中考一轮专题复习九年级数学：四边形综合（三）同步练习

2021 年 中 考 九 年 级 数 学 一 轮 专 题 复 习 ： 四 边 形 综 合 （ 三 ） 1、如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的 延长线于点 F，求证：DF=BE． 2、已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=CD，E 是对角线 BD 上一点，且 EA=EC． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果 BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形 ABCD 是正方形． 3、如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在对角线 BD 上（不与点 B，D 重合），GE⊥DC 于点 E，GF⊥BC 于点 F，连结 AG． （1）写出线段 AG，GE，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形 ABCD 的边长为 1，∠AGF=105°，求线段 BG 的长． 4、如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AB 边上一点， EC 平分 DEB ， F 为CE 的中 点，连接 ,AF BF ，过点 E 作 / /EH BC 分别交 ,AF CD 于G ， H 两点． （1）求证： DE DC ； （2）求证： AF BF ； （3）当 28AF GF g 时，请直接写出CE 的长． 5、定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四 边形． （1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD ， , 90AB BC ABC    ． ①若 1, / /AB CD AB CD  ，求对角线 BD 的长．②若 AC BD ，求证：AD CD ． （2）如图 2，在矩形 ABCD 中， 5, 9AB BC  ，点 P 是对角线 BD 上一点，且 2BP PD ，过点 P 作直线分别交边 ,AD BC 于点 ,E F ，使四边形 ABFE 是等腰直 角四边形．求 AE 的长． 6、将△ABC 绕点Ｂ逆时针旋转α得到△DBE，DE 的延长线与 AC 相交于点Ｆ，连 接 DA、BF。 （1）如图１，若∠ABC＝α＝60°，BF＝AF。 ①求证：DA∥BC；②猜想线段 DF、AF 的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m 为常数），求 的值（用含 m、α 的式子表示）。 7、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CE⊥AB 于 E， 设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求 CE 的长； （2）当 60°＜α＜90°时， ①是否存在正整数 k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请 说明理由． ②连接 CF，当 CE2﹣CF2 取最大值时，求 tan∠DCF 的值． 8、如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长 线上，且 CE=BK=AG. ⑴求证：①DE=DG；②DE⊥DG； ⑵尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不 写作法和证明）； ⑶连接⑵中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜 想； ⑷当 1CE CB n  时，衣直接写出 ABCD DEFG S S 正方形 正方形 的值. 9、 △ ABC 中 ， ∠ BAC=90° ， AB=AC， 点 D 为 直 线 BC 上 一 动 点 （ 点 D 不 与 B， C 重 合 ） ， 以 AD 为 边 在 AD 右 侧 作 正 方 形 ADEF， 连 接 CF． （ 1） 观 察 猜 想 如 图 1， 当 点 D 在 线 段 BC 上 时 ， ① BC 与 CF 的 位 置 关 系 为 ： ． ② BC， CD， CF 之 间 的 数 量 关 系 为 ： ； （ 将 结 论 直 接 写 在 横 线 上 ） （ 2） 数 学 思 考 如 图 2，当 点 D 在 线 段 CB 的 延 长 线 上 时 ，结 论 ① ，② 是 否 仍 然 成 立 ？ 若 成 立 ， 请 给 予 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 你 写 出 正 确 结 论 再 给 予 证 明 ． （ 3） 拓 展 延 伸 如 图 3，当 点 D 在 线 段 BC 的 延 长 线 上 时 ，延 长 BA 交 CF 于 点 G，连 接 GE． 若 已 知 AB=2 ， CD= BC， 请 求 出 GE 的 长 ． 10、如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2。 动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动。 连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作 △PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒。试解答 下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）。试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值。 11、已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的 同侧． （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为 正方形 B′EFG，当点 E 与点 C 重合时停止平移．设平移的距离为 t，正方形 B′ EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 B′D，B′M，DM，是否存在这样的 t，使△ B′DM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围． 12、已知菱形纸片 ABCD 的边长为8，∠A=60°，E 为 AB 边上的点，过点 E 作 EF ∥BD 交 AD 于点 F．将菱形先沿 EF 按图 1 所示方式折叠，点 A 落在点 A处，过 点 A作 GH∥BD 分别交线段 BC、DC 于点 G、H,再将菱形沿 GH 按图 1 所示方式折 叠，点 C 落在点C 处， C G 与C H 分别交 A E 与 A F 于点 M、N．若点C 在△ AEF 的内部或边上，此时我们称四边形 A MC N  （即图中阴影部分）为“重叠四边形”． （1）若把菱形纸片 ABCD 放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为 1 的等 边三角形），点 A、B、C、D、E 恰好落在网格图中的格点上．如图 2 所示，请直 接写出此时重叠四边形 A MC N  的面积； （2）实验探究：设 AE 的长为 m ，若重叠四边形 A MC N  存在．试用含 m 的代数 式表示重叠四边形 A MC N  的面积，并写出 m 的取值范围（直接写出结果，备用 图供实验，探究使用）． 13、问题探究 （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中 一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决 （3）如图③，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB= a ，CD=b ，且 ab  ，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边 形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由. 14、菱形 ABCD的对角线 ,AC BD 相交于点 O，0 60ABO     ，点 G 是射线OD 上一个动点，过点 G 作 //GE DC 交射线OC 于点 E，以 ,OE OG 为邻边作矩形 EOGF ． （1）如图 1，当点 F 在线段 DC 上时，求证： DF FC ； （2）若延长 AD 与边GF 交于点 H，将 GDH 沿直线 AD 翻折 180°得到 MDH ． ①如图 2，当点 M 在 EG 上时，求证：四边形 EOGF 为正方形： ②如图 3，当 tan ABO 为定值 m 时，设 DG k DO  ，k 为大于 0 的常数，当且 仅当 2k  时，点 M 在矩形 EOGF 的外部，求 m 的值． 15、课程学习：正方形折纸中的数学． 动手操作：如图 1，四边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后沿直线 CG 折叠，使 B 点落 在 EF 上，对应点为 B′． 数学思考：（1）求∠CB′F 的度数；（2）如图 2，在图 1 的基础上，连接 AB′， 试判断∠B′AE 与∠GCB′的大小关系，并说明理由； 解决问题： （3）如图 3，按以下步骤进行操作： 第一步：先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展 平，然后继续对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 MN，再把这个正方形展平，设 EF 和 MN 相交于点 O； 第二步：沿直线 CG 折叠，使 B 点落在 EF 上，对应点为 B′，再沿直线 AH 折叠， 使 D 点落在 EF 上，对应点为 D′； 第三步：设 CG、AH 分别与 MN 相交于点 P、Q，连接 B′P、PD′、D′Q、QB′， 试判断四边形 B′PD′Q 的形状，并证明你的结论． 16、在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前 后的线段之间、角之间的关系进行了探究． （一）尝试探究 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点 E、 F 分別在线段 BC、CD 上，∠EAF＝30°，连接 EF． （1）如图 2，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 60°后得到△A′B′E′（A′B′与 AD 重合），请直接写出∠E′AF＝________度，线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为 ________； （2）如图 3，当点 E、F 分别在线段 BC、CD 的延长线上时，其他条件不变，请 探究线段 BE、EF、FD 之间的数量关系，并说明理由． （二）拓展延伸 如图 4，在等边△ABC 中，E、F 是边 BC 上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△A′B′E′（A′B′与 AC 重合），连接 EE′， AF 与 EE′交于点 N，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，连接 MN，求线段 MN 的长度． 图 1 图 2 图 3 图 4