2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
复习引入:
| || | c o sa b a b
a b (其中 是 与 的夹角)
cos
| || |
a b
a b
| |a a a
0a b a b ;
1
2
、平面向量基本定理的内容
、向量数量积及其性质的表达式
l 向量的加法、减法、数乘都可以用“坐
标语言”表示,向量的数量积能否用
“坐标语言”表示呢?
l 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面
数量积的坐标运算
l 掌握向量垂直的坐标表达式,及向量的
长度、距离和夹角公式
l 会用数量积的坐标表达式判断两个平面
向量的垂直关系
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, , , , , ,
(1) ________ ________
(2) ____ ____ _____ ___
(3) ______
e e a a a b b b
a b
e e e e e e e e
a b
探究练习:
建立单位正交基底
则由平面向量基本定理得分解式:
1 1 2 2b a ba
1 1 2 2a e a e
1 1 2 2b e b e
1 0 0 1
1 1 2 2a b a b a b
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
探究一:推导出 的坐标公式.a b
0a b a b
1 1 2 2 0a b a b a b
两向量垂直的坐标表示
基础练习1:
(1)已知a =(5,-7),b =(-6,-4),求a b。
则实数 为
(2)已知a =(3,4),b =(2,-1),且(a+ mb)⊥(a- b),
m 何值?
向量的模和向量夹角的坐标表达式
2 2
1 2a a a ;
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
, ) ( , ),
) )
A x y B x y
AB x x y y
设( 、
( (
(3)两向量夹角公式的坐标运算
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos ab a b
a a b b
(1)向量的模
(2)A、B两点间的距离
(2) 3 4 5 2A B
A B
已知点( ,)、( ,),
求出 、 两点间的距离。
(1) 3 4 5 2
| | | |
a b
a b
基础练习2:
已知 ( ,)、 ( ,),
求 , 。
解:
= (3 ) = (1 )
, , θ
a b
a b a b a b
例1、设 ,-1 , ,-2
求 及 、间的夹角
3 1 1 2a b ( )( )=5
2 2 2 2
5cos
3 ( 1) 1 ( 2)
2
2
例2:已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
求证:
A(1,2)
B(2,3)
C(-2,5)
x0
y
(2 1,3 2) (1,1)AB
( 2 1,5 2) ( 3,3)AC
1 ( 3) 1 3 0AB AC
AB AC
证明:
AB AC
变式:判断三角形ABC的形状
A(1,2)
B(2,3)
C(-2,5)
x0
y
.ABC三角形 是直角三角形
(2 1,3 2) (1,1)AB
( 2 1,5 2) ( 3,3)AC
1 ( 3) 1 3 0AB AC
AB AC
解: 如右图,在平面坐标系标
出A,B,C三点,猜想
△ABC为直角三角形。
A(1,1).,B(-3,4),C(0,8),
ABC
已知 判断三角形
的形状
3基础练习 :
本 堂 小 结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题:
1、数量积的坐标表示
3、向量模的坐标表示
4、平面内两点间的距
离公式
5、两向量夹角的余弦
2、向量垂直的坐标表示
1 1 2 2 0a b a b a b
1 1 2 2a b a b a b
2 2
1 2a a a ;
2 2
2 1 2 1) )AB x x y y ( (
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos ab a b
a a b b
作业:课本P114 A、1、2
B、1、2
A(1 0) (3 1) (2 0)
BC CA
已知 , ,B ,,C , ,
则 与 的夹角是多少?