沪科版九年级数学中考复习与圆相关的证明与计算强化训
练(含答案)
1.如图,
AB
的半径 OA=2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC=60°.求:
(1) 弦 AB 的长;
(2)
AB
的长.
2.如图,在▱ABCD 中,∠D=60°,对角线 AC⊥BC,⊙O 经过点 A,B,与 AC 交
于点 M,连接 AO 并延长与⊙O 交于点 F,与 CB 的延长线交于点 E,AB=EB.
(1) 求证:EC 是⊙O 的切线;
(2) 若 AD=2
3
,求
AM
的长(结果保留π).
3.如图,AB 是⊙O 的弦,C 是⊙O 外一点,OC⊥OA,CO 交 AB 于点 P,交⊙O 于
点 D,且 CP=CB.
(1) 判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2) 若∠A=30°,OP=1,求图中涂色部分的面积.
4.如图,在▱ABCD 中,AC 是对角线,∠CAB=90°,以点 A 为圆心,AB 长为半
径作⊙A,交 BC 边于点 E,交 AC 于点 F,连接 DE.
(1) 求证:DE 与⊙A 相切;
(2) 若∠ABC=60°,AB=4,求涂色部分的面积.
5.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD⊥BC 于点 D,过点 C 作⊙O 的
切线,交 OD 的延长线于点 E,连接 BE.
(1) 求证:BE 是⊙O 的切线;
(2) 设 OE 交⊙O 于点 F,若 DF=2,BC=4
3
,求 EF 的长;
(3) 在(2)的条件下,求涂色部分的面积.
6.中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm,点 P,Q 同时分别从 A,D 两点
出发,以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,连接 PB,PE,QB,QE,
设运动时间为 t(s).
(1) 求证:四边形 PBQE 为平行四边形;
(2) 求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比
7.如图,OM 是⊙O 的半径,过点 M 作⊙O 的切线 AB,且 MA=MB, OA,OB
分别交⊙O 于点 C,D.求证:AC=BD.
8.如图,四边形 OABC 是平行四边形,以点 O 为圆心,OC 为半径的⊙O 与 AB 相
切于点 B,与 AO 相交于点 D,AO 的延长线交⊙O 于点 E,连接 EB 交 OC 于点 F.
求∠C 和∠E 的度数.
9.在⊙O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于点 P,∠ABC=63°.
(1) 如图①,若∠APC=100°,求∠BAD 和∠CDB 的度数;
(2) 如图②,若 CD⊥AB,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线相交于点 E,
求∠E 的度数.
10.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆 O 上不同于 A,B 的两点,AD=BC,
AC 与 BD 相交于点 F. BE 是半圆 O 所在圆的切线,与 AC 的延长线相交于点 E.
(1) 求证:△CBA≌△DAB;
(2) 若 BE=BF,求证:AC 平分∠DAB.
11.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AC 上,以 OA 为半径的半圆 O 交
AB 于点 D,交 AC 于点 E,过点 D 作半圆 O 的切线 DF,交 BC 于点 F.
(1) 求证:BF=DF;
(2) 若 AC=4,BC=3,CF=1,求半圆 O 的半径长
12.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂
足为 D.
(1) 求证:∠CAD=∠CAB;
(2) 若
AD
AB
=
2
3
,AC=2
,求 CD 的长.
13. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠CAB 的平分线 AD 交
BC
于点 D,
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E.
(1) 求证:DE 是⊙O 的切线.
(2) 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,连接 BD.若 OF=1,BF=2,求 BD 的长
14. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,∠DCA=∠B.
(1) 求证:CD 是⊙O 的切线;
(2) 若 DE⊥AB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F,求证:△DCF 是等腰三角形
14. 如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上的两个点,
AC
=
CD
=
DB
,连接
AD,过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E.
(1) 求证:DE 是⊙O 的切线;
(2) 若直径 AB=6,求 AD 的长.
15. 如图①,AB 是半圆 O 的直径,AC 是一条弦,D 是
AC
上一点,DE⊥AB 于
点 E,交 AC 于点 F,连接 BD,交 AC 于点 G,且 AF=FG.
(1) 求证:点 D 平分
AC
.
(2) 如图②,延长 BA 至点 H,使 AH=AO,连接 DH.若 E 是线段 AO 的中
点,求
证:DH 是⊙O 的切线.
16. 如图,在△ABC 中,D 是边 BC 上一点,以 BD 为直径的⊙O 经过点 A,
且∠CAD=∠ABC.
(1) 请判断直线 AC 是否是⊙O 的切线,并说明理由;
(2) 若 CD=2,CA=4,求弦 AB 的长.
17. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2
3
a,∠ABC=60°,过点 B
的⊙O 与边 AB,BC 分别交于 E,F 两点,OG⊥BC,垂足为 G,OG=a,连接 OB,
OE,OF.
(1) 若 BF=2a,试判断△BOF 的形状,并说明理由;
(2) 若 BE=BF,求证:⊙O 与 AD 相切于点 A.
18. 如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,P 是
BC
的中点,
过点 P 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 D,连接 OP.
(1) 求证:DP 是⊙O 的切线;
(2) 若 AC=5,sin ∠APC=
5
13
,求 AP 的长.
19. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O,OD=4,以点
O 为圆心,OD 长为半径作⊙O,分别交边 DA,DC 于点 M,N.点 E 在边 BC 上,
OE 交⊙O 于点 G,G 为
MN
的中点.
(1) 求证:四边形 ABEO 为菱形;
(2) 已知 cos ∠ABC=
1
3
,连接 AE,当 AE 与⊙O 相切时,求 AB 的长
答案
1.如图,
AB
的半径 OA=2,OC⊥AB 于点 C,∠AOC=60°.求:
(1) 弦 AB 的长;
(2)
AB
的长.
解:(1)∵ OC⊥AB,∠AOC=60°,∴ ∠OAC=90°-∠AOC=30°.∴ OC=
1
2
OA
=1.
∴ AC=
OA
2
− OC
2
=
3
.∵ OA=OB,OC⊥AB,∴ AB=2AC=2
3(2) ∵ OA=OB,OC⊥AB,∴ ∠AOB=2∠AOC=120°.∵ OA=2,∴
AB
的长
为
120π
×
2
180
=
4π
3
2.如图,在▱ABCD 中,∠D=60°,对角线 AC⊥BC,⊙O 经过点 A,B,与 AC 交
于点 M,连接 AO 并延长与⊙O 交于点 F,与 CB 的延长线交于点 E,AB=EB.
(1) 求证:EC 是⊙O 的切线;
(2) 若 AD=2
3
,求
AM
的长(结果保留π).
解:(1) 如图,连接 OB.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∠D=60°,∴ ∠ABC
=∠D=60°.∵ BE=AB,∴ ∠E=∠BAE.∵ ∠ABC=∠E+∠BAE=60°,∴ ∠
BAE=∠E=30°.
∵ OA=OB,∴ ∠ABO=∠OAB=30°.∴ ∠OBC=∠ABC +∠ABO=90°.∴
OB⊥CE.∴ EC 是⊙O 的切线
(2) 如图,连接 OM,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ BC=AD=2
3
.∵ AC⊥BC,∠E=30°,∴ ∠EAC=60°.
∵ OA=OM,∴ △AOM 是等边三角形.∴ ∠AOM=60°.∵ OH⊥AC,∠OBC
= 90°,AC⊥BC,∴ 四边形 OBCH 是矩形.∴ OH=BC=2
3
,OH∥EC.∴ ∠
AOH=∠E=30°.∴ 在 Rt△AHO 中,AH=
1
2
AO. 根据勾股定理,得 AH2+OH2=
AO2,即
1
2 AO
2
+(2
3
)2=AO2,解得 AO=4(负值舍去).∴
AM
的长=
0·π
×
4
180
=
4π
3
3.如图,AB 是⊙O 的弦,C 是⊙O 外一点,OC⊥OA,CO 交 AB 于点 P,交⊙O 于
点 D,且 CP=CB.
(1) 判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2) 若∠A=30°,OP=1,求图中涂色部分的面积.
解:(1) 直线 BC 与⊙O 相切
理由:连接 OB.∵ OA=OB,∴ ∠OAB=∠OBA.∵ CP=CB,∴ ∠CPB=∠CBP.
∵ ∠CPB=∠APO,∴ ∠CBP=∠APO.∵ OC⊥OA,∴ 在 Rt△AOP 中,∠OAB
+∠APO=90°.∴ ∠OBA+∠CBP=90°, 即∠OBC=90°.∴ OB⊥CB.又∵
OB 是⊙O 的半径,∴ 直线 BC 与⊙O 相切.
(2) ∵ 在 Rt△AOP 中,∠A=30°,OP=1,∴ OA=
OP
tan30
°=
3
.∵ OA=OB=
3
,
∠A=30°,∴ ∠A=∠OBA=30°.∴ 在△OAB 中,∠AOB=180°-2×30°=
120°.∵ OC⊥OA,∴ ∠AOP=90°.∴ ∠COB=30°.∴ 在 Rt△OBC 中,BC=
OB·tan 30°=1.∴ S 涂色=S△OBC-S 扇形 OBD=
1
2
×1×
3 −
30·π
×
3
2
30
=
3
2 −
π
4
4.如图,在▱ABCD 中,AC 是对角线,∠CAB=90°,以点 A 为圆心,AB 长为半
径作⊙A,交 BC 边于点 E,交 AC 于点 F,连接 DE.
(1) 求证:DE 与⊙A 相切;
(2) 若∠ABC=60°,AB=4,求涂色部分的面积.
解:(1) 连接 AE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC.∴ ∠DAE
=∠AEB.∵ AE=BA,∴ ∠AEB=∠CBA.
∴ ∠DAE=∠CBA.∴ △AED≌△BAC(SAS).∴ ∠DEA=
∠CAB.∵ ∠CAB=90°,∴ ∠DEA=90°.∴ DE⊥AE.
∵ AE 是⊙A 的半径,∴ DE 与⊙A 相切
(2) ∵ ∠ABC=60°,AB=AE=4,∴ △ABE 是等边三角形.∴ ∠EAB=60°.
∵ ∠CAB=90°,∴ ∠CAE=90°-∠EAB=90°-60°=30°.∵ ∠CAB=
90°,∠ABC=60°,∴ ∠ACB=30°.∴
BC=2AB=8.∴ AC=
BC
2
− AB
2
=4
3
.∴ S 涂色=S△CAB-S△ABE-
S 扇形 EAF=
1
2
×4×4
3 −
3
4
×42-
30π
×
42
30
=4
3 −
4π
3
5.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD⊥BC 于点 D,过点 C 作⊙O 的
切线,交 OD 的延长线于点 E,连接 BE.
(1) 求证:BE 是⊙O 的切线;
(2) 设 OE 交⊙O 于点 F,若 DF=2,BC=4
3
,求 EF 的长;
(3) 在(2)的条件下,求涂色部分的面积.
解:(1) 连接 OC.∵ CE 为⊙O 的切线,∴ OC⊥CE.∴ ∠OCE=90°.∵ OC=OB,
OD⊥BC,∴ CD=BD,即 OD 垂直平分 BC.
∴ EC=EB. ∵ OC=OB,OE=OE,∴ △OCE≌△OBE(SSS).∴ ∠OBE=∠OCE
=90°.∴ OB⊥BE.∴ BE 是⊙O 的切线
(2) ∵ BC=4
3
,CD=BD,∴ BD=
1
2
BC=2
3
.设⊙O 的半径为 x,则 OD=OF-
DF=x-2,OB=x.∵ 在 Rt△OBD 中,OD2+BD2=OB2,∴ (x-2)2+(2
3
)2=x2,
解得 x=4.∴ OD=2,OB=4.∴ 在 Rt△OBD 中,OD=
1
2
OB.∴ ∠OBD=30°.∴ ∠
BOD=60°.∴ 在 Rt△EBO 中,∠BEO=30°.∴ OE=2OB=8.∴ EF=OE-OF=8
-4=4
(3) 在 Rt△EBO 中,BE=
OE
2
− OB
2
=4
3
.∵ △OCE≌△OBE(SSS),∴ ∠COE
=∠BOE=60°. ∴ ∠BOC=120°. ∴ S 涂色=S 四边形 OBEC-S 扇形 OBC=2S△EBO-S 扇形
OBC=2×
1
2
×4×4
3 −
120·π
×
42
30
=16
3 −
1π
3
6.中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm,点 P,Q 同时分别从 A,D 两点
出发,以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,连接 PB,PE,QB,QE,
设运动时间为 t(s).
(1) 求证:四边形 PBQE 为平行四边形;
(2) 求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比
解:(1) ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=
∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.
∵ 点 P,Q 同时分别从 A,D 两点出发,以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C
运动,∴ AP=DQ=t cm,PF=QC=(6-t)cm.在△ABP 和
△DEQ 中, AB = DE
,
∠A = ∠D
,
AP = DQ
,
∴ △ABP≌△DEQ(SAS).∴ BP=EQ.同理,
可证 PE=QB,∴ 四边形 PBQE 为平行四边形
(2) 连接 BE,OA,则∠AOB=
30°
=60°.∵ OA=OB,∴ △AOB 是等边三角形.
∴ AB=OA=OB=6 cm,BE=2OB=12 cm.当 t=0 s 时,点 P 与点 A 重合,点 Q
与点 D 重合,四边形 PBQE 即为四边形 ABDE,如图①所示,则∠EAF=∠AEF=
30°,∴ ∠BAE=120°-30°=90°.
∴ 此时四边形 ABDE 是矩形,即四边形 PBQE 是矩形.当 t=6 s 时,点 P 与点 F
重合,点 Q 与点 C 重合,四边形 PBQE 即为四边形 FBCE,如图②所示,同理可
知∠BFE=90°,此时四边形 PBQE 是矩形.∴ 当 t=0 s 或 6 s 时,四边形 PBQE
是矩形.∴ AE=
BE
2
− AB
2
=6
3
cm.∴
S 矩形 PBQE=S 矩形 ABDE=AB·AE=6×6
3
=36
3
(cm2).∵ S 正六边形 ABCDEF
=6S△AOB=6×
1
4
S 矩形 ABDE=6×
1
4
×36
3
=54
3
(cm2),∴ S 矩形 PBQE∶
S 正六边形 ABCDEF=
3 3
54 3
=
2
3
7.如图,OM 是⊙O 的半径,过点 M 作⊙O 的切线 AB,且 MA=MB, OA,OB
分别交⊙O 于点 C,D.求证:AC=BD.
解:∵ OM 是⊙O 的半径,过点 M 作⊙O 的切线 AB,∴ OM⊥AB.∵ MA=MB,
∴ 直线 OM 垂直平分 AB.∴ OA=OB.∵ OC=OD,∴ OA-OC=OB-OD,即 AC
=BD
8.如图,四边形 OABC 是平行四边形,以点 O 为圆心,OC 为半径的⊙O 与 AB 相
切于点 B,与 AO 相交于点 D,AO 的延长线交⊙O 于点 E,连接 EB 交 OC 于点 F.
求∠C 和∠E 的度数.
解:连接 OB.∵ ⊙O 与 AB 相切于点 B,∴ OB⊥AB.∵ 四边形 OABC 是平行四边
形,∴ AB∥OC,OA∥BC.∴ OB⊥OC.∴ ∠BOC=90°.∵ OB=OC,∴ △OCB
为等腰直角三角形.∴ ∠C=∠OBC=45°.∵ AO∥BC,∴ ∠AOB=∠OBC=
45°.∴ ∠E=
1
2
∠AOB=22.5°
9.在⊙O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于点 P,∠ABC=63°.
(1) 如图①,若∠APC=100°,求∠BAD 和∠CDB 的度数;
(2) 如图②,若 CD⊥AB,过点 D 作⊙O 的切线,与 AB 的延长线相交于点 E,
求∠E 的度数.
解:(1) ∵ ∠APC 是△PBC 的一个外角,∴ ∠APC=∠C+∠ABC.∵ ∠ABC=63°,
∠APC=100°,∴ ∠C=∠APC-∠ABC=100°-63°=37°.∵
BD
=
BD
,∴
∠BAD=∠C=37°.∵
AC
=
AC
,∴ ∠ADC=∠ABC=63°.∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°.∴ ∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-63°=27°
(2) 连接 OD.∵ CD⊥AB,∴ ∠CPB=90°.∴ ∠PCB=90°-∠ABC=90°-
63°=27°.∴ ∠BOD=2∠PCB=54°.∵ DE 是⊙O 的切线,∴ DE⊥OD.∴ ∠
ODE=90°.∴ ∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36°
10.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆 O 上不同于 A,B 的两点,AD=BC,
AC 与 BD 相交于点 F. BE 是半圆 O 所在圆的切线,与 AC 的延长线相交于点 E.
(1) 求证:△CBA≌△DAB;
(2) 若 BE=BF,求证:AC 平分∠DAB.
解:(1) ∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
在 Rt△CBA 与 Rt△DAB 中,
BC = AD
,
BA = AB
,
∴ Rt△CBA≌Rt△DAB(HL)
(2) 由(1),知∠ACB=90°,∴ BC⊥EF.∵ BE=BF,∴ ∠EBC=∠FBC.∵
CD
=
CD
,
∴ ∠FBC=∠DAC.∵ BE 是半圆 O 所在圆的切线,∴ ∠ABE=90°.∴ ∠EBC+
∠ABC=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ 在△ACB 中,∠BAC+∠ABC=90°.∴ ∠EBC
=∠BAC.
∴ ∠DAC=∠BAC.∴ AC 平分∠DAB
11.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在 AC 上,以 OA 为半径的半圆 O 交
AB 于点 D,交 AC 于点 E,过点 D 作半圆 O 的切线 DF,交 BC 于点 F.
(1) 求证:BF=DF;
(2) 若 AC=4,BC=3,CF=1,求半圆 O 的半径长
解:(1) 连接 OD.∵ 过点 D 作半圆 O 的切线 DF,交 BC 于点 F,∴ ∠ODF=90°.
∴ ∠ADO+∠BDF=90°.∵ OA=OD,∴ ∠OAD=∠ODA.∴ ∠OAD+∠BDF=
90°.∵ ∠C=90°,∴ ∠OAD+∠B=90°.∴ ∠B=∠BDF.∴ BF=DF
(2) 连接 OF.设半圆 O 的半径为 r,则 OD=OE=r.∵ AC=4,BC=3,CF=1,∴ OC
=4-r,DF=BF=3-1=2.在 Rt△ODF 和 Rt△OCF 中,由勾股定理,得 OD2+DF2
=OF2=OC2+CF2,即 r2+22=(4-r)2+12,解得 r=
13
8
.∴ 半圆 O 的半径长为
13
8
12.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂
足为 D.
(1) 求证:∠CAD=∠CAB;
(2) 若
AD
AB
=
2
3
,AC=2
,求 CD 的长.
解:(1) 连接 OC.∵ CD 是⊙O 的切线,∴ OC⊥CD.∵ AD⊥CD,∴ AD∥OC.∴ ∠
DAC=∠ACO.∵ OA=OC,∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠DAC=∠CAO,即∠CAD=∠
CAB
(2) 连接 BC.∵
AD
AB
=
2
3
,∴ 设 AD=2x,AB=3x.∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.∵ AD⊥DC,∴ ∠ADC=90°.∴ ∠ADC=∠ACB.
∵ ∠DAC=∠CAB,∴ △ACD∽△ABC.∴
AD
AC
=
AC
AB
.∴
2x
2
=
2
3x
,解得 x1=2,x2
=-2(不合题意,舍去).∴ AD=4.∴ CD=
AC
2
− AD
2
=2
2
13. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠CAB 的平分线 AD 交
BC
于点 D,
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E.
(1) 求证:DE 是⊙O 的切线.
(2) 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,连接 BD.若 OF=1,BF=2,求 BD 的长
解:(1) 连接 OD.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°. ∵ DE∥BC,∴ ∠E=
∠ACB=90°.∵ OA=OD,∴ ∠OAD=∠ADO.∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠DAE=
∠OAD.
∴ ∠ADO=∠DAE.∴ OD∥AE.∴ ∠E+∠ODE=180°.
∴ ∠ODE=180°-∠E=90°,即 OD⊥DE.∴ DE 是⊙O 的切线
(2) ∵ OF=1,BF=2,∴ OD=OB=3.∵ DF⊥AB,∴ ∠OFD=∠BFD=90°.
∴ 在 Rt△OFD 中,DF2=OD2-OF2=8.∴ BD2=DF2+BF2=8+22=12.∴ BD=
2
3
14. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,∠DCA=∠B.
(1) 求证:CD 是⊙O 的切线;
(2) 若 DE⊥AB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F,求证:△DCF 是等腰三角形
解:(1) 连接 OC.∵ OC=OA,∴ ∠OCA=∠A.∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠
BCA=90°.∴ ∠A+∠B=90°.∵ ∠DCA=∠B,∴ ∠OCA+∠DCA=∠OCD=
90°.∴ OC⊥CD.∴ CD 是⊙O 的切线
(2) ∵ ∠OCA+∠DCA=90°,∠OCA=∠A,∴ ∠A+∠DCA=90°.∵ DE
⊥AB,∴ ∠A+∠EFA=90°.∴ ∠DCA=∠EFA.∵ ∠EFA=∠DFC,∴ ∠DCA=
∠DFC.∴ DC=DF.∴ △DCF 是等腰三角形
14. 如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上的两个点,
AC
=
CD
=
DB
,连接
AD,过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E.
(1) 求证:DE 是⊙O 的切线;
(2) 若直径 AB=6,求 AD 的长.
解:(1) 连接 OD.∵ AB 为⊙O 的直径,
AC
=
CD
=
DB
,∴ ∠BOD=
1
3
×180°
=60°.∵ ∠BOD 是△AOD 的外角,∴ ∠OAD+∠ADO=60°. ∵ OA=OD,∴
∠ADO=∠DAB=30°.
∵
CD
=
DB
,∴ ∠EAD=∠DAB=30°.∵ DE⊥AC,∴ ∠E=90°.
∴ 在 Rt△AED 中,∠EDA=90°-∠EAD=60°.∴ ∠EDO=∠EDA+∠ADO
=90°.∴ OD⊥DE.∴ DE 是⊙O 的切线
(2) 连接 BD.∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ADB=90°.∵ ∠DAB=30°,AB=
6,∴ BD=
1
2
AB=3.∴ AD=
AB
2
− BD
2
=3
3
15. 如图①,AB 是半圆 O 的直径,AC 是一条弦,D 是
AC
上一点,DE⊥AB 于
点 E,交 AC 于点 F,连接 BD,交 AC 于点 G,且 AF=FG.
(1) 求证:点 D 平分
AC
.
(2) 如图②,延长 BA 至点 H,使 AH=AO,连接 DH.若 E 是线段 AO 的中
点,求
证:DH 是⊙O 的切线.
解:(1) 连接 AD.∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ADB=90°.∴ ∠ADE+∠BDE
=90°.∵ DE⊥AB,∴ 在 Rt△DEB 中,∠ABD+∠BDE=90°.∴ ∠ADE=∠ABD.
又∵ 在 Rt△ADG 中,AF=FG,∴ DF=AF.∴ ∠DAC=∠ADE.∴ ∠ABD=∠DAC.
∴
AD
=
DC
.∴ 点 D 平分
AC(2) 连接 OD,AD.∵ DE⊥AB,E 是线段 OA 的中点,∴ DE 垂直平分 AO.∴ AD
=OD.∵ AO=OD,∴ AD=OD=AO.∴ △OAD是等边三角形.∴ ∠ADO=∠DAO
=60°.∵ AH=AO,∴ AH=AD.∴ ∠H=∠ADH=30°.∴ ∠HDO=∠ADH+∠
ADO=90°.∴ HD⊥OD.∴ DH 是⊙O 的切线
16. 如图,在△ABC 中,D 是边 BC 上一点,以 BD 为直径的⊙O 经过点 A,
且∠CAD=∠ABC.
(1) 请判断直线 AC 是否是⊙O 的切线,并说明理由;
(2) 若 CD=2,CA=4,求弦 AB 的长.
解:(1) 直线 AC 是⊙O 的切线
理由:如图,连接 OA.∵ BD 为⊙O 的直径,∴
∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD.∵ OA=OB,∴ ∠OAB=∠ABC. 又∵ ∠
CAD=∠ABC,∴ ∠OAB=∠CAD.∴ ∠OAC=∠OAD+∠CAD=90°.∴ AC⊥OA.
又∵ OA 是半径,∴ 直线 AC 是⊙O 的切线.
(2) 如图,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E.设⊙O 的半径为 r.∵ 在 Rt△OAC 中,OC2
=AC2+OA2,∴ (r+2)2=16+r2,解得 r=3.∴ OC=5,BC=8.∵ S△OAC=
1
2
OA·AC
=
1
2
OC·AE,∴ AE=
3×4
5
=
12
5
.∴ 在 Rt△AEO 中,OE=
OA
2
− AE
2
=
9
5
.∴ BE=OB
+OE=
24
5
.∴ 在 Rt△AEB 中,AB=
AE
2
+ BE
2
=
12 5
5
17. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2
3
a,∠ABC=60°,过点 B
的⊙O 与边 AB,BC 分别交于 E,F 两点,OG⊥BC,垂足为 G,OG=a,连接 OB,
OE,OF.
(1) 若 BF=2a,试判断△BOF 的形状,并说明理由;
(2) 若 BE=BF,求证:⊙O 与 AD 相切于点 A.
解:(1) △BOF 为等腰直角三角形 理由:∵ OB=OF,OG⊥BC,BF=2a,
∴ △BOF 为等腰三角形,BG=FG=
1
2
BF=a.
∵ OG=a,∴ BG=OG,FG=OG.∴ △BGO 和△OGF 都是等腰直角三角形.∴
∠BOG=∠FOG=45°.∴ ∠BOF=90°.∴ △BOF 为等腰直角三角形.
(2) 连接 EF.∵ ∠EBF=60°,BF=BE,∴ △BEF 为等边三角形.
∴ EB=EF.∴ 点 E 在 BF 的垂直平分线上.∵ OB=OF,OG⊥BC,∴ 直线
OG 垂直平分 BF.∴ 点 E,O,G 共线,即 EG⊥BF.∴ ∠BEG=90°-∠ABC=30°.
∵ OB=OE,∴ ∠EBO=∠BEG=30°.∴ ∠OBG=∠ABC-∠EBO=30°.∴ 在
Rt△BGO 中,OB=2OG=2a,BG2=(2a)2-a2=3a2.∴ EG=OE+OG=OB+OG=
3a.∴ 在 Rt△BGE 中,BE=
BG
2
+ EG
2
=2
3
a.∵ AB=2
3
a,∴ 点 A 与点 E 重
合.∵ AD∥BC,AG⊥BF,∴ AG⊥AD.∴ ⊙O 与 AD 相切于点 A
18. 如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,P 是
BC
的中点,
过点 P 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 D,连接 OP.
(1) 求证:DP 是⊙O 的切线;
(2) 若 AC=5,sin ∠APC=
5
13
,求 AP 的长.
解:(1) ∵ P 是
BC
的中点,∴
PC
=
PB
.∴ ∠PAD=∠PAB.∵ OA=OP,∴ ∠
APO=∠PAO.∴ ∠DAP=∠APO.∴ AD∥OP.∵ PD⊥AD,∴ PD⊥OP.∴ DP 是⊙
O 的切线
(2) 连接 BC,交 OP 于点 E.∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°.∴ ∠DCE
=180°-∠ACB=90°.∵ PD⊥AD,PD⊥OP,∴ ∠D=∠DPE=90°.∴ 四边形
CDPE 是矩形.∴ CD=PE,PD=CE,∠CEP=90°.
∴ OP⊥BC.∴ CE=BE=
1
2
BC.∵ AO=OB,∴ OE=
1
2
AC=
5
2
.∵
AC
=
AC
,∴ ∠
APC=∠ABC.∴ sin ∠APC=sin ∠ABC=
AC
AB
=
5
13
.∵ AC=5,∴ AB=13,BC=
13
2
− 5
2
=12.∴ PD=CE=
1
2
×12=6,PE=OP-OE=
13
2 −
5
2
=4,即 CD=4.∴ AD
=AC+CD=9.∴ 在 Rt△ADP 中,AP=
AD
2
+ PD
2
=
9
2
+
2
=3
13
19. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O,OD=4,以点
O 为圆心,OD 长为半径作⊙O,分别交边 DA,DC 于点 M,N.点 E 在边 BC 上,
OE 交⊙O 于点 G,G 为
MN
的中点.
(1) 求证:四边形 ABEO 为菱形;
(2) 已知 cos ∠ABC=
1
3
,连接 AE,当 AE 与⊙O 相切时,求 AB 的长
解:(1) 如图①,连接 MN.∵ G 为
MN
的中点,∴ OE⊥MN.∵ MD 是⊙O 的
直径,∴ ∠MND=90°.∴ MN⊥CD.∴ CD∥OE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB∥CD,BC∥AD.∴ AB∥OE,BE∥AO.∴ 四边形 ABEO 是平行四边形.∵ BO
平分∠ABC,∴ ∠ABO=∠OBC.∵ AD∥BC,∴ ∠OBC=∠AOB.∴ ∠ABO=∠
AOB.∴ AB=AO.∴ 四边形 ABEO 为菱形
(2) 如图②,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,AE 交 OB 于点 P.∵ 四边形 ABEO 是
菱形,∴ AB∥OE,BO=2OP,BE=OE.∴ ∠ABC=∠OEH.∵ cos ∠ABC=
1
3
,∴
cos ∠OEH=
1
3
.∴ 在 Rt△OEH 中,
EH
OE
=
1
3
.设 EH=a,则 OE=3a,OH=2
2
a,BH
=BE+EH=4a.当 AE 与⊙O 相切时,OP⊥AE,∴ OP=OD=4,OB=8.∴ 在 Rt
△OBH 中,OH2+BH2=OB2,即(2
2
a)2+(4a)2=82,解得 a=
2
3
(负值舍去).∴ AB
=3a=2