2021 年 中 考 九 年 级 数 学 一 轮 专 题 复 习 : 四 边 形 综 合 ( 三 )
1、如图,四边形 ABCD 是菱形,CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,CF⊥AD 交 AD 的
延长线于点 F,求证:DF=BE.
2、已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=CD,E 是对角线 BD 上一点,且 EA=EC.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)如果 BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求证:四边形 ABCD 是正方形.
3、如图,在正方形 ABCD 中,点 G 在对角线 BD 上(不与点 B,D 重合),GE⊥DC
于点 E,GF⊥BC 于点 F,连结 AG.
(1)写出线段 AG,GE,GF 长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形 ABCD 的边长为 1,∠AGF=105°,求线段 BG 的长.
4、如图,在矩形 ABCD 中, E 为 AB 边上一点, EC 平分 DEB , F 为CE 的中
点,连接 ,AF BF ,过点 E 作 / /EH BC 分别交 ,AF CD 于G , H 两点.
(1)求证: DE DC ;
(2)求证: AF BF ;
(3)当 28AF GF g 时,请直接写出CE 的长.
5、定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四
边形.
(1)如图 1,等腰直角四边形 ABCD , , 90AB BC ABC .
①若 1, / /AB CD AB CD ,求对角线 BD 的长.②若 AC BD ,求证:AD CD .
(2)如图 2,在矩形 ABCD 中, 5, 9AB BC ,点 P 是对角线 BD 上一点,且
2BP PD ,过点 P 作直线分别交边 ,AD BC 于点 ,E F ,使四边形 ABFE 是等腰直
角四边形.求 AE 的长.
6、将△ABC 绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE 的延长线与 AC 相交于点F,连
接 DA、BF。
(1)如图1,若∠ABC=α=60°,BF=AF。
①求证:DA∥BC;②猜想线段 DF、AF 的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图 2,若∠ABC<α,BF=mAF(m 为常数),求 的值(用含 m、α
的式子表示)。
7、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点,CE⊥AB 于 E,
设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求 CE 的长;
(2)当 60°<α<90°时,
①是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出 k 的值;若不存在,请
说明理由.
②连接 CF,当 CE2﹣CF2 取最大值时,求 tan∠DCF 的值.
8、如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上,点 G 在 BA 的延长
线上,且 CE=BK=AG.
⑴求证:①DE=DG;②DE⊥DG;
⑵尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不
写作法和证明);
⑶连接⑵中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜
想;
⑷当 1CE
CB n
时,衣直接写出 ABCD
DEFG
S
S
正方形
正方形
的值.
9、 △ ABC 中 , ∠ BAC=90° , AB=AC, 点 D 为 直 线 BC 上 一 动 点 ( 点 D
不 与 B, C 重 合 ) , 以 AD 为 边 在 AD 右 侧 作 正 方 形 ADEF, 连 接 CF.
( 1) 观 察 猜 想
如 图 1, 当 点 D 在 线 段 BC 上 时 ,
① BC 与 CF 的 位 置 关 系 为 : .
② BC, CD, CF 之 间 的 数 量 关 系 为 : ; ( 将 结 论 直 接 写
在 横 线 上 )
( 2) 数 学 思 考
如 图 2,当 点 D 在 线 段 CB 的 延 长 线 上 时 ,结 论 ① ,② 是 否 仍 然 成 立 ?
若 成 立 , 请 给 予 证 明 ; 若 不 成 立 , 请 你 写 出 正 确 结 论 再 给 予 证 明 .
( 3) 拓 展 延 伸
如 图 3,当 点 D 在 线 段 BC 的 延 长 线 上 时 ,延 长 BA 交 CF 于 点 G,连 接
GE. 若 已 知 AB=2 , CD= BC, 请 求 出 GE 的 长 .
10、如图(1),(2)所示,矩形 ABCD 的边长 AB=6,BC=4,点 F 在 DC 上,DF=2。
动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发,沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动(点
M 可运动到 DA 的延长线上),当动点 N 运动到点 A 时,M、N 两点同时停止运动。
连接 FM、FN,当 F、N、M 不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN 三边的中点作
△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒,M、N 运动的时间为 x 秒。试解答
下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设 0≤x≤4(即 M 从 D 到 A 运动的时间段)。试问 x 为何值时,△PQW
为直角三角形?当 x 在何范围时,△PQW 不为直角三角形?
(3)问当 x 为何值时,线段 MN 最短?求此时 MN 的值。
11、已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E
为 BC 边上一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的
同侧.
(1)当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时,求 BE 的长;
(2)将(1)问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移,记平移中的正方形 BEFC 为
正方形 B′EFG,当点 E 与点 C 重合时停止平移.设平移的距离为 t,正方形 B′
EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M,连接 B′D,B′M,DM,是否存在这样的 t,使△
B′DM 是直角三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)问的平移过程中,设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为
S,请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围.
12、已知菱形纸片 ABCD 的边长为8,∠A=60°,E 为 AB 边上的点,过点 E 作 EF
∥BD 交 AD 于点 F.将菱形先沿 EF 按图 1 所示方式折叠,点 A 落在点 A处,过
点 A作 GH∥BD 分别交线段 BC、DC 于点 G、H,再将菱形沿 GH 按图 1 所示方式折
叠,点 C 落在点C 处, C G 与C H 分别交 A E 与 A F 于点 M、N.若点C 在△ AEF
的内部或边上,此时我们称四边形 A MC N (即图中阴影部分)为“重叠四边形”.
(1)若把菱形纸片 ABCD 放在菱形网格中(图中每个小三角形都是边长为 1 的等
边三角形),点 A、B、C、D、E 恰好落在网格图中的格点上.如图 2 所示,请直
接写出此时重叠四边形 A MC N 的面积;
(2)实验探究:设 AE 的长为 m ,若重叠四边形 A MC N 存在.试用含 m 的代数
式表示重叠四边形 A MC N 的面积,并写出 m 的取值范围(直接写出结果,备用
图供实验,探究使用).
13、问题探究
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,M 是正方形 ABCD 内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中
一条直线必须过点 M),使它们将正方形 ABCD 的面积四等分,并说明理由.
问题解决
(3)如图③,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB+CD=BC,点 P 是 AD 的中点,如果
AB= a ,CD=b ,且 ab ,那么在边 BC 上是否存在一点 Q,使 PQ 所在直线将四边
形 ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在,求出 BQ 的长;若不存在,说明理由.
14、菱形 ABCD的对角线 ,AC BD 相交于点 O,0 60ABO ,点 G 是射线OD
上一个动点,过点 G 作 //GE DC 交射线OC 于点 E,以 ,OE OG 为邻边作矩形
EOGF .
(1)如图 1,当点 F 在线段 DC 上时,求证: DF FC ;
(2)若延长 AD 与边GF 交于点 H,将 GDH 沿直线 AD 翻折 180°得到 MDH .
①如图 2,当点 M 在 EG 上时,求证:四边形 EOGF 为正方形:
②如图 3,当 tan ABO 为定值 m 时,设 DG k DO ,k 为大于 0 的常数,当且
仅当 2k 时,点 M 在矩形 EOGF 的外部,求 m 的值.
15、课程学习:正方形折纸中的数学.
动手操作:如图 1,四边形 ABCD 是一张正方形纸片,先将正方形 ABCD 对折,使
BC 与 AD 重合,折痕为 EF,把这个正方形展平,然后沿直线 CG 折叠,使 B 点落
在 EF 上,对应点为 B′.
数学思考:(1)求∠CB′F 的度数;(2)如图 2,在图 1 的基础上,连接 AB′,
试判断∠B′AE 与∠GCB′的大小关系,并说明理由;
解决问题:
(3)如图 3,按以下步骤进行操作:
第一步:先将正方形 ABCD 对折,使 BC 与 AD 重合,折痕为 EF,把这个正方形展
平,然后继续对折,使 AB 与 DC 重合,折痕为 MN,再把这个正方形展平,设 EF
和 MN 相交于点 O;
第二步:沿直线 CG 折叠,使 B 点落在 EF 上,对应点为 B′,再沿直线 AH 折叠,
使 D 点落在 EF 上,对应点为 D′;
第三步:设 CG、AH 分别与 MN 相交于点 P、Q,连接 B′P、PD′、D′Q、QB′,
试判断四边形 B′PD′Q 的形状,并证明你的结论.
16、在学习了图形的旋转知识后,数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前
后的线段之间、角之间的关系进行了探究.
(一)尝试探究
如图 1,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,点 E、
F 分別在线段 BC、CD 上,∠EAF=30°,连接 EF.
(1)如图 2,将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 60°后得到△A′B′E′(A′B′与 AD
重合),请直接写出∠E′AF=________度,线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为
________;
(2)如图 3,当点 E、F 分别在线段 BC、CD 的延长线上时,其他条件不变,请
探究线段 BE、EF、FD 之间的数量关系,并说明理由.
(二)拓展延伸
如图 4,在等边△ABC 中,E、F 是边 BC 上的两点,∠EAF=30°,BE=1,将△
ABE 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△A′B′E′(A′B′与 AC 重合),连接 EE′,
AF 与 EE′交于点 N,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,连接 MN,求线段 MN 的长度.
图 1 图 2
图 3 图 4