甘肃省敦煌市 2021 届高三第三次教学质量检查考试
数学(文)试卷
一、选择题
1.复数满足 iiz 21 ,则 iz 2 =( )
A. 2 B. 2
10 C. 10 D. 22
2.已知集合 40| xxA , 082| 2 xxxB ,则 BCA R ( )
A. 2,0 B. 2,0 C. 4,0 D. 4,0
3.平面直角坐标系 xOy 中,角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,其终边上一
点 P 绕原点顺时针旋转
6
到达点 4,3Q 的位置,则
6sin ( )
A.
5
3 B.
5
3 C.
5
4 D.
5
4
4.函数
22cos
1ln xxy 的图象是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线 xyC 42 : 的焦点为 F ,过点 F 的直线l 交C 于 BA, 两点,且 8AB ,则线段 AB
的横坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.函数 3ln xxxf 的图象在点 11 f, 处的切线方程为( )
A. 034 yx B. 034 yx C. 034 yx D. 034 yx
7.记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和, 0,0 641 aaa ,则
4
6
S
S ( )
A.
10
9 B.
10
9 C.
9
10 D.
22
39
8.为了了解某高中生对电视台某节目的态度,在某中学随机调查了 110 名同学,得到如下列联
表:
由
dbcadcba
bcadnK
2
2 算得 8.750605060
20203040110 2
2
K 。
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“喜欢该节目与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“喜欢该节目与性别无关”
C.有 99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关”
D.有 99%的把握认为“喜欢该节目与性别无关”
9.原始的蚊香出现在宋代,根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》
记载:“端午时,贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能驱蚊
虫。”如图,为某校兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法
如下:在水平直线l 上取长度为 1 的线段 AB ,做一个等边三角形
ABC ,然后以点 B 为圆心,AB 为半径逆时针画弧,交线段CB 的延
长线于点 D ,再以点C 为圆心,CD 为半径逆时针画弧,交线段 AC
的延长线于点 E ,以此类推,当得到的“螺旋蚊香”与直线l 恰有 5
个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最大值为( )
A. 14 B.
3
56 C. 24 D. 30
10.在各项均为正数的等比数列 na 中, 223 a , 125 a ,则 736251 2 aaaaaa ( )
A.1 B.9 C. 725 D. 923
11.函数
2,0,0sin AxAxf 的部分图象如图所示,则将 xfy 的图象向
右平移
3
个单位后,所得图象对应的函数的解析式可以为( )
A. xy 2cos B. xy 2cos C.
6
52sin xy D.
62sin xy
12.已知 21, FF 为双曲线 2: 22 yxC 的左、右焦点,点 P 在C 上, 21 2 PFPF ,则 21cos PFF
等于( )
A.
4
1 B.
5
3 C.
4
3 D.
5
4
二、填空题
13.已知实数 yx, 满足
44
02
22
yx
yx
yx
,目标函数 yxz 5 的最大值为 。
14.已知单位向量 1e , 2e 满足: 211 2eee ,则向量 1e 和向量 2e 的夹角 。
15.已知函数
0,log
0,2
2 xx
xxf
x
,则 1ff 。
16.已知三棱锥 22,4,1,3, BDBCADABBCDA ,当三棱锥 BCDA 的体积最大时,
则外接球的表面积为 。
三、解答题
17.在 ABC 中, cba ,, 分别是角 CBA ,, 的对边,并且 bcacb 222 。
(1)若 2b , BC sin2sin ,求 ABC 的面积;
(2)求 CB coscos 的最大值。
18.在平行四边形 ABCD 中, 2,3 BCAB ,过点 A 作 CD 的垂线交 CD 的延长线于点 E ,
3AE ,连接 EB ,交 AD 于点 F ,如图(1),将 ADE 沿 AD 折起,使得点 E 到达点 P 的位
置,如图(2)。
(1)证明:直线 AD 平面 BFP ;
(2)若G 为 PB 的中点, H 为CD 的中点,且平面 ADP 平面 ABCD ,求三棱锥 BCHG 的
体积。
19. 配速是马拉松运动中常使用的一个概念,是速度的一种,是指每公里所需要的时间,相比
配速,把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略。图 1 是一个马拉松跑
者的心率 y (单位:次/分钟)和配速 x (单位:分钟/公里)的散点图,图 2 是一次马拉松比
赛(全程约 42 公里)前 3000 名跑者的频率分布直方图。
(1)由散点图看出,可用线性回归模拟拟合 y 与 x 的关系,求 y 与 x 的线性回归方程;
(2)该跑者如果参加本次比赛,将心率控制在 160 左右跑完全程,估计他跑完全程花费的时
间,并估计他能获得的名次。
参考公式:线性回归方程 axby 中,
n
i
i
n
i
ii
xx
yyxx
b
1
2
1 , xbya ;参考数据 135y
20. 已知圆 242: 22 yxE ,动圆 N 过点 0,2F 且与圆 E 相切,记动圆圆心 N 的轨迹为曲
线C 。
(1)求曲线C 的方程;
(2) QP、 是曲线C 上的两个动点,且 OQOP ,记 PQ 中点为 M , OMtOQOP ,证明:
t 为定值。
21. 设函数 Raaxaaxxxxf 12
112
1ln 2 , xfxg 。
(1)若 1a ,求函数 xg 的单调区间;
(2)若函数 xf 有 2 个零点,求实数 a 的取值范围。
22.{选修 4-4:坐标系与参数方程}在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半
轴为极轴建立坐标系,曲线C 的极坐标方程为 2,0,sin4cos2 。
(1)求曲线C 的直角坐标方程;
(2)由直线
ty
tx
l
5
5
65
52
: ,(t 为参数, Rt )上的点向曲线引切线,求切线长的最小值。
22. {选修 4-5:不等式选讲}设函数 112 axxf 。
(1)若 1a 时,解不等式 12 xxf ;
(2)若关于 x 的不等式 12 xxf 存在实数解,求实数 a 的取值范围。