北师大版八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习：《平行线性质》（五）

八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过： 《平行线性质》（五） 1．探究：如图①，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B+∠F．下面给出了这道题的解题过程， 请在下列解答中，填上适当的理由． 解：∵AB∥CD，（已知） ∴∠B＝∠1．（ ） 同理可证，∠F＝∠2． ∵∠BCF＝∠1+∠2， ∴∠BCF＝∠B+∠F．（ ） 应用：如图②，AB∥CD，点 F 在 AB、CD 之间，FE 与 AB 交于点 M，FG 与 CD 交于点 N．若 ∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG 的大小为 度． 拓展：如图③，直线 CD 在直线 AB、EF 之间，且 AB∥CD∥EF，点 G、H 分别在直线 AB、 EF 上，点 Q 是直线 CD 上的一个动点，且不在直线 GH 上，连结 QG、QH．若∠GQH＝70°， 则∠AGQ+∠EHQ＝ 度． 2．综合与探究 如图，已知 AM∥BN，∠A＝60°，点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合）．BC，BD 分 别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线 AM 于点 C，D． （1）求∠ABN、∠CBD 的度数；根据下列求解过程填空． 解：∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180° ∵∠A＝60°， ∴∠ABN＝ ， ∴∠ABP+∠PBN＝120°， ∵BC 平分∠ABP，BD 平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝ ，（ ） ∴2∠CBP+2∠DBP＝120°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ ． （2）当点 P 运动时，∠APB 与∠ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请 写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点 P 运动到使∠ACB＝∠ABD 时，直接写出∠ABC 的度数． 3．探究：如图①，AB∥CD∥EF，点 G、P、H 分别在直线 AB、CD、EF 上，连结 PG、PH，当 点 P 在直线 GH 的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH．下面给出了这道题的解题过程， 请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图①，∵AB∥CD（ ） ∴∠AGP＝∠GPD ∵CD∥EF ∴∠DPH＝∠EHP（ ） ∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH， ∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（ ） 拓展：将图①的点 P 移动到直线 GH 的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP、∠ EHP、∠GPH 之间的关系，并说明理由． 应用：如图③，AB∥CD∥EF，点 G、H 分别在直线 AB、EF 上，点 Q 是直线 CD 上的一个动 点，且不在直线 GH 上，连结 QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝ 度． 4．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含 30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数 学活动如图 1，已知两直线 a，b 且 a∥b 和直角三角形 ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， ∠ABC＝60°． 操作发现： （1）在图 1 中，∠1＝46°，求∠2 的度数； （2）如图 2，创新小组的同学把直线 a 向上平移，并把∠2 的位置改变，发现∠2﹣∠1 ＝120°，说明理由； 实践探究 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3，AC 平 分∠BAM，此时发现∠1 与∠2 又存在新的数量关系，请直接写出∠1 与∠2 的数量关系． 5．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB，CD 和一块含 60°角的直角三角 尺 EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动． （1）如图（1），若三角尺的 60°角的顶点 G 放在 CD 上，若∠2＝2∠1，求∠1 的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点 E、G 分别放在 AB 和 CD 上，请你探索 并说明∠AEF 与∠FGC 间的数量关系； （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点 F 放在 CD 上，30°角的顶点 E 落在 AB 上．若 ∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG 与∠CFG 的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不 写理由）． 6．问题情境 （1）如图 1，已知 AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC 的度数． 佩佩同学的思路：过点 P 作 PG∥AB，进而 PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠ BPC＝ ． 问题迁移 （2）图 2．图 3 均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的 两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB 与 FD 相交于点 E，有一动点 P 在边 BC 上运动，连 接 PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β． ①如图 2，当点 P 在 C，D 两点之间运动时，请直接写出∠APE 与∠α，∠β之间的数量 关系； ②如图 3，当点 P 在 B，D 两点之间运动时，∠APE 与∠α，∠β之间有何数量关系？请 判断并说明理由； 拓展延伸 （3）当点 P 在 C，D 两点之间运动时，若∠PED，∠PAC 的角平分线 EN，AN 相交于点 N， 请直接写出∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系． 7．如图 1，已知直线 CD∥EF，点 A、B 分别在直线 CD 与 EF 上．P 为两平行线间一点． （1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝ ． （2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB 之间有什么关系？并说明理由． （3）利用（2）的结论解答： ①如图 2，AP1、BP1 分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P 与∠P1 的数量关系，并说明理 由． ②如图 3，AP2、BP2 分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表 示）． 8．如图，已知 AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°． （1）若∠E＝60°，则∠F＝ ． （2）请探索∠E 与∠F 之间满足何数量关系？并说明理由； （3）如图 2，已知 EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，反向延长 FG 交 EP 于点 P，求∠P 的度 数． 9．【原题】已知直线 AB∥CD，点 P 为平行线 AB，CD 之间的一点．如图 1，若∠ABP＝50°， ∠CDP＝60°，BE 平分∠ABP，DE 平分∠CDP，则∠BED＝ ． 【探究】如图 2，当点 P 在直线 AB 的上方时，若∠ABP＝α，∠CDP＝β，∠ABP 和∠CDP 的平分线交于点 E1，∠ABE1 与∠CDE1 的角平分线交于点 E2，∠ABE2 与∠CDE2 的角平分线 交于点 E3，…以此类推，求∠En 的度数． 【变式】如图 3，∠ABP 的角平分线的反向延长线和∠CDP 的补角的角平分线交于点 E， 试猜想∠P 与∠E 的数量关系，并说明理由． 10．问题情景： 如图 1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC 的度数． 小明的思路是： 过点 P 作 PE∥AB， ∴∠PAB+∠APE＝180°． ∵∠PAB＝130°，∴∠APE＝50° ∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD， ∴∠PCD+∠CPE＝180°． ∵∠PCD＝120°，∴∠CPE＝60° ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 问题迁移： 如果 AB 与 CD 平行关系不变，动点 P 在直线 AB、CD 所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD 的度数会跟着发生变化． （1）如图 3，当动点 P 运动到直线 AC 右侧时，请写出∠PAB，∠PCD 和∠APC 之间的数量 关系？并说明理由 （2）如图 4，AQ，CQ 分别平分∠PAB，∠PCD，那么∠AQC 和角∠APC 有怎样的数量关系？ （3）如图 5，点 P 在直线 AC 的左侧时，AQ，CQ 仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠ AQC 和角∠APC 的数量关系 ． 参考答案 1．解：探究：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠1．（两直线平行内错角相等） 同理可证，∠F＝∠2． ∵∠BCF＝∠1+∠2， ∴∠BCF＝∠B+∠F．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换． 应用：由探究可知：∠MFN＝∠AMF+∠CNF， ∴∠CNF＝∠DNG＝115°﹣55°＝60°． 故答案为 60． 拓展：如图③中，当的 Q 在直线 GH 的右侧时，∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°， 当点 Q′在直线 GH 的左侧时，∠AGQ′+∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°． 故答案为 70 或 290． 2．解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABN＝120° ∴∠ABP+∠PBN＝120°， ∵BC 平分∠ABP，BD 平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义）， ∴2∠CBP+2∠DBP＝120°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°． 故答案为 120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°． （2）∠APB 与∠ADB 之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点 P 运动变化． 理由是：∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等）， ∵BD 平分∠PBN（已知）， ∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义）， ∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换）， 即∠APB＝2∠ADB． （3）结论：∠ABC＝30°． 理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD 时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°， ∴∠ABC+∠DBN＝60°， ∴∠ABC＝30° 3．解：∵AB∥CD（已知） ∴∠AGP＝∠GPD， ∵CD∥EF， ∴∠DPH＝∠EHP（两直线平行，内错角相等） ∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH ∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH（等量代换）． 故答案分别为：已知；两直线平行，等量代换； 探究：当点 P 在直线 GH 的右侧时，其他条件不变，如图 2，∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°． 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AGP+∠GPC＝180°， ∵CD∥EF， ∴∠CPH+∠EHP＝180°， ∴∠AGP+∠GPC+∠CPH+∠EHP＝360°，即∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°； 应用：①当点 Q 在直线 GH 的左侧时，则有∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH． 若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝70°； ②当点 Q 在直线 GH 的右侧时，则有∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360° ． 若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°． 综上所述：若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝70°或 290°． 故答案为 70 或 290． 4．解：（1）∵∠BCA＝90°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝44°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝44°； （2）理由如下：过点 B 作 BD∥a， 则∠ABD＝180°﹣∠2， ∵a∥b，BD∥a， ∴BD∥b， ∴∠DBC＝∠1， ∵∠ABC＝60°， ∴180°﹣∠2+∠1＝60°， ∴∠2﹣∠1＝120°； （3）∠1＝∠2， 理由如下：∵AC 平分∠BAM， ∴∠BAM＝2∠BAC＝60°， 过点 C 作 CE∥a， ∴∠2＝∠BCE， ∵a∥b，CE∥a， ∴CE∥b，∠1＝∠BAM＝60°， ∴∠ECA＝∠CAM＝30°， ∴∠2＝∠BCE＝60°， ∴∠1＝∠2． 5．解：（1）∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGD． ∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1， ∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°； （2）如图，过点 F 作 FP∥AB， ∵CD∥AB， ∴FP∥AB∥CD． ∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP． ∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG． ∵∠EFG＝90°， ∴∠AEF+∠FGC＝90°； （3）α+β＝300°．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°． 即α﹣30°+β﹣90°＝180°， 整理得α+β＝180°+120°＝300°． 6．解：（1）如图 1，过点 P 作 PG∥AB，则 PG∥CD， 由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°， 又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°， ∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°， 故答案为：80°； （2）①如图 2，∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β； ②如图 3，∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由： 过 P 作 PQ∥DF， ∵DF∥CG， ∴PQ∥CG， ∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE， ∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α； （3）如图 2，∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝ （∠α+∠β）． 7．（1）证明：过 P 作 PM∥CD， ∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等）， ∵CD∥EF（已知）， ∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等）， ∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质） 即∠APB＝∠DAP+∠FBP＝40°+70°＝110°． （2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP． 理由：见（1）中证明． （3）①结论：∠P＝2∠P1； 理由：由（2）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠ADP1+∠FBP1， ∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1， ∴∠P＝2∠P1． ②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2， ∵AP2、BP2 分别平分∠CAP、∠EBP， ∴∠CAP2＝ ∠CAP，∠EBP2＝ ∠EBP， ∴∠AP2B＝ ∠CAP+ ∠EBP， ＝ （180°﹣∠DAP）+ （180°﹣∠FBP）， ＝180°﹣ （∠DAP+∠FBP）， ＝180°﹣ ∠APB， ＝180°﹣ β． 8．解：（1）如图 1，分别过点 E，F 作 EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN， ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN， ∴∠D+∠DFN＝180°， 又∵∠D＝120°， ∴∠DFN＝60°， ∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°， ∴∠EFD＝∠MEF+60° ∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°； 故答案为：90°； （2）如图 1，分别过点 E，F 作 EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN， ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN， ∴∠D+∠DFN＝180°， 又∵∠D＝120°， ∴∠DFN＝60°， ∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°， ∴∠EFD＝∠MEF+60°， ∴∠EFD＝∠BEF+30°； （3）如图 2，过点 F 作 FH∥EP， 由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°， 设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°， ∵EP 平分∠BEF，GF 平分∠EFD， ∴∠PEF＝ ∠BEF＝x°，∠EFG＝ ∠EFD＝（x+15）°， ∵FH∥EP， ∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG， ∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°， ∴∠P＝15°． 9．解：（1）如图 1，过 E 作 EF∥AB，而 AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠FEB，∠CDE＝∠FED， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE， 又∵∠ABP＝50°，∠CDP＝60°，BE 平分∠ABP，DE 平分∠CDP， ∴∠ABE＝ ∠ABP＝25°，∠CDE＝ ∠CDP＝30°， ∴∠BED＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°； （2）如图 2，∵∠ABP 和∠CDP 的平分线交于点 E1， ∴∠ABE1＝ ∠ABP＝ α，∠CDE1＝ ∠CDP＝ ， ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠AFE1＝ ， ∴∠E1＝∠AFE1﹣∠ABE1＝ ﹣ α＝ （β﹣α）， ∵∠ABE1 与∠CDE1 的角平分线交于点 E2， ∴∠ABE2＝ ∠ABE1＝ α，∠CDE2＝ ∠CDE1＝ ， ∵AB∥CD， ∴∠CDG＝∠AGE2＝ ， ∴∠E2＝∠AGE2﹣∠ABE2＝ （β﹣α）， 同理可得，∠E3＝ （β﹣α）， 以此类推，∠En 的度数为 （β﹣α）． （3）∠DEB＝90°﹣ ∠P．理由如下： 如图 3，过 E 作 EG∥AB，而 AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， ∴∠MBE＝∠BEG，∠FDE＝∠GED， ∴∠DEB＝∠BEG+∠DEG＝∠MBE+∠FDE＝∠ABQ+∠FDE， 又∵∠ABP 的角平分线的反向延长线和∠CDP 的补角的角平分线交于点 E， ∴∠FDE＝ ∠PDF＝ （180°﹣∠CDP），∠ABQ＝ ∠ABP， ∴∠DEB＝ ∠ABP+ （180°﹣∠CDP）＝90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）， ∵AB∥CD， ∴∠CDP＝∠AHP， ∴∠DEB＝90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）＝90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）＝90°﹣ ∠P． 10．解：（1）∠PAB+∠PCD＝∠APC； 理由：如图 3，过点 P 作 PF∥AB， ∴∠PAB＝∠APF， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴PF∥CD， ∴∠PCD＝∠CPF， ∴∠PAB+∠PCD＝∠APF+∠CPF＝∠APC， 即∠PAB+∠PCD＝∠APC； （2）∠AQC＝ ∠APC． 理由：如图 4，∵AQ，CQ 分别平分∠PAB，∠PCD， ∴∠QAB＝ ∠PAB，∠QCD＝ ∠PCD， ∴∠QAB+∠QCD＝ ∠PAB+ ∠PCD＝ （∠PAB+∠PCD）， 由（1），可得∠PAB+∠PCD＝∠APC， ∠QAB+∠QCD＝∠AQC， ∴∠AQC＝ ∠APC； （3）2∠AQC+∠APC＝360°； 理由：如图 5，过点 P 作 PG∥AB， ∴∠PAB+∠APG＝180°， ∵AB∥CD，PG∥AB， ∴PG∥CD， ∴∠PCD+∠CPG＝180°， ∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG＝360°， ∴∠PAB+∠PCD+∠APC＝360°， ∵AQ，CQ 分别平分∠PAB，∠PCD， ∴∠QAB＝ ∠PAB，∠QCD＝ ∠PCD， ∴∠QAB+∠QCD＝ ∠PAB+ ∠PCD＝ （∠PAB+PCD）， 由（1）知，∠QAB+∠QCD＝∠AQC， ∴∠AQC＝ （∠PAB+∠PCD）， 2∠AQC＝∠PAB+∠PCD， ∵∠PAB+∠PCD+∠APC＝360°， ∴2∠AQC+∠APC＝360°． 故答案为：2∠AQC+∠APC＝360°．