北师大版八年级数学上册　第一章　勾股定理及其应用讲义

勾股定理讲义 【学习目标】 1. 认识勾股定理； 2. 掌握弦图，会用面积法证明勾股定理. 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【知识点及方法技巧梳理】 考点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 a b， ， 斜边长为c ，那么 2 2 2a b c  . 知识点提示：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段 长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题 的目的. 考点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中 ∵ ，∴ . 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中， ∵ ∴ 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ∵ ， ∴ . 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为 的线段. 一、典型例题 例 1、有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 ㎝，BC=8 ㎝，现将 ABC 沿直线 AD 折叠，使 AC 落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长 例 2、如图，一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面 15 米，要使梯子顶端离地 24 米，则梯子的底 部在水平方向上应滑动多少米？ E D B C A 例 3、某隧道的截面是一个半径为 3.6 米的半圆形，一辆高 2.4 米、宽 3 米的卡车能否顺利通过该隧道？ 例 4、 如图，铁路上 A、B 两站相距 25 ㎞，C、D 为两村庄，DA⊥AB 于 A,CB⊥AB 于 B,已知 DA=15 ㎞，CB=10 ㎞.现在要在铁路上建一个收购站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少㎞处？ 例 5、在一棵树的 10 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 米的池塘，而另一只猴子只爬到 树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？ 例 6、以 Rt△ABC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积 S1、S2、S3 之间有什么关系？说明理由。 A D E B C 一、单选题 1．（2020·宁夏原州� 初二期末）在 Rt ABC 中， 90 , 6, 8C a b   o ，则 c 的长为（ ） A．14 B．12 C．10 D．7 2．（2020·西吉第三中学初二期末）下列说法正确的是（ ）． A．若 a 、b 、 c 是 ABC△ 的三边长，则 2 2 2 a b c B．若 a 、b 、 c 是 Rt ABC△ 的三边长，则 2 2 2 a b c C．若 a 、b 、 c 是 Rt ABC△ 的三边长， 90A   ，则 2 2 2 a b c D．若 a 、b 、 c 是 Rt ABC△ 的三边长， 90C   ，则 2 2 2 a b c 3．（2019·河南伊川� 初二期末）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′上．若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为（ ） A．4 B．3 2 C．4.5 D．5 4．（2020·宁夏原州� 初二期末）有5 ,13cm cm 两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长 度适合的是（ ） A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm 5．（2020·盐池县第五中学初二期中）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B 都 是格点，则线段 AB 的长度为（ ） A．5 B．6 C．7 D．25 6．（2019·河南偃师� 初二期末）如图， ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB = 5，点 D 是边 BC 上一点， 若 沿将 ACD 翻折，点 C 刚好落在边上点 E 处，则 BD 等于（ ） A．2 B． 5 2 C．3 D．10 3 7．（2020·黑龙江阿城� 初二期末）如图所示，是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6 ㎝，BC＝8 ㎝， 现将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 AD 的长为（ ） A．4 ㎝ B．5 ㎝ C．6 ㎝ D． 25 4 ㎝ 8．（2020·大庆市第五十七中学初一期末）已知直角三角形的斜边长为 10，两直角边的比为 3：4，则较短直 角边的长为（ ） A．3 B．6 C．8 D．5 二、填空题 9．（2019·河南伊川� 初二期末）如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影 部分的面积是 ． 10．（2020·广东番禺� 初二期末）两人从同一地点同时出发，一人以30m/min的速度向北直行，一人以30m/min 的速度向东直行，10min 后他们相距__________m 11．（2020·黑龙江集贤� 初二期末） Rt ABC 中，斜边 BC＝2，则 AB2+AC2+BC2 的值为_____． 12．（2020·察哈尔右翼前旗第三中学初二期末）一个直角三角形的三边长的平方和为 200，则斜边长为 ________ 三、解答题 13．（2020·山东济南� 初一期末）如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求 AB 的长． 14．（2020·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 6cmAC  ， 8cmAB  ，将 ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 DE ． （1）求 ABC 的周长； （2）求 DE 的长． 勾股定理应用 例 1（最短路程）：如图 1 所示，有一个圆柱，它的高等于 12cm，底面半径等于 3cm，在圆柱下底面的 A 点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 相对的 B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（ 的值 取 3） 【练习】 1、如图，一只鸭子从边长 1 2m 的正方形水池一角 A 处游到水池一边的 4 3 处（即 B 点），则它游的最短路程 为___________ ___ 2、如图，一圆柱的底面周长为 10cm，高 AB 为 12cm，BC 为直径，已知蚂蚁从 A 出发沿圆柱的表面爬行到点 C 的最短距离是（ ） A、10cm B、12cm C、13cm D、22cm 例 2 3、一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为 8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的 A 点爬到盒底的 B 点，你能帮助蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 4、如图，有一个棱长为 9cm 的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点 A 爬到 C 点（C 点在一条棱上， 距 B 点 3cm 处），需爬行的最短路程是_____________cm 例 2（折叠）、如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm， 则图中阴影部分的面积为 【练习】 1、把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF．若 AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF 的面积是 cm2． 2、如图，将长为 4 cm 宽为 2 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上的中点 E 处，压平后得到折痕 MN，则线段 CN 的长度为__________cm． 3、如图长方形 ABCD，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合，CE 的长为____________ 例 3、有一个长、宽、高分别为 12cm、4cm、3cm 的长方体铁盒，在其内部要放一根笔直的木棒 ，则木棒最 长是______________ 【练习】 1、在一个高为 12cm、底面半径为 4.5cm 的无底 圆柱形纸盒内放入一根木棒，要使木棒不露出纸盒，则最长 不超过____________cm 2、如图，将一根长为 24cm 的筷子，置于直径为 5cm，高 12c m 的圆柱形水杯中，设 筷子露在杯子外面的长为 hcm ，则 h 的取值范围是_____________ 3、一根长 5m 的竹竿________放在长、宽、高分别是 4m、3m、3m 的电梯内（填“能”或“不能”） 例 4、求下列各图阴影部分的面积 图② 图①的阴影部分面积是______________；图②的阴影部分面积是____________ 【练习】 1、如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形 S 的面积为 81，则正 方形 FEDCBA ,,,,, 的面积之和为_____________ 2、已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 1S 、 2S ，则的值 等于___________*网] 3、如图，已知 Rt△ABC 的三 边分别为 6，8，10，分别以它的三边为直径向上作 3 个半 圆 ，求图中阴影部 分的面积 【课后作业】 1、如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离是 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表 面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是多少？ [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 2、如图，矩形 ABCD 中，BC=2，DC=1，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 F 处，那么图中阴影 部分的面积是_________ 3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 1.等腰直角三角形三边的平方比为 2.等腰三角形的底边为 10cm，周长为 36cm，则它的面积是 cm2. 3.长方形的一条对角线的长为 10cm，一边长为 6cm，它的面积是 4.Rt  ABC 中，  90C ，AB=2，则 AB2+BC2+CA2= . 5.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 6. 直角三角形两直角边的比为 3：4，面积是 24，求这个三角形的周长. 7. 如图，已知长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处，BC′交 AD 于 E，AD=8，AB=4，求 DE 的长. 8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°c=25，b=15，求 a； 9.如图，池塘边有两点 A,B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上的一点，现测得 CB=60m,AC=20m.求 A， B 两点间的距离(结果取整数). 第 9 题图 第 10 题图 10.如图，在平面直角坐标系中有两点 A(5，0)和 B(0，4)，求这两点间的距离.