九年级数学中考复习:与圆相关的证明与计算(含答案)
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九年级数学中考复习:与圆相关的证明与计算(含答案)

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时间:2021-05-08

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资料简介
沪科版九年级数学中考复习与圆相关的证明与计算强化训 练(含答案) 1.如图, AB 的半径 OA=2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC=60°.求: (1) 弦 AB 的长; (2) AB 的长. 2.如图,在▱ABCD 中,∠D=60°,对角线 AC⊥BC,⊙O 经过点 A,B,与 AC 交 于点 M,连接 AO 并延长与⊙O 交于点 F,与 CB 的延长线交于点 E,AB=EB. (1) 求证:EC 是⊙O 的切线; (2) 若 AD=2 3 ,求 AM 的长(结果保留π). 3.如图,AB 是⊙O 的弦,C 是⊙O 外一点,OC⊥OA,CO 交 AB 于点 P,交⊙O 于 点 D,且 CP=CB. (1) 判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2) 若∠A=30°,OP=1,求图中涂色部分的面积. 4.如图,在▱ABCD 中,AC 是对角线,∠CAB=90°,以点 A 为圆心,AB 长为半 径作⊙A,交 BC 边于点 E,交 AC 于点 F,连接 DE. (1) 求证:DE 与⊙A 相切; (2) 若∠ABC=60°,AB=4,求涂色部分的面积. 5.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD⊥BC 于点 D,过点 C 作⊙O 的 切线,交 OD 的延长线于点 E,连接 BE. (1) 求证:BE 是⊙O 的切线; (2) 设 OE 交⊙O 于点 F,若 DF=2,BC=4 3 ,求 EF 的长; (3) 在(2)的条件下,求涂色部分的面积. 6.中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm,点 P,Q 同时分别从 A,D 两点 出发,以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,连接 PB,PE,QB,QE, 设运动时间为 t(s). (1) 求证:四边形 PBQE 为平行四边形; (2) 求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 7.如图,OM 是⊙O 的半径,过点 M 作⊙O 的切线 AB,且 MA=MB, OA,OB 分别交⊙O 于点 C,D.求证:AC=BD. 8.如图,四边形 OABC 是平行四边形,以点 O 为圆心,OC 为半径的⊙O 与 AB 相 切于点 B,与 AO 相交于点 D,AO 的延长线交⊙O 于点 E,连接 EB 交 OC 于点 F. 求∠C 和∠E 的度数. 9.在⊙O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于点 P,∠ABC=63°. (1) 如图①,若∠APC=100°,求∠BAD 和∠CDB 的度数; (2) 如图②,若 CD⊥AB,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线相交于点 E, 求∠E 的度数. 10.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆 O 上不同于 A,B 的两点,AD=BC, AC 与 BD 相交于点 F. BE 是半圆 O 所在圆的切线,与 AC 的延长线相交于点 E. (1) 求证:△CBA≌△DAB; (2) 若 BE=BF,求证:AC 平分∠DAB. 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AC 上,以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,过点 D 作半圆 O 的切线 DF,交 BC 于点 F. (1) 求证:BF=DF; (2) 若 AC=4,BC=3,CF=1,求半圆 O 的半径长 12.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂 足为 D. (1) 求证:∠CAD=∠CAB; (2) 若 AD AB = 2 3 ,AC=2 ,求 CD 的长. 13. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E. (1) 求证:DE 是⊙O 的切线. (2) 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,连接 BD.若 OF=1,BF=2,求 BD 的长 14. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,∠DCA=∠B. (1) 求证:CD 是⊙O 的切线; (2) 若 DE⊥AB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F,求证:△DCF 是等腰三角形 14. 如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上的两个点, AC = CD = DB ,连接 AD,过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1) 求证:DE 是⊙O 的切线; (2) 若直径 AB=6,求 AD 的长. 15. 如图①,AB 是半圆 O 的直径,AC 是一条弦,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于 点 E,交 AC 于点 F,连接 BD,交 AC 于点 G,且 AF=FG. (1) 求证:点 D 平分 AC . (2) 如图②,延长 BA 至点 H,使 AH=AO,连接 DH.若 E 是线段 AO 的中 点,求 证:DH 是⊙O 的切线. 16. 如图,在△ABC 中,D 是边 BC 上一点,以 BD 为直径的⊙O 经过点 A, 且∠CAD=∠ABC. (1) 请判断直线 AC 是否是⊙O 的切线,并说明理由; (2) 若 CD=2,CA=4,求弦 AB 的长. 17. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3 a,∠ABC=60°,过点 B 的⊙O 与边 AB,BC 分别交于 E,F 两点,OG⊥BC,垂足为 G,OG=a,连接 OB, OE,OF. (1) 若 BF=2a,试判断△BOF 的形状,并说明理由; (2) 若 BE=BF,求证:⊙O 与 AD 相切于点 A. 18. 如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,P 是 BC 的中点, 过点 P 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 D,连接 OP. (1) 求证:DP 是⊙O 的切线; (2) 若 AC=5,sin ∠APC= 5 13 ,求 AP 的长. 19. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O,OD=4,以点 O 为圆心,OD 长为半径作⊙O,分别交边 DA,DC 于点 M,N.点 E 在边 BC 上, OE 交⊙O 于点 G,G 为 MN 的中点. (1) 求证:四边形 ABEO 为菱形; (2) 已知 cos ∠ABC= 1 3 ,连接 AE,当 AE 与⊙O 相切时,求 AB 的长 答案 1.如图, AB 的半径 OA=2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC=60°.求: (1) 弦 AB 的长; (2) AB 的长. 解:(1)∵ OC⊥AB,∠AOC=60°,∴ ∠OAC=90°-∠AOC=30°.∴ OC= 1 2 OA =1. ∴ AC= OA 2 − OC 2 = 3 .∵ OA=OB,OC⊥AB,∴ AB=2AC=2 3(2) ∵ OA=OB,OC⊥AB,∴ ∠AOB=2∠AOC=120°.∵ OA=2,∴ AB 的长 为 120π × 2 180 = 4π 3 2.如图,在▱ABCD 中,∠D=60°,对角线 AC⊥BC,⊙O 经过点 A,B,与 AC 交 于点 M,连接 AO 并延长与⊙O 交于点 F,与 CB 的延长线交于点 E,AB=EB. (1) 求证:EC 是⊙O 的切线; (2) 若 AD=2 3 ,求 AM 的长(结果保留π). 解:(1) 如图,连接 OB.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∠D=60°,∴ ∠ABC =∠D=60°.∵ BE=AB,∴ ∠E=∠BAE.∵ ∠ABC=∠E+∠BAE=60°,∴ ∠ BAE=∠E=30°. ∵ OA=OB,∴ ∠ABO=∠OAB=30°.∴ ∠OBC=∠ABC +∠ABO=90°.∴ OB⊥CE.∴ EC 是⊙O 的切线 (2) 如图,连接 OM,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ BC=AD=2 3 .∵ AC⊥BC,∠E=30°,∴ ∠EAC=60°. ∵ OA=OM,∴ △AOM 是等边三角形.∴ ∠AOM=60°.∵ OH⊥AC,∠OBC = 90°,AC⊥BC,∴ 四边形 OBCH 是矩形.∴ OH=BC=2 3 ,OH∥EC.∴ ∠ AOH=∠E=30°.∴ 在 Rt△AHO 中,AH= 1 2 AO. 根据勾股定理,得 AH2+OH2= AO2,即 1 2 AO 2 +(2 3 )2=AO2,解得 AO=4(负值舍去).∴ AM 的长= 0·π × 4 180 = 4π 3 3.如图,AB 是⊙O 的弦,C 是⊙O 外一点,OC⊥OA,CO 交 AB 于点 P,交⊙O 于 点 D,且 CP=CB. (1) 判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2) 若∠A=30°,OP=1,求图中涂色部分的面积. 解:(1) 直线 BC 与⊙O 相切 理由:连接 OB.∵ OA=OB,∴ ∠OAB=∠OBA.∵ CP=CB,∴ ∠CPB=∠CBP. ∵ ∠CPB=∠APO,∴ ∠CBP=∠APO.∵ OC⊥OA,∴ 在 Rt△AOP 中,∠OAB +∠APO=90°.∴ ∠OBA+∠CBP=90°, 即∠OBC=90°.∴ OB⊥CB.又∵ OB 是⊙O 的半径,∴ 直线 BC 与⊙O 相切. (2) ∵ 在 Rt△AOP 中,∠A=30°,OP=1,∴ OA= OP tan30 °= 3 .∵ OA=OB= 3 , ∠A=30°,∴ ∠A=∠OBA=30°.∴ 在△OAB 中,∠AOB=180°-2×30°= 120°.∵ OC⊥OA,∴ ∠AOP=90°.∴ ∠COB=30°.∴ 在 Rt△OBC 中,BC= OB·tan 30°=1.∴ S 涂色=S△OBC-S 扇形 OBD= 1 2 ×1× 3 − 30·π × 3 2 30 = 3 2 − π 4 4.如图,在▱ABCD 中,AC 是对角线,∠CAB=90°,以点 A 为圆心,AB 长为半 径作⊙A,交 BC 边于点 E,交 AC 于点 F,连接 DE. (1) 求证:DE 与⊙A 相切; (2) 若∠ABC=60°,AB=4,求涂色部分的面积. 解:(1) 连接 AE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC.∴ ∠DAE =∠AEB.∵ AE=BA,∴ ∠AEB=∠CBA. ∴ ∠DAE=∠CBA.∴ △AED≌△BAC(SAS).∴ ∠DEA= ∠CAB.∵ ∠CAB=90°,∴ ∠DEA=90°.∴ DE⊥AE. ∵ AE 是⊙A 的半径,∴ DE 与⊙A 相切 (2) ∵ ∠ABC=60°,AB=AE=4,∴ △ABE 是等边三角形.∴ ∠EAB=60°. ∵ ∠CAB=90°,∴ ∠CAE=90°-∠EAB=90°-60°=30°.∵ ∠CAB= 90°,∠ABC=60°,∴ ∠ACB=30°.∴ BC=2AB=8.∴ AC= BC 2 − AB 2 =4 3 .∴ S 涂色=S△CAB-S△ABE- S 扇形 EAF= 1 2 ×4×4 3 − 3 4 ×42- 30π × 42 30 =4 3 − 4π 3 5.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD⊥BC 于点 D,过点 C 作⊙O 的 切线,交 OD 的延长线于点 E,连接 BE. (1) 求证:BE 是⊙O 的切线; (2) 设 OE 交⊙O 于点 F,若 DF=2,BC=4 3 ,求 EF 的长; (3) 在(2)的条件下,求涂色部分的面积. 解:(1) 连接 OC.∵ CE 为⊙O 的切线,∴ OC⊥CE.∴ ∠OCE=90°.∵ OC=OB, OD⊥BC,∴ CD=BD,即 OD 垂直平分 BC. ∴ EC=EB. ∵ OC=OB,OE=OE,∴ △OCE≌△OBE(SSS).∴ ∠OBE=∠OCE =90°.∴ OB⊥BE.∴ BE 是⊙O 的切线 (2) ∵ BC=4 3 ,CD=BD,∴ BD= 1 2 BC=2 3 .设⊙O 的半径为 x,则 OD=OF- DF=x-2,OB=x.∵ 在 Rt△OBD 中,OD2+BD2=OB2,∴ (x-2)2+(2 3 )2=x2, 解得 x=4.∴ OD=2,OB=4.∴ 在 Rt△OBD 中,OD= 1 2 OB.∴ ∠OBD=30°.∴ ∠ BOD=60°.∴ 在 Rt△EBO 中,∠BEO=30°.∴ OE=2OB=8.∴ EF=OE-OF=8 -4=4 (3) 在 Rt△EBO 中,BE= OE 2 − OB 2 =4 3 .∵ △OCE≌△OBE(SSS),∴ ∠COE =∠BOE=60°. ∴ ∠BOC=120°. ∴ S 涂色=S 四边形 OBEC-S 扇形 OBC=2S△EBO-S 扇形 OBC=2× 1 2 ×4×4 3 − 120·π × 42 30 =16 3 − 1π 3 6.中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm,点 P,Q 同时分别从 A,D 两点 出发,以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,连接 PB,PE,QB,QE, 设运动时间为 t(s). (1) 求证:四边形 PBQE 为平行四边形; (2) 求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 解:(1) ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A= ∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F. ∵ 点 P,Q 同时分别从 A,D 两点出发,以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,∴ AP=DQ=t cm,PF=QC=(6-t)cm.在△ABP 和 △DEQ 中, AB = DE , ∠A = ∠D , AP = DQ , ∴ △ABP≌△DEQ(SAS).∴ BP=EQ.同理, 可证 PE=QB,∴ 四边形 PBQE 为平行四边形 (2) 连接 BE,OA,则∠AOB= 30° =60°.∵ OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB=OA=OB=6 cm,BE=2OB=12 cm.当 t=0 s 时,点 P 与点 A 重合,点 Q 与点 D 重合,四边形 PBQE 即为四边形 ABDE,如图①所示,则∠EAF=∠AEF= 30°,∴ ∠BAE=120°-30°=90°. ∴ 此时四边形 ABDE 是矩形,即四边形 PBQE 是矩形.当 t=6 s 时,点 P 与点 F 重合,点 Q 与点 C 重合,四边形 PBQE 即为四边形 FBCE,如图②所示,同理可 知∠BFE=90°,此时四边形 PBQE 是矩形.∴ 当 t=0 s 或 6 s 时,四边形 PBQE 是矩形.∴ AE= BE 2 − AB 2 =6 3 cm.∴ S 矩形 PBQE=S 矩形 ABDE=AB·AE=6×6 3 =36 3 (cm2).∵ S 正六边形 ABCDEF =6S△AOB=6× 1 4 S 矩形 ABDE=6× 1 4 ×36 3 =54 3 (cm2),∴ S 矩形 PBQE∶ S 正六边形 ABCDEF= 3 3 54 3 = 2 3 7.如图,OM 是⊙O 的半径,过点 M 作⊙O 的切线 AB,且 MA=MB, OA,OB 分别交⊙O 于点 C,D.求证:AC=BD. 解:∵ OM 是⊙O 的半径,过点 M 作⊙O 的切线 AB,∴ OM⊥AB.∵ MA=MB, ∴ 直线 OM 垂直平分 AB.∴ OA=OB.∵ OC=OD,∴ OA-OC=OB-OD,即 AC =BD 8.如图,四边形 OABC 是平行四边形,以点 O 为圆心,OC 为半径的⊙O 与 AB 相 切于点 B,与 AO 相交于点 D,AO 的延长线交⊙O 于点 E,连接 EB 交 OC 于点 F. 求∠C 和∠E 的度数. 解:连接 OB.∵ ⊙O 与 AB 相切于点 B,∴ OB⊥AB.∵ 四边形 OABC 是平行四边 形,∴ AB∥OC,OA∥BC.∴ OB⊥OC.∴ ∠BOC=90°.∵ OB=OC,∴ △OCB 为等腰直角三角形.∴ ∠C=∠OBC=45°.∵ AO∥BC,∴ ∠AOB=∠OBC= 45°.∴ ∠E= 1 2 ∠AOB=22.5° 9.在⊙O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于点 P,∠ABC=63°. (1) 如图①,若∠APC=100°,求∠BAD 和∠CDB 的度数; (2) 如图②,若 CD⊥AB,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线相交于点 E, 求∠E 的度数. 解:(1) ∵ ∠APC 是△PBC 的一个外角,∴ ∠APC=∠C+∠ABC.∵ ∠ABC=63°, ∠APC=100°,∴ ∠C=∠APC-∠ABC=100°-63°=37°.∵ BD = BD ,∴ ∠BAD=∠C=37°.∵ AC = AC ,∴ ∠ADC=∠ABC=63°.∵ AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠ADB=90°.∴ ∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-63°=27° (2) 连接 OD.∵ CD⊥AB,∴ ∠CPB=90°.∴ ∠PCB=90°-∠ABC=90°- 63°=27°.∴ ∠BOD=2∠PCB=54°.∵ DE 是⊙O 的切线,∴ DE⊥OD.∴ ∠ ODE=90°.∴ ∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36° 10.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆 O 上不同于 A,B 的两点,AD=BC, AC 与 BD 相交于点 F. BE 是半圆 O 所在圆的切线,与 AC 的延长线相交于点 E. (1) 求证:△CBA≌△DAB; (2) 若 BE=BF,求证:AC 平分∠DAB. 解:(1) ∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在 Rt△CBA 与 Rt△DAB 中, BC = AD , BA = AB , ∴ Rt△CBA≌Rt△DAB(HL) (2) 由(1),知∠ACB=90°,∴ BC⊥EF.∵ BE=BF,∴ ∠EBC=∠FBC.∵ CD = CD , ∴ ∠FBC=∠DAC.∵ BE 是半圆 O 所在圆的切线,∴ ∠ABE=90°.∴ ∠EBC+ ∠ABC=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ 在△ACB 中,∠BAC+∠ABC=90°.∴ ∠EBC =∠BAC. ∴ ∠DAC=∠BAC.∴ AC 平分∠DAB 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AC 上,以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,过点 D 作半圆 O 的切线 DF,交 BC 于点 F. (1) 求证:BF=DF; (2) 若 AC=4,BC=3,CF=1,求半圆 O 的半径长 解:(1) 连接 OD.∵ 过点 D 作半圆 O 的切线 DF,交 BC 于点 F,∴ ∠ODF=90°. ∴ ∠ADO+∠BDF=90°.∵ OA=OD,∴ ∠OAD=∠ODA.∴ ∠OAD+∠BDF= 90°.∵ ∠C=90°,∴ ∠OAD+∠B=90°.∴ ∠B=∠BDF.∴ BF=DF (2) 连接 OF.设半圆 O 的半径为 r,则 OD=OE=r.∵ AC=4,BC=3,CF=1,∴ OC =4-r,DF=BF=3-1=2.在 Rt△ODF 和 Rt△OCF 中,由勾股定理,得 OD2+DF2 =OF2=OC2+CF2,即 r2+22=(4-r)2+12,解得 r= 13 8 .∴ 半圆 O 的半径长为 13 8 12.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂 足为 D. (1) 求证:∠CAD=∠CAB; (2) 若 AD AB = 2 3 ,AC=2 ,求 CD 的长. 解:(1) 连接 OC.∵ CD 是⊙O 的切线,∴ OC⊥CD.∵ AD⊥CD,∴ AD∥OC.∴ ∠ DAC=∠ACO.∵ OA=OC,∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠DAC=∠CAO,即∠CAD=∠ CAB (2) 连接 BC.∵ AD AB = 2 3 ,∴ 设 AD=2x,AB=3x.∵ AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠ACB=90°.∵ AD⊥DC,∴ ∠ADC=90°.∴ ∠ADC=∠ACB. ∵ ∠DAC=∠CAB,∴ △ACD∽△ABC.∴ AD AC = AC AB .∴ 2x 2 = 2 3x ,解得 x1=2,x2 =-2(不合题意,舍去).∴ AD=4.∴ CD= AC 2 − AD 2 =2 2 13. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E. (1) 求证:DE 是⊙O 的切线. (2) 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,连接 BD.若 OF=1,BF=2,求 BD 的长 解:(1) 连接 OD.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°. ∵ DE∥BC,∴ ∠E= ∠ACB=90°.∵ OA=OD,∴ ∠OAD=∠ADO.∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠DAE= ∠OAD. ∴ ∠ADO=∠DAE.∴ OD∥AE.∴ ∠E+∠ODE=180°. ∴ ∠ODE=180°-∠E=90°,即 OD⊥DE.∴ DE 是⊙O 的切线 (2) ∵ OF=1,BF=2,∴ OD=OB=3.∵ DF⊥AB,∴ ∠OFD=∠BFD=90°. ∴ 在 Rt△OFD 中,DF2=OD2-OF2=8.∴ BD2=DF2+BF2=8+22=12.∴ BD= 2 3 14. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,∠DCA=∠B. (1) 求证:CD 是⊙O 的切线; (2) 若 DE⊥AB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F,求证:△DCF 是等腰三角形 解:(1) 连接 OC.∵ OC=OA,∴ ∠OCA=∠A.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ BCA=90°.∴ ∠A+∠B=90°.∵ ∠DCA=∠B,∴ ∠OCA+∠DCA=∠OCD= 90°.∴ OC⊥CD.∴ CD 是⊙O 的切线 (2) ∵ ∠OCA+∠DCA=90°,∠OCA=∠A,∴ ∠A+∠DCA=90°.∵ DE ⊥AB,∴ ∠A+∠EFA=90°.∴ ∠DCA=∠EFA.∵ ∠EFA=∠DFC,∴ ∠DCA= ∠DFC.∴ DC=DF.∴ △DCF 是等腰三角形 14. 如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上的两个点, AC = CD = DB ,连接 AD,过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1) 求证:DE 是⊙O 的切线; (2) 若直径 AB=6,求 AD 的长. 解:(1) 连接 OD.∵ AB 为⊙O 的直径, AC = CD = DB ,∴ ∠BOD= 1 3 ×180° =60°.∵ ∠BOD 是△AOD 的外角,∴ ∠OAD+∠ADO=60°. ∵ OA=OD,∴ ∠ADO=∠DAB=30°. ∵ CD = DB ,∴ ∠EAD=∠DAB=30°.∵ DE⊥AC,∴ ∠E=90°. ∴ 在 Rt△AED 中,∠EDA=90°-∠EAD=60°.∴ ∠EDO=∠EDA+∠ADO =90°.∴ OD⊥DE.∴ DE 是⊙O 的切线 (2) 连接 BD.∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ADB=90°.∵ ∠DAB=30°,AB= 6,∴ BD= 1 2 AB=3.∴ AD= AB 2 − BD 2 =3 3 15. 如图①,AB 是半圆 O 的直径,AC 是一条弦,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于 点 E,交 AC 于点 F,连接 BD,交 AC 于点 G,且 AF=FG. (1) 求证:点 D 平分 AC . (2) 如图②,延长 BA 至点 H,使 AH=AO,连接 DH.若 E 是线段 AO 的中 点,求 证:DH 是⊙O 的切线. 解:(1) 连接 AD.∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ADB=90°.∴ ∠ADE+∠BDE =90°.∵ DE⊥AB,∴ 在 Rt△DEB 中,∠ABD+∠BDE=90°.∴ ∠ADE=∠ABD. 又∵ 在 Rt△ADG 中,AF=FG,∴ DF=AF.∴ ∠DAC=∠ADE.∴ ∠ABD=∠DAC. ∴ AD = DC .∴ 点 D 平分 AC(2) 连接 OD,AD.∵ DE⊥AB,E 是线段 OA 的中点,∴ DE 垂直平分 AO.∴ AD =OD.∵ AO=OD,∴ AD=OD=AO.∴ △OAD是等边三角形.∴ ∠ADO=∠DAO =60°.∵ AH=AO,∴ AH=AD.∴ ∠H=∠ADH=30°.∴ ∠HDO=∠ADH+∠ ADO=90°.∴ HD⊥OD.∴ DH 是⊙O 的切线 16. 如图,在△ABC 中,D 是边 BC 上一点,以 BD 为直径的⊙O 经过点 A, 且∠CAD=∠ABC. (1) 请判断直线 AC 是否是⊙O 的切线,并说明理由; (2) 若 CD=2,CA=4,求弦 AB 的长. 解:(1) 直线 AC 是⊙O 的切线 理由:如图,连接 OA.∵ BD 为⊙O 的直径,∴ ∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD.∵ OA=OB,∴ ∠OAB=∠ABC. 又∵ ∠ CAD=∠ABC,∴ ∠OAB=∠CAD.∴ ∠OAC=∠OAD+∠CAD=90°.∴ AC⊥OA. 又∵ OA 是半径,∴ 直线 AC 是⊙O 的切线. (2) 如图,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E.设⊙O 的半径为 r.∵ 在 Rt△OAC 中,OC2 =AC2+OA2,∴ (r+2)2=16+r2,解得 r=3.∴ OC=5,BC=8.∵ S△OAC= 1 2 OA·AC = 1 2 OC·AE,∴ AE= 3×4 5 = 12 5 .∴ 在 Rt△AEO 中,OE= OA 2 − AE 2 = 9 5 .∴ BE=OB +OE= 24 5 .∴ 在 Rt△AEB 中,AB= AE 2 + BE 2 = 12 5 5 17. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3 a,∠ABC=60°,过点 B 的⊙O 与边 AB,BC 分别交于 E,F 两点,OG⊥BC,垂足为 G,OG=a,连接 OB, OE,OF. (1) 若 BF=2a,试判断△BOF 的形状,并说明理由; (2) 若 BE=BF,求证:⊙O 与 AD 相切于点 A. 解:(1) △BOF 为等腰直角三角形 理由:∵ OB=OF,OG⊥BC,BF=2a, ∴ △BOF 为等腰三角形,BG=FG= 1 2 BF=a. ∵ OG=a,∴ BG=OG,FG=OG.∴ △BGO 和△OGF 都是等腰直角三角形.∴ ∠BOG=∠FOG=45°.∴ ∠BOF=90°.∴ △BOF 为等腰直角三角形. (2) 连接 EF.∵ ∠EBF=60°,BF=BE,∴ △BEF 为等边三角形. ∴ EB=EF.∴ 点 E 在 BF 的垂直平分线上.∵ OB=OF,OG⊥BC,∴ 直线 OG 垂直平分 BF.∴ 点 E,O,G 共线,即 EG⊥BF.∴ ∠BEG=90°-∠ABC=30°. ∵ OB=OE,∴ ∠EBO=∠BEG=30°.∴ ∠OBG=∠ABC-∠EBO=30°.∴ 在 Rt△BGO 中,OB=2OG=2a,BG2=(2a)2-a2=3a2.∴ EG=OE+OG=OB+OG= 3a.∴ 在 Rt△BGE 中,BE= BG 2 + EG 2 =2 3 a.∵ AB=2 3 a,∴ 点 A 与点 E 重 合.∵ AD∥BC,AG⊥BF,∴ AG⊥AD.∴ ⊙O 与 AD 相切于点 A 18. 如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,P 是 BC 的中点, 过点 P 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 D,连接 OP. (1) 求证:DP 是⊙O 的切线; (2) 若 AC=5,sin ∠APC= 5 13 ,求 AP 的长. 解:(1) ∵ P 是 BC 的中点,∴ PC = PB .∴ ∠PAD=∠PAB.∵ OA=OP,∴ ∠ APO=∠PAO.∴ ∠DAP=∠APO.∴ AD∥OP.∵ PD⊥AD,∴ PD⊥OP.∴ DP 是⊙ O 的切线 (2) 连接 BC,交 OP 于点 E.∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°.∴ ∠DCE =180°-∠ACB=90°.∵ PD⊥AD,PD⊥OP,∴ ∠D=∠DPE=90°.∴ 四边形 CDPE 是矩形.∴ CD=PE,PD=CE,∠CEP=90°. ∴ OP⊥BC.∴ CE=BE= 1 2 BC.∵ AO=OB,∴ OE= 1 2 AC= 5 2 .∵ AC = AC ,∴ ∠ APC=∠ABC.∴ sin ∠APC=sin ∠ABC= AC AB = 5 13 .∵ AC=5,∴ AB=13,BC= 13 2 − 5 2 =12.∴ PD=CE= 1 2 ×12=6,PE=OP-OE= 13 2 − 5 2 =4,即 CD=4.∴ AD =AC+CD=9.∴ 在 Rt△ADP 中,AP= AD 2 + PD 2 = 9 2 + 2 =3 13 19. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O,OD=4,以点 O 为圆心,OD 长为半径作⊙O,分别交边 DA,DC 于点 M,N.点 E 在边 BC 上, OE 交⊙O 于点 G,G 为 MN 的中点. (1) 求证:四边形 ABEO 为菱形; (2) 已知 cos ∠ABC= 1 3 ,连接 AE,当 AE 与⊙O 相切时,求 AB 的长 解:(1) 如图①,连接 MN.∵ G 为 MN 的中点,∴ OE⊥MN.∵ MD 是⊙O 的 直径,∴ ∠MND=90°.∴ MN⊥CD.∴ CD∥OE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,BC∥AD.∴ AB∥OE,BE∥AO.∴ 四边形 ABEO 是平行四边形.∵ BO 平分∠ABC,∴ ∠ABO=∠OBC.∵ AD∥BC,∴ ∠OBC=∠AOB.∴ ∠ABO=∠ AOB.∴ AB=AO.∴ 四边形 ABEO 为菱形 (2) 如图②,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,AE 交 OB 于点 P.∵ 四边形 ABEO 是 菱形,∴ AB∥OE,BO=2OP,BE=OE.∴ ∠ABC=∠OEH.∵ cos ∠ABC= 1 3 ,∴ cos ∠OEH= 1 3 .∴ 在 Rt△OEH 中, EH OE = 1 3 .设 EH=a,则 OE=3a,OH=2 2 a,BH =BE+EH=4a.当 AE 与⊙O 相切时,OP⊥AE,∴ OP=OD=4,OB=8.∴ 在 Rt △OBH 中,OH2+BH2=OB2,即(2 2 a)2+(4a)2=82,解得 a= 2 3 (负值舍去).∴ AB =3a=2

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