专题 09 函数与导数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班
级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．（2021·全国高三专题练习）已知函数 f(x)＝
1
3
3 1,
,log 1
x x
x x
则函数 y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数 f x
1
3
3 , 1
log , 1
x x
x x
，
所以函数 1f x
1
1
3
3 , 0
log 1 , 0
x x
x x
，
当 x＝0 时，y＝f(1)＝3，即 y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除 A；
当 x＝－2 时，y＝f(3)＝－1，即 y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除 B；
当 0x 时， 1
3
1 1, (1 ) log 1 0x f x x ，排除 C，
故选：D．
2．（2021·全国高一单元测试）向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象如图所示，
则杯子的形状为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度 h 匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升的速度更
快，说明第二段水面面积较小，
故选：B
3．（2021·四川高三三模（文））已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，当 0x 时， 1f x x x .则
不等式 0x f x 的解集为（ ）
A． 1,0 1, B． 1,0 0,1 U
C． , 1 0,1 D． , 1 1, U
【答案】C
【详解】
当 0x 时， 1f x x x ，由 0x f x 可得 0f x ，即 1 0x x ，解得 0 1x ；
当 0x 时， 0x ，则 1f x x x ，又 f x 是偶函数， 1f x x x ，由 0x f x 可
得 0f x ，即 1 0x x ，解得 1x ，
综上， 0x f x 的解集为 , 1 0,1 .
故选：C.
4．（2021·全国高一单元测试）已知奇函数 f x 在 ， 单调递增， 1 2f ，若 0 2f m ，则
（ ）
A． 2log 1 log 1m mm m B． log 1 0m m
C． 2 2(1 ) (1 )m m D． 1 1
3 21 1m m
【答案】D
【详解】
0 2f m ， 0 1f f m f ， 0 1m ， 1 1m ， 0 1 1m ．
21 1m m ， 2log 1 log 1m mm m ， log 1 0m m ，所以 A，B 错误； 2y x 在 0 ，
上为增函数， 2 2(1 ) (1 )m m ，所以 C 错误；
(1 ) xy m 在 0 ， 上为减函数， 1 1
3 21 1m m ，所以 D 正确．
故选:D
5．（2021·全国高一课时练习）已知偶函 f x 在区间 0, 上单调递减，则满足 12 1 3f x f
的实
数 x 的取值范围是（ ）
A． 1 2
3 3
， B． 1 2
3 3
，
C． 1 2
2 3
， D． 1 2
2 3
，
【答案】A
【详解】
因为偶函数 f x 在区间 0, 上单调递减，且满足 12 1 3f x f
，
所以不等式等价为 12 1 3f x f
，即： 12 1 3x ，
所以 1 12 13 3x ，解得： 1 2
3 3x ，
故 x 的取值范围是 1 2
3 3
， .
故选：A
6．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））已知函数 ( ) sin( ) 0,0 2f x x
，
6 6f x f x
，
2 2f x f x
，下列四个结论：
①
4
② 9 3 ( )2 k k N
③ 02f
④直线
3x 是 ( )f x 图象的一条对称轴
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】
由题设，知： ( )f x 关于
2x 轴对称，关于 ( ,0)6
中心对称，
∴
1
2
2 2
6
k
k
， 1 2( , )k k Z ，即 1 2( )3 2k k ， 1 2
33( ) 2k k ，
∴ 2 13 1( )2 2 4
k k ，又 0,0 2
，即 1 2k k ，
当 1 22, 1k k 时，有
4
，此时 9
2
，则 9( ) sin( )2 4
xf x ，
∴ 9sin( ) 02 4 4f
，而 3 5( ) sin( ) sin 13 4 2 4f ，故
3x 不是 ( )f x 图象的
一条对称轴.
故选：B.
7．（2021·全国高二单元测试）在直角坐标系中，设 O 为原点，M 为任意一点.定义：质点 M 的位置向量 OM
关于时间的函数叫做质点 M 的运动方程.已知质点 M 的运动方程 2( ) ( , 5 )r t t t ，则质点 M 在 t=1 时刻的
瞬时速度为（ ）
A．﹣10 B． 101 C．10 D．5
【答案】A
【详解】
∵质点 M 的运动方程 2, 5r t t t
，即 s=﹣5t2，
∴s'=s'(t)=﹣10t，
∴当 t=1 时，s'（1）=﹣10，
故选：A.
8．（2021·云南昆明市·高三二模（文））已知曲线 1xy e 在 0x x 处的切线方程为 0ex y t ，则（ ）
A． 0 1x ， 1t B． 0 1x ，t e
C． 0 1x ， 1t D． 0 1x ， t e
【答案】A
【详解】
1xy e 的导数为 exy ，
可得曲线 1xy e 在 0x x 处的切线的斜率为 0ex ，
由切线方程 0ex y t ，可得 0xe e ，解得 0 1x ，
切点为 (1, 1)e ，则 1 1t e e ．
故选：A．
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
错的得 0 分)
9．（2021·全国高一课时练习）（多选题）关于函数
2 1lg 0xf x xx
，则下列说法正确的是（ ）
A．其图象关于 y 轴对称
B．当 0x 时， f x 是增函数；当 0x 时， f x 是减函数
C． f x 的最小值是 lg 2
D． f x 无最大值，也无最小值
【答案】AC
【详解】
函数
2 1lg 0xf x xx
定义域为 0 0 ， ，+ ，又满足 f x f x ，所以函数 y f x 的
图象关于 y 轴对称，A 正确；
函数
2 1lg 0xf x xx
，当 0x 时，令 1t x x
，原函数变为 lgy t ， 1t x x
在 01，上是减
函数，在[1, ) 上是增函数，所以 f x 在 01，上是减函数，在[1, ) 上是增函数， 1 2t x x
，又是
偶函数，所以函数 f x 的最小值是 lg 2 ，故 BD 不正确，C 正确;
故选：AC．
10．（2021·全国高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为
制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷
费，甲厂的总费用 y1(千元)､乙厂的总费用 y2(千元)与印制证书数量 x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所
示，则（ ）
A．甲厂的制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元
B．甲厂的总费用 y1 与证书数量 x 之间的函数关系式为 1 0.5 1y x
C．当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 1.5 元
D．当印制证书数量超过 2 千个时，乙厂的总费用 y2 与证书数量 x 之间的函数关系式为 2
1 5
4 2y x
【答案】ABCD
【详解】
由题图知甲厂制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元，故 A 正确；
设甲厂的费用 1y 与证书数量 x 满足的函数关系式为 y kx b ，
代入点 (0,1),(6,4) ，可得 1
6 4
b
k b
，解得 0.5, 1k b ，
所以甲厂的费用 1y 与证书数量 x 满足的函数关系式为 1 0.5 1y x ，故 B 正确；
当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 3 2 1.5 元，故 C 正确；
设当 2x 时，设 2y 与 x 之间的函数关系式为 y mx n
代入点 (2,3),(6,4) ，可得 2 3
6 4
m n
m n
，解得 1 5,4 2k b ，
所以当 2x 时， 2y 与 x 之间的函数关系式为 2
1 5
4 2y x ，故 D 正确.
故选：ABCD.
11．（2021·全国高三专题练习）已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 xR 时，有 1f x f x ，且
当 0,1x 时， 2
1 1log 2 2f x x
，下列命题正确的是（ ）
A． 2019 2020 0f f
B．函数 f x 在定义域上是周期为 2 的函数
C．直线 y x 与函数 f x 的图象有 2 个交点
D．函数 f x 的值域为 1,1
【答案】AB
【详解】
根据题意，当 xR 时，有 1f x f x ，故 2 1f x f x f x ，
故 f x 为 R 上的周期函数且周期为 2，故 B 正确.
对于 A， 2020 2020 0 0f f f ，而 2019 1 0 0f f f ，
故 2019 2020 0f f ，故 A 正确.
因为当 0,1x 时， 1
2
1 1log 2 2f x x
，
此时 1 1 1 12 2 2x ，故 0 1f x≤ ≤ ，
当 1,2x 时， 1
2
3 11 log 2 2f x f x x
.
此时 1 3 1 12 2 2x ，故 1 0f x ，
故在 0,2 上， f x 的值域为 1,1 ，因为 f x 的周期为 2，
故在 R 上有 f x 的值域为 1,1 ，故 D 错误.
根据函数的奇偶性和周期性，可得函数的图象如图所示：
故直线 y x 与函数 f x 的图象有 3 个交点，故 C 错误.
故选：AB.
12．（2021·河北唐山市·高三二模）若直线 y ax 与曲线 ( ) xf x e 相交于不同两点 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
曲线 ( ) xf x e 在 A， B 点处切线交于点 0 0,M x y ，则（ ）
A． a e B． 1 2 0 1x x x
C． 2AM BM ABk k k D．存在 a ，使得 135AMB
【答案】ABC
【详解】
对于 A：当 0a 时，直线 y ax 与曲线 ( ) xf x e 没有两个不同交点，所以 >0a ，如图 1 所示，
当直线 y ax 与曲线 ( ) xf x e 相切时，设切点为 ,P t f t ，则 ' ( ) xf x e ，
所以切线方程为： t ty e e x t ，代入点 0 0， 解得 1t ，此时 a e ，所以直线 y ex 与曲线 ( ) xf x e
相切，
所以当 a e 时直线 y ax 与曲线 ( ) xf x e 有两个不同的交点，
当 0 a e 时，直线 y ax 与曲线 ( ) xf x e 没有交点，故 A 正确；
对于 B：由已知得 1
1
xax e ， 2
2
xax e ，不妨设 1 2x x ，则 1 20 1x x ，
又 ( ) xf x e 在点 A 处的切线方程为： 1 1
1 +x xy e x x e ，在点 B 处的切线方程为 2 2
2 +x xy e x x e ，
两式相减得 1 2 1 2
1 2+1 + 0x x x xe e x x e x e ，将 1
1
xax e ， 2
2
xax e 代入得
1 2 11 2 2+1 + 0x xax ax x xxa a ，
因为 1 2 0a x x ，所以 1 2 1x x x ，即 1 2 0 1x x x ，故 B 正确；
对于 C：要证 2AM BM ABk k k ，即证 1 2+ >2x xe e a ，即证 1 2+ >2a axx a ，因为 >a e ，所以需证 1 2+ >2x x .
令 xax e ，则
xea x
，令
xeg x x
，则点 A、B 是 y a 与 ex
y x
的两个交点，令
2 0 1G x g x g x x ，
所以 2
'
2
21
2
x xe
x x
x eG x
，令 2 >0
xe
xh x x ，则 '
3
2xe xh xx
，所以当 0,2x 时，
' 0h x ， h x 单调递减，
而 0 1x ， 0 1 2 2x x ，所以 > 2h x h x ，所以 0 1x 时， ' 0G x ，所以 G x 单
调递减，所以 > 1 0G x G ，
即 1 12 >0g x g x ，又 1 2g x g x a ，所以 2 1> 2g x g x ，
而
2
' 1 xxg e
xx
，所以当 >1x 时， ' >0g x ， g x 单调递增，又 2 >1x ， 12 >1x ，所以 2 1>2x x ，
即 1 2+ >2x x ，故 C 正确；
对于 D：设直线 AM 交 x 轴于 C，直线 BM 交 x 轴于点 D，作 ME x 轴于点 E．若 135AMB ，则
45AMD ，
即 45MDE MCD ，所以
tan tantan 11 tan tan 1
BM AM
AM BM
k kMDE MCDMDE MCD + MDE MCD +k k
，
化简得 1BM AM AM BMk k +k k ，即 2 1 1 2 1 211x x x x x +xe e e e ++ e ，所以 2 1 1 21ax ax +ax ax ，即
2 1 1 2 1a x x x x ，
令 2 1 1 2m x x x x ，则 2 1 1 2 1 21 1 1m x x x x x x + + ，又 1 20 1x x ，所以
2 1 1 2 1 21 1 1 1m x x x x x x + + > ，
而 a e ，所以方程 2 1 1 2 1a x x x x 无解，所以不存在 a ，使得 135AMB ，故 D 不正确，
故选：ABC．
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数 ( )y f x 图像过点 2, 2 ，则该幂函数的解析式是
______________
【答案】 1
2y x
【详解】
设 ( )f x x ，因为 (2) 2 2f ，所以 1
2
，所以函数的解析式是 1
2y x ．
故答案为： 1
2y x .
14．（2021·全国高三专题练习）已知函数
2
2 3, 1( )
lg( 1), 1
x xf x x
x x
，则 ( )f x 的最小值是______．
【答案】 2 2 3
【详解】
当 1x 时， 2 2( ) 3 2 3 2 2 3f x x xx x
，当且仅当 2x 时，等号成立，
当 1x 时， 2 1 [1,2)x ，所以 2lg 1 0,lg 2f x x ，
因为 2 2 3 0 ，所以 ( )f x 的最小值是 2 2 3 .
故答案为： 2 2 3
15．（2021·全国高一课时练习）方程 1 2sin ( 2 4)1 x xx
的所有根的和为___________．
【答案】8
【详解】
设 1( ) 1f x x
， ( ) 2sing x x ，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点 (1,0) 成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，
函数 ( )g x 在 (1,4) 上出现 1.5 个周期的图象，在 31, 2
和 5 7,2 2
上是减函数；在 3 5,2 2
和 7 ,42
上是增函
数．
函数 ( )f x 在 (1,4) 上函数值为负数，且与 ( )g x 的图象有四个交点 E 、 F 、G 、 H ，
相应地， ( )f x 在 ( 2,1) 上函数值为正数，且与 ( )g x 的图象有四个交点 A 、 B 、 C 、 D ，
且： 2A H B G C F D Ex x x x x x x x ，
故所求的横坐标之和为 8，
故答案为：8．
16．（2021·全国高三其他模拟）已知函数 2
ln ,0 1
, 1 0x
x x xf x
x e x
，若 g x f x k 有三个不同的零
点，则 k 的取值范围是______， 0 0,1x ， f x 在点 0 0,x f x 处的切线过点 2 ,0e ，则该切线方
程为______．
【答案】 2 2 12 2 2 ,e e
2y x e
【详解】
2
ln 0 1 ,
1 0 ,x
x x xf x x e x
当 0 1x 时， ln 1f x x 为减函数；当 1 0x 时，
22 xf x x x e ， 1, 2 2x 时， f x 为减函数， 2 2,0x 时， f x 为增函数，
所以 f x 的图象如图所示．
1x 时， 11f e
， 2 2x 时， 2 22 2 2 2 2f e ，结合函数图象知
2 2 12 2 2 ,k e e
时，方程 g x f x k 有三个实根．
切线方程为 0 0 0y y f x x x ，即 0 0 0 0ln ln 1y x x x x x ，将 2 ,0e 代入得
2 2
0 0ln 0x e x e ，得 2
0x e ，故所求切线方程为 2y x e ．
故答案为： 2 2 12 2 2 ,e e
， 2y x e .
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．（2021·全国高一课时练习）已知函数 3 1
3 1
x
x
mf x
是奇函数.
（1）求实数 m 的值；
（2）证明：函数 f x 在 R 上是单调递增函数；
（3）当 ,x a b 时，函数 f x 的值域为 1 5,2 6
，求实数 a，b 的值.
【答案】（1） 2m ；（2）证明见解析；（3） 31 11a b log ， .
【详解】
（1） f x 的定义域为 R，因为 f x 为奇函数，所以 0 0f x f x f ， ，
即
0
0
3 1 03 1
m
，解得 2m ，经检验符合题意， 2m .
（2）证明：由 1（）可知 3 1 2=13 1 3 1
x
x xf x
，任意取 1 2x x R， ，设
2 11 2 1 2
2
1
2
3 1 3x xx x f x f x
，
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 3
3 3 0
3 1 3 1
x x
x x
x x x x f x f x f x f x
， ， ， ， ， 函数 f x 在区间
， 上是单调增函数；
（3）因为 f x 是 R 上的增函数，所以
3 1 1
3 1 2
3 1 5
3 1 6
a
a
b
b
f a
f b
，解得 31 11a b log ， .
18．（2021·全国高一单元测试）已知函数 4 4
1( ) 2log 2 log 2f x x x
．
（1）当 [1,16]x 时，求该函数的值域；
（2）求不等式 ( ) 2f x 的解集；
【答案】（1） 9[ ,5]8
；（2） 1{ | 0 4x x 或 8}x ．
【详解】
（1）令 4logt x ， [1,16]x ，则 [0,2]t ，
则 21(2 2)( ) 2 12y t t t t 在 1[0, ]4
上递减，在 1( ,2]4
上递增，
所以当 1
4t 时， y 取得最小值为 9
8
，当 2t 时， y 取得最大值为 5 ，
所以当 [1,16]x 时，求该函数的值域为 9[ ,5]8
.
（2）不等式 ( ) 2f x 可化为 2
4 42 log log 3 0x x ，
分解因式得 4 4(2log 3)(log 1) 0x x ，
所以 4
3log 2x 或 4log 1x ，
所以 3
24 8x 或 10 4x .
所以不等式 ( ) 2f x 的解集为 1{ | 0 4x x 或 8}x
19．（2021·全国高一单元测试）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对
华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有让华为却步．华
为在 2018 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争
力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万，
每生产 x（千部）手机，需另投入成本 R(x)万元，且
210 100 ,0 40
( ) 10000701 9450, 40
x x x
R x
x xx
，由市场调研知，
每部手机售价 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出 2020 年的利润 W(x)（万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
210 600 250,0 40
( ) 10000( ) 9200, 40
x x x
W x
x xx
；（2）2020 年产量为 100（千部）时，企业所获利
润最大，最大利润是 9000 万元．
【详解】
（1）当 0 40x 时， 2 2700 10 100 250 10 600 250W x x x x x x ；
当 40x≥ 时， 10000 10000700 701 9450 250 9200W x x x xx x
，
210 600 250,0 40
10000 9200, 40
x x x
W x
x xx
．
（2）若 0 40x ， 210 30 8750W x x ，
当 30x 时， max 8750W x 万元．
若 40x≥ ， 10000 9200 9200 2 10000 9000W x x x
，
当且仅当 10000x x
时，即 100x 时， max 9000W x 万元．
2020 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元．
20．（2019·科技城校高一月考）已知函数 1lg 1
xf x x
．
（1）求不等式 lg 2 0f f x f 的解集；
（2）函数 2 0, 1xg x a a a ，若存在 1x ， 2 0,1x ，使得 1 2f x g x 成立，求实数 a 的取
值范围；
（3）若函数
, 1 1
1, , 1 1,
f x xh x k x x
，讨论函数 2y h h x 的零点个数．
【答案】（1） 1 9,3 11
；（2） 2, ；（3）答案见解析.
【详解】
（1）函数 1lg 1
xf x x
，
由1 01
x
x
，
可得 1 1x ，
即 f x 的定义域为 1,1 ；
又 1lg1
xf x f xx
，
所以 f x 为奇函数，
当 0 1x 时，
2lg 1 1f x x
显然单调递减，
所以 f x 在 11 ， 上单调递减，且 f x 的值域为 R ，
不等式 lg 2 0f f x f ，
可化为 lg 2 lg 2f f x f f ，
所以
1 1
lg 2
f x
f x
，
即 1 lg2f x ，
即 1 11 lg lg1 2
x
x
，
即为 1 10.1 1 2
x
x
，
解得 1 9
3 11x ，
则原不等式的解为 1 9
3 11
， ；
（2）函数 2 0, 1xg x a a a ，
若存在 1x ， 2 01x ， ，
使得 1 2f x g x 成立，
则 f x 和 g x 在 01x ， 上的值域的交集不为空集；
由（1）可知： 0 1x 时，
1 2lg lg 11 1
xf x x x
显然单调递减，
所以其值域为 0， ；
若 1a ，
则 2 xg x a 在 01， 上单调递减，
所以 g x 的值域为 2 1a ，，
此时只需 2 0a ，
即 2a ，
所以 2a ；
若 0 1a ，
则 2 xg x a 在 01， 递增，
可得 g x 的值域为 1 2 a， ，
此时 1 2 a， 与 0， 的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数 a 的范围是 2 ， ；
（3）由 2 0y h h x ，
得 2h h x ，
令 t h x ，
则 2h t ，
画出
, 1 1
1, , 1 1,
f x xh x k x x
的图象，
当 0k ，只有一个 1 0t ，对应3 个零点，
当 0 1k 时，1 1 2k ，
此时 1 1t ， 21 0t ， 3
1 1t k
，
由
21 1 1 1 5 5 11 2 2
k kk k kk k k
，
得在 5 1 12 k ， 11k k
，
三个t 分别对应一个零点，共 3 个，
在 5 10 2k 时， 11k k
，
三个t 分别对应1个， 1 个， 3 个零点，共 5 个，
综上所述：当 1k 时， 2y h h x 只有1个零点，
当 0k 或 5 1 12 k 时， 2y h h x 有 3 个零点，
当 5 10 2k 时， 2y h h x 有 5 个零点.
21．（2021·湖南高三月考）已知函数 1 ln( ) ex xf x x
， ( ) 1 e 1xg x a .
（1）证明： 1xe f x ；
（2）若 0x 时， ( ) ( )g x f x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）求 ( )f x 的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 0a ；（3）1.
【详解】
（1）∵ 0x ，∴证明 e ( ) 1x f x 即证明 1 ln 1x
x
即证明 ln 1 0x x .
设 ( ) ln 1x x x ，∴ 1( ) ( 0)xx xx
，
∴ 0 1x 时 ( ) 0x ， ( ) x 单调递增； 1x 时 ( ) 0x ， ( ) x 单调递减.
∴ max( ) (1) 0x ，
∴ ln 1 0x x 即 e ( ) 1x f x 成立.
（2） 0x 时， ( ) ( )g x f x 即 1 ln 1x xae x
，
由（1）知，当 0a 时， 1 ln 1 ln 1x x xae x x
成立，
当 0a 时，显然 1x 时不成立，
综上， 0a .
（3）
2
2 2
1 1 ln ln( )
x
x x x xf x e x x
e .
设 2( ) lnxh x x e x ， 2 1( ) 2 0xh x e x x x
，
∴ ( )h x 在 (0, ) 上单调递增，
∵ 1 02h
， (1) 0h ，
∴存在 0
1 ,12x
使 0 0h x ，且 00 x x 时 ( ) 0h x 即 ( ) 0f x ， ( )f x 递减；
0x x 时 ( ) 0h x 即 ( ) 0f x ， ( )f x 递增，
∴ 0 0
min 0
0
1 ln( ) x xf x f x e x
，
∵ 0 0h x ，∴ 0
0
2
0 e n 0lxx x ，∴ 0
0 0
0
1 ln 0xx xxe ，
∴ 0 0ln
0 0lnx xxe ex ，
∵ ( ) xt x xe 在 (0, ) 是单调递增，
∴ 0 0lnx x ，
∴ 0
0
1xe x
，
∴ 0 0 0
min
0 0 0 0
1 ln ln1 1( ) 1x x xf x e x x x x
.
22．（2021·云南昆明市·高三二模（文））已知函数 ( ) sinf x ax x ， ( )(0, )x a R .
(1)若 ( ) 0f x ，求 a 的取值范围；
(2)当 1a 时，证明： 2 ( ) cos xf x x e .
【答案】(1)[1, ) ；(2)证明见解析.
【详解】
(1) ( ) cosf x a x ，
当 1a 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 在 (0, ) 单调递增，故 ( ) (0) 0f x f ，满足题意；
1a 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 在 (0, ) 单调递减，故 ( ) (0) 0f x f ，不满足题意；
1 1a 时，令 ( ) 0f x ，在 (0, ) 上存在 0x ，使得 0cos x a 成立，
故 00 x x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 在 0(0, )x 单调递减，则 ( ) (0) 0f x f ，不满足题意，
综上： a 的取值范围是[1, ) ；
(2) 1a 时， ( ) sinf x x x ，
要证 2 ( ) cos xf x x e ，即证 2 2sin cos xx x x e ，即证 (2 2sin cos ) 1xx x x e ，
设 ( ) (2 2sin cos ) xg x x x x e ，
则 ( ) [(2 2cos sin ) (2 2sin cos )] xg x x x x x x e ，
[2( sin ) 2 2 sin( )]4
xx x x e ，
由(1)得 sinx x ，而 2 2 sin( ) 2 2 04x ，
即 ( ) 0h x ， ( )g x 在 (0, ) 单调递增， ( ) (0) 1g x g ，
所以 (0, )x ， 1a 时， 2 ( ) cos xf x x e .
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