辅导学案
学员编号: 所属年级:高二 课 时 数:3
学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师:
课程主题:LBFSJ-寒假-06-圆锥曲线的定义 授课时间:2021-02-01 第三档
学习目标
1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义和标准方程,能用椭圆的
定义和标准方程解决简单的实际问题
2.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程;掌握双曲线的定义和标准方程;能利用
双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题
3.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程
教学内容
一、椭圆的标准方程
【知识梳理】
1.椭圆的定义:平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数( ),
这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
【说明】
若 ,则动点 的轨迹为线段 ;
若 ,则动点 的轨迹无图形.
2.求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法:
(1)待定系数法:
①若能够根据题目中条件确定焦点位置,可先设出标准方程,再由题设确定方程中的参数 ,即:“先
定型,再定量”;
②由题目中条件不能确定焦点位置,一般需分类讨论;有时也可设其方程的一般式:
.
(2)定义法:先分析题设条件,判断出动点的轨迹,然后根据椭圆的定义确定方程,即“先定型,再定
量”.利用该方法求标准方程时,要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
【例题精讲】
例 1.已知圆
‹
ͷ
,动圆
经过定点
댳䁡ͷ
,且与已知圆内切,则圆心
的轨迹
方程为 .
例 2.设椭圆的一个焦点为 ,且 ,则椭圆的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
例 3.已知方程
댳䁒
䁒
表示椭圆,则 k 的取值范围为____________.
例 4.斜率为
的动直线
与椭圆
交于
,
两点,
是
上的点,且满足
,
求点
的轨迹方程.
例 5.已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M 过定点 P(-1,0)且与⊙Q 相切,则 M 点的轨迹方程是:
.
例 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 M(x,y)在运动过程中满足关系式: ,
则点 M 的轨迹是( )
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 直线
例 7.已知圆 ,定点 , 是圆 上的一动点,则线段 的垂直平分线和 的交
点 的轨迹方程为__________ .
例 8.
在
中,已知
䁡ͷ
、
䁡ͷ
,三边长
,且
݅ ݅ ݅
,则顶点
的轨迹方程
是
.
例 9.已知圆
‹
.
(1)设点
䁡
是圆
上一点,求
的取值范围;
(2)如图,定点
䁡ͷ
,
为圆
上一动点,
的中垂线交
于点
.求证:动点
的轨迹为椭圆,
并求其方程.
例 10.已知圆 C1:(x+1)2+y2=1 和圆 C2:(x-1)2+y2=25,则与 C1 外切而又与 C2 内切的动圆圆心 P
的轨迹方程是 .
【巩固练习】
1.方程 =10,化简的结果是( )
A.
B.
C.
D.
2.
已知圆 ,圆 ,一个动圆 与圆 外切,与圆 内切,则动圆圆心
的轨迹方程是
__________ .
3.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是__________.
4.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点 P 的轨迹是以 A、B 为
焦点的椭圆”,则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必
要条件
5.已知方程
䁒
댳䁒 䁒
表示焦点在
轴上的椭圆,则
䁒
的取值范围是_____________.
6.已知
䁡ͷ
,
是圆
‹
(
为圆心)上一动点,线段
的垂直平分线交
于点
,
则动点
的轨迹方程是 .
二、双曲线的标准方程
【知识梳理】
1.双曲线的定义
在平面内,到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 ( 大于 0 且 )的动点 的轨
迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
【说明】
(1)双曲线的定义中,常数 应当满足的约束条件: ,这可以借助于三角形中
边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解;
(2)若去掉定义中的“绝对值”,常数 满足约束条件: ( ),则动点轨迹
仅表示双曲线中靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支;
(3)若常数 满足约束条件: ,则动点轨迹是以 、 为端点的两条射线(包
括端点);
(4)若常数 满足约束条件: ,则动点轨迹不存在;
(5)若常数 ,则动点轨迹为线段 的垂直平分线.
2.求双曲线的标准方程
①待定系数法:由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程
中的参数 的值.其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程.
【说明】若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型,再确
定参数 ,即先定型,再定量.若两种类型都有可能,则需分类讨论.
【例题精讲】
例 1.若方程 表示双曲线,则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
例 2.设动点
到点
䁡ͷ
和
䁡ͷ
的距离分别为
和
,
,且存在常数
ͷ 䁙 䁙 䁙
,使
得
sin
.
(1)证明:动点
的轨迹
为双曲线,并求出
的方程;
(2)过点
作直线交双曲线
的右支于
䁡
两点,试确定
的范围,使
ͷ
,其中点
为坐标
原点.
例 3.已知
䁡ͷ 䁡 䁡ͷ
、是
的两个顶点,内角
䁡䁡
满足
sin sin
sin
,则顶点
的轨
迹方程是
例 4.渐近线是
댳 ͷ
和
댳 ͷ
,且过点
䁡
的双曲线的标准方程是_____________.
例 5.已知动圆
与圆
:
外切,与圆
:
内切,则动圆圆心
的
轨迹方程为
.
例 6.已知
䁡ͷ 䁡 䁡ͷ
,是△
的两个顶点,且
,则顶点
的轨迹方程是
例 7.方程
化简的结果是( )
A.
B.
C.
䁡 댳D.
䁡 댳
例 8.求与圆
:
和圆
:
都外切的圆的圆心
的轨迹方程为
.
【巩固练习】
1.设
䁒 䁡
则“
댳 䁙 䁒 䁙 댳
”是“方程
䁒댳
䁒댳
表示双曲线”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必
要条件
2.在△ABC 中,已知 A(-4,0),B(4,0),且 sinA-sinB= ,则 C 的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
3.设定点 F1(0,-1)、F2(0,1),动点 P 满足条件|PF1|-|PF2|=1,则点 P 的轨迹是( )
A. 双曲线或两条射线
B. 双曲线的一支
C. 双曲线
D. 双曲线的一支或一条射线
三、抛物线的标准方程
【知识梳理】
1.抛物线的定义
定义:平面内与一个定点 和一条定直线 ( 不经过点 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点
叫做抛物线的焦点,定直线 叫做抛物线的准线.
【说明】
(1)上述定义可归纳为“一动三定”,一个动点,一定直线,一个定值;
(2)定义中的隐含条件:焦点 不在准线 上,若 在 上,抛物线变为过 且垂直与 的一条直线;
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题时常与抛物线的定义联
系起来,将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化,通过这种转化使问题简单化.
【例题精讲】
例 1.动点 足 ,问点 的轨迹形状为__________.
例 2.动点 到 轴的距离比到点 的距离小 2,求点 的轨迹方程.
例 3.与 轴相切,且与圆 外切的圆的圆心轨迹方程是_______
例 4.动圆
过定点
䁡ͷ
,且与定直线
ͷ
相切,则动圆圆心
的轨迹方程为 .
例 5.已知点 到点 的距离与到直线 的距离之和等于 4,求点 的轨迹方程.
例 6.已知点 ,直线 : ,点 是直线 上的动点,若过 垂直于 轴的直线与
线段 的垂直平分线交于点 ,则点 所在曲线是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
【巩固练习】
1.动圆 与定直线 相切,且与定圆 : 相外切,求动圆圆心 的轨
迹方程.
2.过点 且与直线 相切的圆的圆心轨迹方程是_______.
1.(2013 上海静安一模)【理】过定点
䁡ͷ
作直线
交
轴于
点,过
点作
交
轴于
点,
延长
至
点,使
,则
点的轨迹方程是
.
2.方程
䁒
䁒
表示的曲线为 C,给出下列四个命题: ①曲线 C 不可能是圆; ②若曲线 C 为椭圆,
则1<t<4;③若曲线C为双曲线,则t<1或t>4;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则
䁙 䁒 䁙
.其
中正确命题序号是
.
3.已知双曲线
的渐近线方程为
ͷ
,且点
䁡ͷ
到双曲线上动点
的最小距离为
,求
的
方程.
4.方程 所表示的曲线是__________ .
5.已知复数
满足
݅
,若在复平面上对应点的轨迹是椭圆,则实数
的取值范围
是 .
6.已知方程
䁒
䁒
表示椭圆,则实数
䁒
的取值范围是( )
A.
䁡B.
䁡 䁡
C.
䁡 D.
䁡
7.双曲线
‹
ͷ䁡 ͷ(1)点
䁡ͷ 䁡 䁡ͷ
,动点
在
上,作
䁡
,求点
的轨迹方程;
(2)点
ͷ䁡ͷ 䁡 ͷ䁡 ͷ
E 为上的定点,点 P 为 E 上的动点,作
,
,求
的轨迹
方程.
8.设 P 为双曲线 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,求点 M 的轨迹方程。
9.一动点到定点
ͷ䁡
的距离比到定直线
댳
的距离小 1,则该动点的轨迹方程是 .
10.点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离,已知点
ͷ䁡댳
,曲线
‹
ͷ
,那么平面内到曲线 C 的距离与到点 A 的距离之差的绝对值为 3 的点的轨迹是( )
A. 一条直线,双曲线的一支 B. 一个椭圆、双曲线的一支、一条线段
C. 一条直线,一条射线 D. 一条直线、一条射线、一条线段
11.抛物线
的准线方程为__________________
12.动圆 M 过定点 A 且与定圆 O 相切,那么动圆 M 的圆心的轨迹是( )
A. A.圆,或椭圆
B. B.圆,或双曲线
C. C.椭圆,或双曲线,或直线
D. D.圆,或椭圆,或双曲线,或直线
● 课堂错题收集
● 学霸笔记本:教师引导学生借助知识脑图总结重难点
课后巩固
● 请将本次课错题组卷,进行二次练习,培养错题管理习惯
● 学霸笔记复习,培养复习习惯
预习内容