2020—2021学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形第2课时学案

北师大版八年级数学下册第 1 章三角形的证明 1.1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形 2 【知识清单】 1.等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的中线、高也相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 【经典例题】 例题 1、如图，△ABC 中，AC=AD，BC=BE，∠ACB=126°，则∠ECD=( ) A. 23° B. 25° C. 27° D.31° 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据 AC=AD，BC=BE，利用等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠ADC ∠BCE= ∠BEC.再利用三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=126°，可得∠A+∠ B=54°，进而可以求得∠ECD+∠CDE =153°，再由∠ECD+∠CDE +∠ECD=180°，可得∠DCE 的大小． 【解答】∵ AC=AD， BC=BE， ∴ ∠ACD=∠ADC ，∠BCE=∠BEC. 而在△ABC 中，∠ACB=126°， ∴∠A+∠B=180°-116°=54°， 又在△ACD 中， ∠ACD+∠ADC=180°-∠A， 在△BCE 中， ∠BCE+∠BEC=180°-∠B， ∴∠BCE+∠BEC+∠ACD+∠ADC=360°-54°=306°， ∴2∠BEC+2∠ADC=306°， ∴∠BEC+∠ADC=153°， ∴在△ECD 中， ∠ECD=180°-(∠ECD+∠CDE)=180°-(∠BCE+∠ADC) =180°-153° =27°. 故选 C. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解答此题的关键是建立起 各角之间的等量关系，结合图形列出相关等式进行解答即可． 例题 2、如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD． 例题 1 图 【考点】 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】根据等边三角形各边长相等的性质，可得 AB=BC，BE=BD，根据等边三角形 各内角为 60°，可得∠ABE=∠DBE，进而求证△ABE≌△CBD(SAS)，即可求得 AE=CD． 【解答】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE 是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE， ∴在△ABE 和△CBD 中， ∵       BDBE CBDABE BCAB ， ∴△ABE≌△CBD(SAS)， ∴AE=CD． 【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各 内角为 60°的性质，本题中求证△ABE≌△CBD(SAS)是解题的关键． 【夯实基础】 1、下列命题:①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等 腰三角形都是锐角三角形.其中不正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2、如图，将边长为 5 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 4 个单位得到△ CBA  ， 则四边形 BCAA  的周长为( ) A．28 B．26 C．24 D．23 3、如图，直线 l∥m∥n，等边三角形 ABC 的顶点 A，B，C 分别在直线 m、l 和 n 上， 边 AC 与直线 m 的夹角为 38°，则∠α的度数为( ) A．22° B．24° C．28° D．38° 例题 2 图 第 2 题图 第 3 题图 4、若 a、b 为实数，且满足 10)226( 2  ba =0 ，以 a、b 的值为两边长的等腰三角 形的面积是( ) A．120 B．60 C．40 D．30 5、边长为 12cm 的等边三角形的面积为= . 6、等腰三角形的周长为 17，且三边均为整数，则腰长为 . 7 、 等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 与 腰 的 夹 角 为 50° ， 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 是 . 8、如图已知 CA=CD，EA=EB，∠CFE=123°，求∠A 的度数. 9、如图， △ABC 是等边三角形，E、D 分别是边 BC，AC 上的点，且 BE=CD， 求证：∠AEC+∠BDC=180°. 【提优特训】 10、等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为 100°，则顶角的度数为 ( ). A．80° B．100° C．80 或 100° D．80°或 140° 11、如图，点 D 是△ABC 内一点，AD=BD=CD，若∠BAC=62°，则∠DBC 度数是( ) A．28° B．32° C．36° D．40° 第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图 12、如图，△ABC 中，AB=AC，△DEF 为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为( ) A ． 2β= α+γ B ． 2α=β+γ C ． 2β= α-γ D．2α=β-γ 13、如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线，△ABC 为等边三角形，∠ADC=30°， AD=3，BD=5，则 CD 的长为 ( )． A． 34 B． 52 C．4 D．4.2 14、如图，是等边三角形，B 的坐标为(-5，2)，C 的坐标为(-1，2)，则直线 AC 的解析 式为 . 15、如图，在△ABC 中，AB=AC，AE=ED=DB=BC，则∠A= . 16、如图，在△ABA1 中，∠B=20°，AB=A1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1 到 A2，使 得 A1A2=A1C 得到第 1 个△A1A2C；在 A2C 取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得 A2A3=A2D， 得到第 2 个△A2A3D；…，按此做法进行下去，则：①第 3 个等腰三角形△A3A4E 的底角度数为 ， ②第 n 个等腰三角形的底角度数为 . 17、已知△ABC 为等腰三角形，∠A=100°，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D， 求证：AD＋BD=BC. 第 14 第 13 题 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 18、如图，在等腰三角形△ABC 中，AB=AC，点 D 是底边 BC 所在直线上任意一点， 探究点 D 到这个等腰三角形两腰的距离与一腰的高等量关系. 【中考链接】 19、(2020•江苏苏州) 如图，在△ABC 中，BAC ，将△ABC 绕点 A 按逆时针方 向旋转得到△ABC．若点 B恰好落在 BC 边上，且 ABCB，则C的度数为 ( ). A．18° B．20° C．24° D．28° 20、(2020•西藏)如图，△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，AD=AC，以线段 AD 为边作△ ADE，使得 AE=AB，∠BAE=∠CAD．求证：DE=CB． 第 19 题图 第 20 题图 参考答案 1、C 2、D 3、A 4、B 5、 336 cm2 6、5 或 6 或 7 或 8 7、40°或 140° 10、 C 11、A 12、B 13、C 14、 323  xy 15、 )7 180( 16、①10° ② n2 80 19、C 8、如图已知， CA=CD，EA=EB，∠CFE=123°，求∠A 的度数. 解： ∵CA=CD，EA=EB， ∴∠A=∠ADC，∠A=∠ABE， 在△ACD 中，∠C+∠A+∠ADC=180°， 即∠C+2∠A =180°， ∴∠C =180°-2∠A， 同理∠E =180°-2∠A. ∵∠CFE=∠FDE+∠E，∠FDE=∠A+∠C， ∴∠CFE=∠A+∠C+∠E. 第 8 题图 ∴∠CFE=∠A+180°-2∠A +180°-2∠A. ∵∠CFE=123°， ∴123°=∠A+180°-2∠A +180°-2∠A. 解得∠A=79°. 9、如图， △ABC 是等边三角形，E、D 分别是边 BC，AC 上的点，且 BE=CD， 求证：∠AEC+∠BDC=180°. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°. 在△ABE 和△BCD 中， ∵       CDBE CABC BCAB ， ∴△ABE≌△BCD(SAS). ∴∠1=∠2， ∵∠APD=∠1+∠ABP=∠2+∠ABP=∠ABC=60°， ∴∠DPE=120°， ∵∠C+∠DPE=60°+120°=180°， ∴∠AEC+∠BDC=360°- (∠C+∠DPE)=360°-180°=180°. 17、已知△ABC 为等腰三角形，∠A=100°，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D， 求证：AD＋BD＝BC. 证明：如图，在 BC 上截取 BE=BA，延长 BD 到 F 使 BF=BC，连接 DE、CF． ∵AB=AC， ∴∠1=∠2=  202 1 ABC ， 在△ABD 和△EBD 中， ∵       BDBD BEBA 21 ， ∴△ABD≌△EBD. ∴∠DEB=∠A=100°，则∠5=∠DEC=80°. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠6= 2 100180  =40°， ∴∠3=180°  ∠5  ∠6=60°， ∴∠4=∠ADB=180°  ∠A  ∠1=60°， 第 9 题图 第 17 题图 第 17 题图 ∴∠3=∠4， ∵BC=BF，∠2=20°， ∴∠F=∠FCB=  802 20180 ， ∴∠5=∠F， 又∵DC=DC， 在△CED 和△CFD 中， ∵       DCDC F5 43 ， ∴△CED≌△CFD(AAS)， ∴DF=DE=AD， ∴BC=BF=BD+DF=BD+AD. 18、如图，在等腰三角形△ABC 中，AB=AC，点 D 是底边 BC 所在直线上任意一点， 探究点 D 到这个等腰三角形两腰的距离与一腰的高等量关系. 探究：(1)如图 1，点 D 在底边 BC 上(不与 B、C 重合)，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，CG⊥AB 于 G，则 DE+DF=CG； 如图 1，连接 AD，则 S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴ DFACDEABCGAB  2 1 2 1 2 1 . ∵AB=AC， ∴CG=DE+DF； 探究(2)如图 2，点 D 在直线 BC 上点 C 的右侧，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，CG⊥ AB 于 G，则 DE  DF=CG； 如图 2，连接 AD，则 S△ABC=S△ABD  S△ACD， ∴ DFACDEABCGAB  2 1 2 1 2 1 ∵AB=AC， ∴ DFDECG  ； 第 18 题图 1第 18 题图 1 第 18 题图 2 探究(3)如图 3，点 D 在直线 BC 上点 B 的左侧，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，CG ⊥AB 于 G，则 DF  DE=CG. 如图 3，连接 AD，则 S△ABC=S△ADC  S△ADB， ∴ DEABDFACCGAB  2 1 2 1 2 1 ∵AB=AC， ∴ DEDFCG  . 20、(2020•西藏)如图，△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，AD=AC，以线段 AD 为边作△ ADE，使得 AE=AB，∠BAE=∠CAD．求证：DE=CB． 证明：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD， ∴∠EAD=∠BAC. 在△EAD 和△BAC 中， ∵       ACAD BACEAD BAEA ， ∴△EAD≌△BAC(SAS)， ∴DE=CB． 第 18 题图 3 第 20 题图