陕西省西安市长安区2021届高三数学（文）下学期第一次模拟试题（Word版附答案）

长安区 2021 年高三年级第一次模拟试题 文科数学 本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非 选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损。 5.若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若 iz  2 ，则 zz 2 =（ ） A. 10 B. 2 C. 26 D. 3 2.设集合  06x| 2  xxA ，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤2}，则 a （ ） A.2 B.-2 C.-4 D.4 3.“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球 面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后 剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠 面积 Rh2S  ，其中 R 为球的半径，h 为球冠的高）设球冠底的半径为 r, 周长为 C,球冠的面积为 S，则当  162  SC ， 时，  R r （ ） A. 2 1 B. 8 15 C. 8 13 D. 8 17 4.已知 ( , ) 2sin 2 cos2 12      ， ，则 cos （ ） A. 5 1 B. 5 5 C. 3 3 D. 5 52 5.设抛物线 C: pxy 22  的焦点为 F ，准线为l ． P 是抛物线 C 上异于O 的一点，过 P 作 PQ l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ） A.经过点 P B.经过点 O C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 6.将函数 ( ) sinf x x （其中 >0）的图像向右平移 4  个单位长度，所得图像关于直线 x  对称，则 的最小值是( ) A． 1 3 B．1 C． 5 3 D． 2 3 7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到 如下数据: 单价(元) 4 5 6 7 8 9 销量(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据,求得线性回归方程 =-4x+a,若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方 的概率为( ) A. B. C. D. 8.在△ABC 中，O 为中线 AM 的中点，若 AM=2，则  OCOBOA  等于( ) A. 2 B. 2 C. 1 D.1 9.已知 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, 且 ,cos4 5sinsin AbbBAa  ABCcb  ,10 的面积为 ， 4 325 则 a （ ） A. 32 B.5 C.8 D. 22 10.已知点 ),( yxP 是曲线 34 2)( xxxf  在点 ))1(,1( f 处的切线上一点，则 )0,02  yxxy yx （ 的最小值为（ ） A.4 B.9 C.5 D.16 11.已知 2 5 1 log 3, 2log 2, 0.752a b c   ，则 cba ,, 的大小关系为（ ） A. bac  B. cba  C. acb  D. cab  12.已知     xx eexxxf   113 221 ，其中 e 是自然对数的底数，若     01ln  afaf ，则实数 a 的取值范围是（ ） A.  1,0 B. ),1(  C.  2,0 D. ),2(  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 ,x y 满足约束条件 yxz yx xy y        2 ,2 ,1 ,1 则 的最小值是_______. 14.一个动圆与定圆 4)3: 22  yxF（ 相外切,且与直线 1: xl 相切,则动圆圆心的轨迹 方程为_______. 15.点 P 在双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的右支上,其左、右焦点分别为 21 FF， ,直线 1PF 与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A,线段 1PF 的垂直平分线恰好过点 2F ,则该双 曲线的离心率为_______. 16.菱形 ABCD 中， 2AB  ，  120DAB ，将△CBD 沿 BD 折起，C 点变为 E 点，当四 面体 E-ABD 的体积最大时，四面体 E-ABD 的外接球的面积为_______. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据 要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.如图，四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD ， AB AD ， AB CD∥ ， 2 2 2PD AB AD CD    ， E 为 PA 上一点，且 3 2PE PA . （Ⅰ）证明：平面 EBC  平面 PAC ； （Ⅱ）求三棱锥 BCEP  的体积． 18.已知等差数列 na 中，公差 0d  ， 11 77S  ，且 2a ， 6 1a  ， 11a 成等比数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 nT 为数列 1 1 n na a        的前 n 项和，且存在 *n N ，使得 1 0n nT a   成立，求实数  的取值范围． 19.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与 比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调 查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天 数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练天数 不大于 2 天 3 天或 4 天 不少于 5 天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于 5 天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈 参与者” （1）经调查，该市约有 3 万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； （2）根据上表的数据，填写下列 2 2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 附：        2 2 n ad bck a b c d a c b d      （ n 为样本容量）  2 0P k k 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.已知点 P 到 ( 5,0)M 的距离与它到直线 9 5: 5l x  的距离之比为 5 3 . （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若 A 是轨迹 E 与 x 轴负半轴的交点，过点 ( 3,8)D  的直线l 与轨迹 E 交于 ,B C 两点，求 证：直线 ACAB, 的斜率之和为定值． 21.已知函数   2(2 3 )xf x e m x x   . （1）若曲线 ( )y f x 在点 0(1, )P y 处的切线为 :( 1) 0l e x y n    ，求 ,m n ； （2）当 1m  时，若关于 x 的不等式    25 3 12f x x a x    在 1, 上恒成立，试求实 数 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为      ty tx k k sin cos2 (t 为参数 ) ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 012sin3cos2   ． （1）当 2k 时，求出 1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状； （2）当 1k 时，P 是曲线 1C 上一点，Q 是曲线 2C 上一点，求 PQ 的最小值． 23.[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 2 4| | 1|f x x x    ， x R . （1）解不等式： ( ) 5f x  ； （2）记 ( )f x 的最小值为 M ，若实数 ,a b 满足 2 2a b M  ，试证明： 2 2 1 1 2 2 1 3a b    ． 长安区 2021 年高三年级第一次模拟试题 文科数学参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B A D C A B B D A 二、填空题: 13． 2 7 ； 14． xy 122  ； 15． 3 5 ； 16． 20 三、解答题： 17.解：（Ⅰ） PA  平面 BCABCD, 平面 ,ABCD PA BC  ∵在直角梯形 ABCD 中， / / ,AB CD AB AD 2, 1AB AD CD   ， 2AC BC   ， 2 2 2 ,AC BC AB AC BC     ， 又 .PA AC A BC    平面 PAC ， BC  平面 EBC ， 平面 EBC  平面 PAC ；（6 分） （Ⅱ） ,PCEBBCEP VV   由（1）可知 BC 平面 ,PCE 所以三棱锥 PCEB  的高为 ,2BC  ,23 PAPE  ,3 6232 1 3 2 3 2,2   PACPCE SSAE PE .9 3223 6 3 1   PCEBBCEP VV （12 分） 18.解：（1）由题意可得      1 2 1 1 1 11 1011 772 5 1 10 a d a d a d a d          即 1 (7 4 ) (7 7 5 5 , ) 36 a d d d         又因为 0d  ，所以 1 2, 1. a d    所以 1na n  .（4 分） （2）∵   1 1 1 1 1 1 2 1 2n na a n n n n       ， ∴ 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2nT n n            1 1 2 2 2 2 n n n    . ∵存在 *Nn ，使得 1 0n nT a   成立. ∴存在 *Nn ，使得    2 02 2 n nn    成立. 即存在 *Nn ，使得  22 2 n n    成立. ∵  2 1 4 162 2 2 1 4 n n n n        （当且仅当 2n  时取等号）. ∴ 1 16   ，即实数  的取值范围是 1,16     .（12 分） 19.解：解：（1）设事件 A:热烈参与者， x 为 3 万人中热烈参与者的人数 则   40 1 200 5P A   所以 60005 130000 x 人（4 分） （2） 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 35 105 140 女 5 55 60 合计 40 160 200        2 2 7.292 6.635n ad bck a b c d a c b d       所以热烈参与马拉松”与性别有关。（12 分） 20.解：（1）设点 ( , )P x y ，由题意可得 2 2( 5) ( 0) 5 39 5 5 x y x      . 化简整理可得 2 2 19 4 x y  所以点 P 的轨迹 E 的方程为 2 2 19 4 x y  .（4 分） （2）由（1）可得，过点 D 的直线l 斜率存在且不为 0， 故可设 l 的方程为  0y kx m k   ，    1 1 2 2, , ,B x y C x y ， 由 2 2 19 4 y kx m x y     得 2 2 24 9 18 9 36 0k x kmx m     ，       2 2 2 2 218 4 4 9 9 36 144 9 4 0km k m k m         2 1 2 1 22 2 18 9 36 4 9 4 9 km mx x x xk k      而                 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3AB AC y x y x kx m x kx m xy yk k x x x x x x                       1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 6 3 9 kx x k m x x m x x x x          2 2 2 2 2 2 9 36 182 3 64 9 4 9 9 36 183 94 9 4 9 m kmk k m mk k m km k k                      8 3 3m k   由于直线l 过点  3,8D  ，所以 3 8k m   ， 所以 1 3AB ACk k  （即为定值）（12 分） 21.解：（1）∵函数   2(2 3 )xf x e m x x   的导数   (4 3)xf x e m x    ， ∴由题意可得 (1) 1f e m e     ，即 1m  . 则 2( ) 2 3xf x e x x   ，点 P 坐标为 1, 1e ∵ 点 P 在直线 :( 1) 0l e x y n    上 ∴ 2n   故 1, 2m n   （4 分） （2）当 1m  时， 2( ) 2 3xf x e x x   ∵关于 x 的不等式    25 3 12f x x a x    在 1, 上恒成立， ∴ 1 2 xe xa x x    ， 设   1 2 xe xg x x x    ，则       2 2 2 1 1 11 1 1 2 2 x xe x e xg x x x x         ， 由 1xy e x   的导数为 1xy e   ，可得 0x  时， 0y  ，函数 1xy e x   递增， 0x  时，函数 1xy e x   递减，则 1 0xe x   ，即 1 0xe x   ， ∴ 当 1x  时，      2 2 1 1 1 1 11 1 1 02 2 2 xe x x x x x          ， 则   1 2 xe xg x x x    在 1, 递增，可得    min 31 2g x g e   ， 则 3 2a e  .（12 分） 22．解：（1）当 2k 时，消t 得 ),0,0(,22  yxyx 该曲线是以 A(2,0),B(0,1)为端点的 线段。（5 分） （2）当k=1时，曲线 1C 的普通方程为椭圆： ,14 2 2  yx 曲线 2C 的普通方程为直线：2x-3y-12=0, 可知直线与椭圆相离，则 PQ 的最小值为 P 到直线的距离的最小值，则： , 13 12)sin(5 13 12sin3cos4  tttd 当 1)sin( t 时，有最小值 .13 137 （10 分） 23.解：（1）易知 3 3, 2 ( ) 2 4 1 5 , 1 2 3 3, 1 x x f x x x x x x x                因为 ( ) 5f x  ，所以 2 3 3 5 x x     ，或 1 2 5 5 x x       ，或 1 3 3 5 x x      所以 82 3x  ，或 0 2x  ，或  ，所以 80 3x  ， 所以不等式的解集为 80 3x x     （5 分） （2）证明： ∵ ( ) | 2 4| | 1| 2 ( 2) ( 1) 2 3 3f x x x x x x x              ，当且仅当 2x  时 取等号. ∴ ( )f x 的最小值为 3M  ，所以 2 2 3a b  ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1[( 2) ( 1)]2 1 2 1 6a ba b a b              2 2 2 2 1 2 12 2 1 6 b a a b          2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 1 6 3 b a a b            ， 当且仅当 2 2 2 2 1 2 2 1 b a a b    ，即 2 1a  ， 2 2b  时取等号.（10 分）