E，连接 BE，则线段 BE 的长为( ) A． 6 B．3 C． 32 D．4 20、(2020•广西玉林)如图是 A、B、C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛北偏东 35方向，B 岛 在 A 岛北偏东 80方向，C 岛在 B 岛北偏西 55方向，则 A、B、C 三岛组成一个( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 参考答案 1、B 2、C 3、D 4、C 5、直角三角形 6、6cm2 7、(1)(2)(3)(4)(5) 10、B 11、 B 12、D 13、C 14、a2+b2=c2 15、45° 16、(1) (3)(4) 19、C 20、C 8、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出逆命题并写成“如果…，那么…. 的形式”；(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写 出“已知”，“求证”，再 进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明． (1)逆命题：在一个三角形中，如果两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． (2)真命题． 如图已知△ABC 中， CE、BD 分别是 AB、AC 上的高，若 BD=CE， 第 19 题图 第 20 题图 求证：△ABC 是等腰三角形． 证明：∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴CE⊥AB，BD⊥AD， ∴∠AEC=∠ADB=90°， ∵∠A=∠A， ∵BD=CE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC， ∴AB=AC， ∴△ABC 是等腰三角形． 9、如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯截面图，已知 BC=6 米，AB=9 米，中间平台 DE 与地面 AB 平行，且 DE 的长度为 2 米，DM、EN 为平台的两根支柱，DM、EN 垂 直于 AB，垂足分别为 M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为 3 米． (1)若要在楼梯上(包括平台 DE)铺满地毯， 求地毯的面积； (2)沿楼梯从 A 点到 E 点铺设价格为每平方米 100 元的地毯，从 E 点到 C 点铺设价格为每 平方米 120 元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯 共需要花费多少元钱？(结果精确到 1 元) 解：(1)S=3(AB+BC)=3×(6+9)=45m2； (2)设 AN=x，则 BM= 9-2-x=7-x，EN=BF=a，则 AE=2a， 在 Rt△AEN 中，AE2-EN2=AN2，即(2a)2-a2=x2， 解得 a= x3 3 ， 在 Rt△DCF 中，∠CDF=45°， ∴∠DCF=45°， ∴BM=DF=CF， ∵BC=BF+CF=6， ∴ x3 3 +7-x=6， 解得 x≈2.366， ∴AN=2.366m，BM=4.634m，CF=4.634m，EN=1.366m， 所需费用为：100×3×(AN+EN)+120×3×(ED+DF+CF) =100×3×(2.366+1.366)+120×3×(2+4.634+4.634) =5176.08≈5177(元)． 第 8 题图 第 9 题图 答：(1)面积为 45m2；(2)共需要约 5177 元． 17、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，BE 是∠ABC 的平分线， 交 AD 于点 F，交 AC 于点 E，求证：AE=AF. 证明：∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠BAC=90°， ∴∠1+∠AEF=90°， ∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB=90°， ∴∠2+∠BFD=90°， ∴∠1+∠AEF=∠2+∠BFD， ∴∠AEF=∠BFD， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AE=AF. 18、阅读下列材料，并解决问题： 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边 BC 上的高，两条直角边 AB=a，AC=b， 斜边 BC=c， 斜边上的高 AD=h， 下列结论一定成立的是( ) A. ab=h2 B. ab=ch C. a+b=h+c D. ah=cb 解答：∵△ABC 是直角三角形， ∴△ABC 的面积= abACAB 2 1 2 1  . 又∵AD 是斜边 BC 上的高， ∴△ABC 的面积= chADBC 2 1 2 1  . ∴ chab 2 1 2 1  ， ∴ chab  . 故选 B. 根据上面的结论解决下列问题： (1)已知一直角三角形的两条直角边的长分别为 9，40，斜边上的高为 41 360 ，求斜边 的长； (2)已知一等腰直角三角形的斜边为 c，直角边为 a，斜边上的高为 h，若 h=7，求直 角边 a 的 第 17 题图 第 18 题图 长度. 解：(1)设两条直角边分别为 a、b，且 a=9，b=40，斜边上的为 h，h= 41 360 ，斜边为 c， 据上面的结论可得 chab  ， 即 c41 360409  解得，c=41. 所以斜边的长为 41. (2)∵三角形是等腰直角三角形，h=7， ∴c=2h=14. ∴据上面的结论可得 a2=7×14， ∴ 27a ， ∴直角边 a 的长度 27 .