黑龙江省2021届高三第三次模拟理科数学试题（解析版）

2021 年高三第三次模拟考试 理科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．答 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．关注微信公众号：黑龙江考试 获取更多试卷资源 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知 cos si 4 3n   ，则 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 2. 复数 z 满足 1 3 1 3 2 2 2 2z i i        ，下面各式正确的是（ ） A. 1 2z  B. 1 3 2 2z i  C. 2 1 3 2 2z i  D. 1z z  【答案】D 3. 下面说法错误．．的是（ ） A. 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的； B. 利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值； C. 两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1； D. 在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大． 【答案】D 4. 人们用分贝 dB 来划分声音的等级，声音的等级  d x 单位 dB 与声音强度 x （单位 2W/m ）满足   139lg1 10 xd x   ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为 54dB ，在有 50 人的课堂上讲课时，老师声 音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 10 倍，则老师声音的等级约为（ ） A. 36dB B. 63dB C. 72dB D. 81dB 【答案】B 5. 抛物线 24y x 的焦点到双曲线 2 2 1x y  渐近线的距离是（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 16 D. 2 32 【答案】D 6. nS 是等差数列 na 的前 n 项和， 1 2 3 3a a a+ + = ， 7 9 10a a  ，则 9S  （ ） A. 9 B. 16 C. 20 D. 27 【答案】D 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 240 B. 200 C. 320 D. 180 【答案】A 8. 三棱锥 P ABC 中， PAB△ 和 ABC 都是等边三角形， 2AB  ， 1PC  ， D 为棱 AB 上一点，则 PD PC  的值为（ ） A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 与 D 点位置关系 【答案】A 9. 已知把函数    sin 0f x x   的图象向左平移 12  后得到的图象关于 ,06      对称，  f x 在 5,4 18       上具有单调性，则 的最大值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 36 【答案】D 10. 将面积为 4 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使二面角 A BD C  的大小为  0    ，则三棱锥 A BCD 外接球的体积的最小值为（ ） A. 8 2 3  B. 4 3  C. 32 3  D. 与 的大小有关 【答案】A 11. 已知 P 是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     上任意一点， B 是椭圆C 的上顶点， 2PB b 总成立，则椭 圆离心率的取值范围是（ ） A. 20, 2       B. 2 ,12      C. 30, 2      D. 3 ,12      【答案】A 12. 设全集  1,2,3,4,5,6U  ，且U 的子集可表示由 0，1 组成的 6 位字符串，如： 2,4 表示的是自左向 右的第 2 个字符为 1，第 4 个字符为 1，其余字符均为 0 的 6 位字符串 010100，并规定，空集表示的字符串 为 000000；对于任意两集合 A ， B ，我们定义集合运算 A B x x A   且 x B ，    A B A B B A     ．若  2,3,4,5A  ，  3,5,6B  ，则 A B 表示的 6 位字符串是（ ） A. 101010 B. 011001 C. 010101 D. 000111 【答案】C 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13. nS 是等比数列 na 的前 n 项和，若 13 1n nS a    （ *n N ），则 a ______． 【答案】 3 14. 某校高一有 6 个班级争夺篮球赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A ，B 是其中两个班级，若 A ， B 不都得奖，则不同的发奖方式共有______种． 【答案】216； 15. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝________吨． 【答案】 20 16. 函数   2 2 xxf x ex   的递增区间为______；若 3,0a e      ，则函数      2 2xg x x e a x    零点 的取值范围是______． 【答案】 (1).  , 2  ， 2,  (2).  1,2 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共 60 分． 17. 在① ABC 的面积为 3 ，② 2 3b c  ，③ 3AB AC  uuur uuur 这三个条件中任选一个，补充到下面的问 题中，若问题中的三角形存在，求b 、 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ABC ，它的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，且 3sin cos 2A A  ， 2a  ______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】答案见解析 18. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖 中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 ,求 的概率； （Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分 的数学期望较大？ 【答案】（Ⅰ） 11 15 （Ⅱ）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大 19. 如图，四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是矩形，PD  面 ABCD ， 2 4PD AB BC   ， E 、 F 是棱 PC 、 PB 上的点， 3PE EC  ， 2PF FB  ． （Ⅰ）求证： //AF 平面 BDE ； （Ⅱ）棱 PA 上是否存在点 M ，使CM  面 BDE ？若存在，求出 PM MA 的值；不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）不存在满足条件的点 M ，理由见解析. 20. 已知抛物线 2 1 :C y x ，圆  2 2 2 : 4 1C x y   ． （1）求圆心 2C 到抛物线 1C 准线的距离； （2）已知点 P 是抛物线 1C 上一点（异于原点），过点 P 作圆 2C 的两条切线，交抛物线 1C 于 A 、 B 两点， 若直线 2PC 的斜率为 1k ，直线 AB 的斜率为 2k ， 1 2 5· 24k k   ，求点 P 的坐标． 【答案】（1）17 4 ；（2） P 点坐标为  16,4 或 16, 4 ． 21. 已知函数   lnf x ax x x b   的图象在 x e （ e 为自然对数的底数）处的切线方程为 3 3 0x y e   ． （Ⅰ）求 a ，b 的值； （Ⅱ）当 1x  时，    *2 1 Nf x e n nx    恒成立，求 n 的最大值． 【答案】（Ⅰ） 1a  ， 2b e  ；（Ⅱ）3. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分，做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．本题满分 10 分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22. 平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 2 21 2 x t y t       （t 为参数），以O 为极点， x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是： 2 2 2 12 3cos 4sin     . （Ⅰ）求C 的直角坐标方程和 l 的普通方程； （Ⅱ）设  0,1P ，l 与C 交于 A ， B 两点， M 为 AB 的中点，求 PM . 【答案】（Ⅰ） 2 2 14 3 x y  ， 1x y  ；（Ⅱ） 4 2 7 . [选修 4-5：不等式选讲] 23. 已知   2 1 2 1f x x x    . （1）解不等式   4f x  ； （2）设  f x 的最小值为 m ， 2 3  a b c m ，求 2 2 2a b c  的最小值. 【答案】（1） 5 3, ,4 4             ；（2） 9 14 .