第 1页(共 11页)
2021 年九年级数学中考复习——函数专题:二次函数实际应用
(五)
1.某商场主营玩具销售,经市场调查发现,某种玩具的月销量 y(件)是售价 x(元/件)
的一次函数,该玩具的月销售总利润 W=(售价﹣成本)×月销量,三者有如下数据:
售价 x(元/件) 15 20 30
月销量 y(件) 500 400 200
月销售总利润 W(元) 2500 4000 4000
(1)试求 y 关于 x 的函数关系式(x 的取值范围不必写出);
(2)玩具的成本为 元,当玩具售价 x= 元时,月销售总利润有最大值
元;
(3)受市场波动原因,从本月起,该玩具成本上涨 a 元/件(a>0),且物价局规定该玩
具售价最高不得超过 25 元/件.若月销量 y 与售价 x 仍满足(1)中的关系,预计本月总
利润 W 最高为 3000 元,请你求出 a 的值.
2.为满足市场需求,某超市购进一种品牌糕点,每盒进价是 40 元.超市规定每盒售价不得
少于 45 元.根据以往销售经验发现,当售价定为每盒 45 元时,每天可以卖出 700 盒,
每盒售价每提高 1 元,每天要少卖出 20 盒.
(1)试求出每天的销售量 y(盒)与每盒售价 x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 P(元)最大?最大利润是多少?
(3)如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润,那么超市每天至少销售糕点多少盒?
第 2页(共 11页)
3.某公司经过市场调查,整理出某种商品在某个月的第 x 天的售价与销量的相关信息如下
表:
第 x 天 售价(元/
件)
日销售量
(件)
1≤x≤30 x+60 300﹣10x
已知该商品的进价为 40 元/件,设销售该商品的日销售利润为 y 元.
(1)求 y 与 x 的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,日销售利润最大?最大日销售利润为多少元?
(3)问在当月有多少天的日销售利润不低于 5440 元,请直接写出结果.
4.某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件.市场调查反映:如调整价格,每
涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.已知商品的进
价为每件 40 元,如何定价才能使得利润最大?
小明同学,为了完成以上问题,小明分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.小明先
探索了涨价的情况,下面是小明的思路,请你帮助小明完善以下内容:
(1)假设每件涨价 x 元,则所得利润 y 与 x 的函数关系式为 ;其中 x 的取值范
围是 ;在涨价的情况下,定价 元时,利润最大,最大利润是 .
(2)请你参考小明(1)的思路继续思考,在降价的情况下,求最大利润是多少?
第 3页(共 11页)
(3)在(1)(2)的讨论及现在的销售情况,回答商家如何定价能使利润能达到最大?
5.锦江师大一中在近几年的中考中成绩喜人,在 2018 年中考中,全校 600 分以上人数为
300 人,到了 2020 年中考时,全校 600 分以上人数达到了 507 人.
(1)求这两年中考成绩为 600 分以上的人数的年平均增长率?
(2)校门外的陶陶文具店购进 600 个大运会吉祥物,进价为每个 6 元,第一周以每个 10
元的价格售出 200 个,第二周若按每个 10 元的价格销售,仍可售出 200 个,但商店为了
适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低 1 元,可多售出 50 个,但售
价不得低于进价),单价降低 x 元销售一周后,第三周商店对剩余吉祥物清仓处理,以每
个 4 元的价格全部售出,最终这批吉祥物共获利 1250 元.
①
设第二周销售利润为 y 元,请求出 y 关于 x 的函数关系式;
②
请求出第二周每个吉祥物的销售价格为多少元?
第 4页(共 11页)
6.某超市销售一种饮料,每瓶进价为 9 元,当每瓶售价为 10 元时,日均销售量为 560 瓶,
经市场调查表明,当售价超过 10 元时,每瓶售价每增加 0.5 元,日均销售量减少 40 瓶.
(1)当每瓶售价为 11 元时,日均销售量为 瓶;
(2)当每瓶售价为多少元时,所得日均总利润最大?最大日均总利润为多少元?
7.某超市销售一种成本为每千克 40 元的水产品,若按每千克 50 元销售,一个月可售出 500
千克,销售价每涨价 1 元,月销售量就减少 10 千克.
(1)直接写出月销售量 y(千克)与售价 x(元/千克)之间的函数关系式: ;月
销售利润 w(元)与售价 x(元/千克)之间的函数关系式: ;
(2)该超市想在月销售量不低于 250 千克的情况下,使月销售利润达到 8000 元,销售
单价应定为每千克多少元?
(3)售价定为每千克多少元时会获得最大利润?求出最大利润.
第 5页(共 11页)
8.某超市销售樱桃,已知樱桃的进价为 15 元/千克,如果售价为 20 元/千克,那么每天可
售出 250 千克,如果售价为 25 元/千克,那么每天可售出 200 千克,经调查发现:每天
的销售量 y(千克)与售价 x(元/千克)之间存在一次函数关系.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若樱桃的售价不得高于 28 元/千克,请问售价定为多少时,该超市每天销售樱桃所
获的利润最大?最大利润是多少元?
9.某商家销售一种商品,其成本为每件 20 元,物价部门规定,该商品的销售单价不能超过
48 元/件.据市场调查发现每月的销售量与售价的关系如下表:
售价 x(元) … 25 30 35 40 …
销售量 y
(件)
… 550 500 450 400 …
(1)设该商品的售价为 x 元,每月的销售量为 y 件.求 y 与 x 的函数关系式;
(2)若每月利润为 8000 元,则销售单价应定为多少元?
(3)设每月获得的利润为 w 元,当销售单价定价多少元时,每月获得的利润最大,最大
利润是多少?
第 6页(共 11页)
10.一位橄榄球选手掷球时,橄榄球从出手开始行进的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间
的关系如图所示,已知橄榄球在距离原点 6m 时,达到最大高度 7m,橄榄球在距离原点
13 米处落地,请根据所给条件解决下面问题:
(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)求运动员出手时橄榄球的高度.
第 7页(共 11页)
参考答案
1.解:(1)设函数表达式为 y=kx+b,则 ,解得 ,
故 y 关于 x 的函数关系式为 y=﹣20x+800;
(2)设成本为 m 元,
由题意得:(15﹣m)×500=2500,解得 m =10(元),
则 W=y(x﹣10)=(﹣20x+800)(x﹣10)=﹣20(x﹣40)(x﹣10),
∵﹣20<0,故 W 有最大值,
当 x= (40+10)=25(元)时,W 的最大值为 4500(元);
故答案为 10,25,4500;
(3)由题意得:W=(800﹣20x)(x﹣10﹣a)=﹣20(x﹣25﹣ a)2+5a2﹣300a+4500,
则当 x=25+ a 时,W 有最大值,
由题意得 x≤25 且 25+ a>25,
∴当 x=25 时,有最大利润 W=300(15﹣a)=3000,
解得 a=5.
2.解:(1)由题意得,y=700﹣20(x﹣45)=﹣20x+1600;
(2)P=(x﹣40)(﹣20x+1600)
=﹣20x2+2400x﹣64000
=﹣20(x﹣60)2+8000(45≤x≤80),
∵a=﹣20<0,
∴当 x=60 时,P 最大值=8000 元,
即当每盒售价定为 60 元时,每天销售的利润 P(元)最大,最大利润是 8000 元;
(3)由题意,得﹣20(x﹣60)2+8000=6000,
解得 x1=50,x2=70.
∵抛物线 P=﹣20(x﹣60)2+8000 的开口向下,
第 8页(共 11页)
∴当 50≤x≤70 时,每天销售糕点的利润不低于 6000 元的利润.
又∵y 随 x 的增大而减小,
∴当 x=70 时,y 最小值=﹣20×70+1600=200,
即超市每天至少销售糕点 200 盒.
3.解:(1)由题意得:y=(x+60﹣40)(300﹣10x)=﹣10x2+100x+6000;
(2)y=﹣10x2+100x+6000=﹣10(x﹣5)2+6250,
∵﹣10<0,故抛物线开口向下,
当 x=5(天)时,y 取得最大值为 6250(元).
∴销售该商品第 5 天时,日销售利润最大,最大日销售利润 6250 元;
(3)令 y=﹣10x2+100x+6000=5440,解得 x=﹣4 或 x=14,
故当月有 14 天的日销售利润不低于 5440 元.
4.解:(1)∵每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件,
∴每星期实际可卖出(300﹣10x)件,
则 y=(60﹣40+x)(300﹣10x)=﹣10x2+100x+6000,
而 300﹣10x≥0 且 x≥0,解得 0≤x≤30;
∵函数的对称轴为 x=﹣ =5,当 x=5 时,y 的最大值为 6250;
故答案为:y=﹣10x2+100x+6000,0≤x≤30,5,6250 元;
(2)设每件降价 x 元,则毎星期售出商品的利润 w 元,
则 w=(20﹣x)(300+20x)=﹣20x2+100x+6000,
∵函数的对称轴为 x=2.5,
∴当 x=2.5(元)时,则 w=6125(元);
(3)∵6250>6125,
故当 x=5 元时,利润最大,即定价为 65 元时,利润最大.
5.解:(1)这两年中考成绩为 600 分以上的人数的年平均增长率为 x,
由题意得:300(1+x)2=507,解得 x=﹣2.3(舍去)或 0.3,
第 9页(共 11页)
故这两年中考成绩为 600 分以上的人数的年平均增长率为 30%;
(2)
①
由题意得:y=(10﹣6﹣x)(200+50x)=﹣50x2+800;
②
由题意得:(10﹣6)×200+(﹣50x2+800)+(4﹣6)[600﹣200﹣(200+50x)]=1250,
解得 x=1,
故第二周每个吉祥物的销售价格为 10﹣1﹣9(元).
6.解:(1)当每瓶的售价为 11 元时,日均销售量为 560﹣40× =480 瓶,
故答案为:480;
(2)设每瓶的售价为 x 元,日均利润为 y,
则 y=(x﹣9)(560﹣40× )
=﹣80x2+2080x﹣12240
=﹣80(x﹣13)2+1280,
当 x=13 时,y 取得最大值,最大值为 1280,
答:当每瓶售价为 13 元时,所得日均总利润最大,最大日均总利润为 1280 元.
7.解:(1)月销售量 y(千克)与售价 x(元/千克)之间的函数关系式:y=500﹣10(x﹣
50)=﹣10x+1000,
即 y=﹣10x+1000;
月销售利润 w(元)与售价 x(元/千克)之间的函数关系式:w=(x﹣40)y=(x﹣40)
(﹣10x+1000)=﹣10x2+1400x﹣40000,
即 w=﹣10x2+1400x﹣40000,
故答案为:y=﹣10x+1000,w=﹣10x2+1400x﹣40000;
(2)根据题意得:﹣10x2+1400x﹣40000=8000,
解得:x1=80,x2=60,
又∵月销售量不低于 250 千克,
则有:﹣10x+1000≥250,
解得:x≤75,
∴x1=80>75(舍去),
答:销售单价应定为 60 元时,月销售利润达到 8000 元;
第 10页(共 11页)
(3)由(2)得:w=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10(x﹣70)2+9000,
∵a=﹣10<0,
∴抛物线的开口向下,抛物线有最高点,函数有最大值,
当 x=70 时,w 取最大值,最大值为 9000 元,
答:售价定为每千克 70 元时会获得最大利润?最大利润为 9000 元.
8.解:(1)设 y 与 x 的函数关系式为:y=kx+b,
把(20,250),(25,200)代入得:
,
解得: ,
∴y 与 x 的函数关系式为:y=﹣10x+450;
(2)设每天获利 W 元,
W=(x﹣15)(﹣10x+450)
=﹣10x2+600x﹣6750
=﹣10(x﹣30)2+2250,
∵a=﹣10<0,
∴开口向下,
∵对称轴为 x=30,
∴在 x≤28 时,W 随 x 的增大而增大,
∴x=28 时,W 最大值=13×170=2210(元),
答:售价为 28 元时,每天获利最大为 2210 元.
9.解:(1)设解析式为 y=kx+b,
将(30,500)和(40,400)代入得:
,
解得: ,
所以 y 与 x 的关系式为 y=﹣10x+8000(0<x≤48);
(2)根据题意,得:(x﹣20)(﹣10x+800)=8000,
第 11页(共 11页)
整理,得:x2﹣100x+2400=0,
解得:x1=40,x2=60,
∵销售单价最高不能超过 48 元/件,
∴x=40,
答:销售单价定为 40 元/件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 8000 元;
(3)利润 w=(x﹣20)(﹣10x+800)=﹣10(x﹣80)(x﹣20)=﹣10(x﹣50)2+9000,
∵﹣10<0,故 w 有最大值,
∵0<x≤48,
当 x=48 时,w 最大值为﹣10(48﹣50)2+9000=8960(元),
答:当销售单价定价 48 元时,每月获得的利润最大,最大利润是 8960 元.
10.解:(1)由题意知:抛物线的顶点为:(6,7),
设二次函数的解析式为 y=a(x﹣6)2+7,
把(13,0)代入 y=a(x﹣6)2+7,
解得: ,
则二次函数的解析式为: ;
(2)由题意可得:当 x=0 时, ,
∴运动员出手时橄榄球的高度为 米.