专题2.1 解三角形-常规型(解析版)-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练(新高考地区专用)
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资料简介
专题 2.1 解三角形-常规型 1.对于解三角形问题,通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求 边的关系,利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,同时注意三角形内角和定 理,三角形面积公式在解题中的应用. 2.在解三角形中,选择用正弦定理或余弦定理,可以从两方面思考: (1)从题目给出的条件,边角关系来选择; (2)从式子结构来选择. 3.选择“边化角”或“角化边”时,具体变换原则如下: (1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”; (2)若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”; (3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”; (4)代数式变形或者三角恒等变换前置; (5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解; (6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理. 1.在 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且    sin sin sin 3a b A B C c b    . (1)求角 A; (2)若 ABC 的面积 2 3ABCS  △ ,求 a 的取值范围. 【试题来源】广西南宁市 2021 届高三下学期第一次适应性测试 【答案】(1)30 ;(2) 2a  【分析】(1)由正弦定理化角为边可得 2 2 2 3b c a bc   ,再利用余弦定理即可求出; (2)由面积公式可得 8 4 3bc   ,再利用基本不等式即可求出. 【解析】(1)由已知结合正弦定理可得    3a b a b c c b    ,即 2 2 2 3b c a bc   , 则由余弦定理可得 2 2 2 3 3cos 2 2 2 b c bcA bc bc a   ,  0 ,180A   , 30A   ; (2) 1 1sin 2 32 4ABCS bc A bc   △ ,则 8 4 3bc   , 由 2 2 2 3 2 3 4a b c bc bc bc      ,当且仅当b c 时等号成立, 2a  . 2.在 ABC 中, 2BAC   ,点 D 在边 BC 上,满足 3AB BD . (1)若 6BAD   ,求 C ; (2)若 2 , 4CD BD AD  ,求 ABC 的面积. 【试题来源】江苏省苏锡常镇四市 2021 届高三下学期 3 月教学情况调研(一) 【答案】(1) 3  ;(2)12 2 . 【分析】(1)在 ABD△ 中,由正弦定理求得 3sin 2BDA  ,得到 BDA 的大小,进而 求得 C 的大小;(2)由 3 , 2AB BD CD BD  ,得到 3 6,3 3AB BC AC BC  ,根 据向量的线性运算,求得 2 1 3 3AD AB AC  uuur uuur uuur ,进而得到 2 2 24 1 9 9AD AB AC  ,求得 , ,BC AB AC 的长,利用面积公式,即可求解. 【解析】(1)在 ABD△ 中,由正弦定理得 sin sin BD AB BAD BDA   , 所以 sin 36sin 2 AB BDA BD     , 因为 (0, )BDA   ,所以 2 3BDA   或 3BDA   , 当 2 3BDA   时,可得 6B   ,可得 3C   ; 当 3BDA   时,可得 2B   ,因为 2BAC   (舍去), 综上可得 3C   . (2)因为 3 , 2AB BD CD BD  ,所以 3 6,3 3AB BC AC BC  , 由 1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC                  , 所以 2 2 2 2 222 1 4 1 4 4 1( )3 3 9 9 9 9 9AD AB AC AB AC AB AC AB AC                , 即 2 2 24 1 9 9AD AB AC  , 又由 4AD ,可得 2 2 24 3 1 6( ) ( )9 3 9 3 4BC BC   ,解得 6 2BC  , 则 2 6, 4 3AB AC  , 所以 1 12 22ABCS AB AC   . 3 . 在 ABC 中 , 内 角 A , B , C 对 边 的 边 长 分 别 是 a , b , c . 已 知 2 2 2(2sin 3sin ) 4sin sinA B C B   . (1)求角 C 的大小; (2)若 1b  , 7c  ,求 cos2( )B C 的值. 【试题来源】天津市南开区 2021 届高三下学期一模 【答案】(1) 6  ;(2) 11 14 . 【分析】(1)将等式化简,再利用正弦定理及余弦定理,即可求出角C ;(2)利用正弦定 理求出sin B ,再根据b c ,可知 B C ,进而可根据同角三角函数关系,求出 cos B ,再 利用两角差的余弦公式及二倍角公式,即可求出 cos2( )B C . 【解析】(1)由 2 2 2(2sin 3sin ) 4sin sinA B C B   化简, 得 2 2 2sin sin sin 3sin sinA B C A B   ,由正弦定理,得 2 2 2 3a b c ab   , 由余弦定理得 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab    ,又 (0, )C  ,所以 6C  . (2)因为 1b  , 7c  ,所以由正弦定理 sin sin b c B C  ,得 sin 7sin 14 b CB c   , 因为b c ,所以 B C ,所以 2 3 21cos 1 sin 14B B   , 所以 cos( ) cos cos sin sinB C B C B C   3 21 3 7 1 5 7 14 2 14 2 14      , 所以 2 2 5 7 11cos2( ) 2cos ( ) 1 2 114 14B C B C             . 【名师点睛】本题在利用同角三角函数求 cos B 时,需要注意利用大边对大角确定角 B 的范 围. 4. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A 为锐角, 2 2 sin cos 2 c aB C ab   . (1)求 A; (2)若 3 4b c ,且 BC 边上的高为 2 3 ,求 ABC 的面积. 【试题来源】广东省深圳市 2021 届高三一模 【答案】(1) 6  ;(2) 7 3 . 【分析】(1)先用余弦定理化余弦为边,再用正弦定理化边为角从而求得 A ;(2)由余弦 定理用 c 表示 a ,然后把三角形的面积用两种方法表示求得 c ,从而可计算出面积. 【解析】(1)由 2 2 sin cos 2 c aB C ab   得 2 22 sin 2 cosab B ab C c a   , 由余弦定理得 2 2 2 2 22 sinab B c a b c a     ,所以 2 sina B b , 由正弦定理得 2sin sin sinA B B , B 是三角形内角,sin 0B  , 所以 1sin 2A  ,又 A 为锐角,所以 6A  . (2)由(1) 2 2 2 2 23 32 cos 2 cos16 4 6a b c bc A c c c c          27 16 c , 7 4a c , 所以 1 1sin 2 32 2ABCS bc A a  △ ,即 21 3 1 1 7 2 32 4 2 2 4c c     , 4 7c  , 3 214b c  , 1 1 1sin 21 4 7 7 32 2 2ABCS bc A     △ . 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.利用正弦定理和余弦定理进 行边角互化是解题关键.三角形的面积采取了二次计算,通过不同的计算方法得出等式,从 而求解.这是一种解题技巧. 5.如图,在 ABC 中, 6AB  , 3cos 4B  ,点 D 在 BC 边上, 4AD , ADB 为锐 角. (1)若 6 2AC  ,求线段 DC 的长度; (2)若 2BAD DAC   ,求sinC 的值. 【试题来源】2021 年浙江省新高考测评卷数学(第七模拟) 【答案】(1)7;(2) 7 14 32 . 【分析】(1)分别在 △ ABD 、 △ ABC 中,由余弦定理求 BD , BC ,即可求 DC 的长度; (2)记 DAC  ,则 2BAD   ,在 △ ABD 中由余弦定理求sin 2 、 sin 、 cos , 法一:即可求sin3 、cos3 ,由已知求sin B ,又  sin sin 3C B    即可求值;法二: 由余弦定理求 cos BDA ,sin BDA ,又  sin sinC BDA    即可求值. 【解析】(1)在 △ ABD 中,由余弦定理得 2 2 22 36 16 3 12co 2 4s AB BD ADB AB B BD D BD        , 所以 5BD  或 4BD  . 当 4BD  时, 16 16 36cos 02 4 4ADB      ,则 2ADB   ,不合题意,舍去; 当 5BD  时, 16 25 36cos 02 4 5ADB      ,则 2ADB   ,符合题意. 所以 5BD  . 在 △ ABC 中, 2 2 22 36 72 3 12co 2 4s AB BC ACB AB B BC C BC        , 所以 12BC  或 3BC   (舍). 所以 7DC BC BD   . (2)记 DAC  ,则 2BAD   . 在 △ ABD 中, 2 2 2 9cos cos2 2 16 AB AD BDBAD AB AD       , 所以 2 为锐角,得 2 1 cos2 7sin 2 32    , 5 7sin 2 16   ,即 14sin 8   , 5 2cos 8   , 法一: 17 14sin3 sin 2 cos cos2 sin 64        ,同理 5 2cos3 64   . 由 3cos 4B  知 7sin 4B  , 所以     7 14sin sin 3 sin 3 sin cos3 cos sin3 32C B B B B            . 法二: 2 2 2 16 25 36 1cos 2 2 4 5 8 AD BD ABBDA AD BD          , 3 7sin 8BDA  . 所以   7 14sin sin sin cos cos sin 32C BDA BDA BDA          . 【名师点睛】(1)应用余弦定理求三角形的边长,根据边的数量关系求 DC ; (2)由余弦定理,利用诱导公式及两角和或差的正弦公式,求角的正弦值即可. 6.在 ABC 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,已知 5, 2, 45b c B     . (1)求边 BC 的长和三角形 ABC 的面积; (2)在边 BC 上取一点 D,使得 4cos 5ADBÐ = ,求 tan DAC 的值. 【试题来源】广东省汕头市 2021 届高三一模 【答案】(1) 3BC  ; 3 2ABCS  ;(2) 2 11 . 【分析】(1)法一: ABC 中,由余弦定理求 BC 的长,应用三角形面积公式求 ABC 的 面积;法二:过 A 作出高交 BC 于 F ,在所得直角三角形中应用勾股定理求 ,BF FC ,即 可求 BC ,由三角形面积公式求 ABC 的面积;(2)由正弦定理、三角形的性质、同角三角 函 数 的 关 系 , 法 一 : 求 sinC 、 cosC 、 sin ADB 、 cos ADB , 由 sin sin( )DAC ADB C    结合两角差正弦公式求值即可;法二:求 tanC 、tan ADB , 再由 tan tan( ( ))DAC ADC C     结合两角和正切公式求值即可;法三:由(1) 法二所作的高,直角 △ AFD 中求sin ADB ,进而求sin ADC ,再根据正弦定理及同角 三角函数关系求值即可. 【解析】(1)法一:在 ABC 中,由 5, 2, 45b c B     , 由余弦定理, 2 2 2 2 cosb a c ac B   ,得 2 25 2 2 2 2a a      , 解得 3a  或 1a   (舍), 所以 3BC a  , 1 1 2 3sin 3 22 2 2 2ABCS ac B      . 法二:(1)过点 A 作出高交 BC 于 F ,即 ABF 为等腰直角三角形, 2AB Q , 1AF BF  ,同理 △ AFC 为直角三角形, 1, 5AF AC  , 2FC  ,故 3BC BF FC   , 1 3| | | |2 2ABCS BC AF   . (2)在 ABC 中,由正弦定理 sin sin b c B C  ,即 5 2 sin 45 sinC  ,得 5sin 5C  ,又 5 2b c   ,所以 C 为锐角, 法一:由上, 2 2 5cos 1 sin 5C C   , 由 4cos 5ADBÐ = ( ADB 为锐角),得 2 16 3sin 1 cos 1 25 5ADB ADB       , sin sin( )DAC ADB C    3 2 5 4 5 2 5sin cos cos sin 5 5 5 5 25ADB C ADB C             , 由图可知 DAC 为锐角,则 2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC     , 所以 sin 2tan cos 11 DACDAC DAC    . 法二:由上, 1tan 2C  ,由 4cos 5ADBÐ = ( ADB 为锐角), 得 3tan 4ADB  , ADB ADC     , 3tan 4ADC    ,故 tan tan( ( ))DAC ADC C     tan( ) tan( )tan( ) 1 tan( ) tan( ) ADC CADC C ADC C              3 1 24 2 3 1 111 4 2             . 法三: △ AFD 为直角三角形,且 4| | 1,cos 5AF ADB   , 所以 2 16 3sin 1 cos 1 25 5ADB ADB       , 5 4 2 3, cos , , sinsin 3 3 3 5 AFAD DF AD ADB CD ADCADB           , 在 ADC 中,由正弦定理得, sin sin CD AC DAC ADC   ,故 2 5sin 25DAC  , 由 图 可 知 DAC 为 锐 角 , 则 2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC     , 所 以 sin 2tan cos 11 DACDAC DAC    . 【名师点睛】(1)应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长,由三角形面积公式求面积; (2)综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值. 7.在 ABC 中, a ,b , c 分别为角 A , B , C 的对边,且 2 2 cosb c a C  . (1)求 A ; (2)若 ABC 的面积 4 3ABCS  ,求 a 的取值范围. 【试题来源】四川省遂宁等八市联考 2021 届高三第二次诊断考试 【答案】(1) π 3 ;(2) 4, . 【分析】(1)由条件和正弦定理化简得到 2cos sin sin 0A C C  ,求得 1cos 2A  ,即可 求解;(2)由(1)和三角形的面积公式,求得 16bc  ,结合余弦定理和基本不等式,即 可求解. 【解析】(1)因为 2 2 cosb c a C  , 由正弦定理得 2sin sin 2sin cosB C A C  , 又    sin sin π sinB A C A C     , 所以  2 sin cos cos sin sin 2sin cosA C A C C A C   , 所以 2cos sin sin 0A C C  , 因为 0 πC  ,所以sin 0C  ,所以 1cos 2A  , 因为  0,πA ,所以, π 3A  . (2)由(1)知 π 3A  , 所以 1 1 π 3sin sin 4 32 2 3 4ABCS bc A bc bc   △ ,所以 16bc  , 由余弦定理得 2 2 2 2 2 π2 cos 2 cos 3a b c bc A b c bc      2 2 2 16b c bc bc bc bc       , 当且仅当 4b c  时取等号,所以 2 16a  , 因为 0a  ,所以 a 的取值范围是 4, . 8.已知在 △ ABC 中, 3 sin(A+B)=1+2sin2 2 C . (1)求角 C 的大小; (2)若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ, △ ABC 的外接圆半径为 2,求 △ ABI 周长的 最大值. 【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三上学期期末考试 【答案】(1) 3  ;(2)4+2 3 . 【分析】(1)利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得 sin(C+ 6  )=1,再根据角的范 围可得解;(2)利用正弦定理求出 AB ,求出 AIB ,设出 ABI ,将 ,AI BI 用 ABI 表示, 根据三角函数知识求出 AI BI 的最大值可得解. 【解析】(1)因为 3 sin(A+B)=1+2sin2 2 C ,且 A+B+C=π, 所以 3 sinC=1+1﹣cosC=2﹣cosC,即 3 sinC+cosC=2,所以 sin(C+ 6  )=1. 因为 C∈(0,π),所以 C+ 6  ∈( 6  , 7 6  ),所以 C+ 6  = 2  ,即 C= 3  . (2)因为△ABC 的外接圆半径为 2, 所以由正弦定理知, sin AB ACB = sin 3 AB  =2×2=4,所以 AB= 2 3 , 因为∠ACB= 3  ,所以∠ABC+∠BAC= 2 3  , 因为∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ, 所以∠ABI+∠BAI= 3  ,所以∠AIB= 2 3  , 设∠ABI=θ,则∠BAI= 3  ﹣θ,且 0<θ< 3  , 在 △ ABI 中,由正弦定理得, sin( )3 BI   = sin AI  = sin AB AIB = 2 3 2sin 3  =4, 所以 BI=4sin( 3  ﹣θ),AI=4sinθ, 所以△ABI 的周长为 2 3 +4sin( 3  ﹣θ)+4sinθ=2 3 +4( 3 2 cosθ﹣ 1 2 sinθ)+4sinθ =2 3 +2 3 cosθ+2sinθ=4sin(θ+ 3  )+2 3 , 因为 0<θ< 3  ,所以 3  <θ+ 3  < 2 3  , 所以当θ+ 3  = 2  ,即 6   时, △ ABI 的周长取得最大值,最大值为 4+2 3 , 故 △ ABI 的周长的最大值为 4+2 3 . 【名师点睛】将 ,AI BI 用 ABI 表示,根据三角函数知识求出 AI BI 的最大值是解题关 键. 9 . ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c . 已 知    sin cos cos sinc A A a C C   . (1)记 AC 边上的高为 h ,求 b h ; (2)若 5c  , 1a  ,求b . 【试题来源】山西省临汾市 2021 届高三一模 【答案】(1)2;(2) 2b  ,或 2. 【分析】(1)由正弦定理化边为角后,应用两角和的正弦公式和诱导公式变形后再由正弦定 理化角为边,从而可得结论;(2)由(1)所得角的关系中用正弦定理化角为边求得sinC(用 b 表示),再用余弦定理求出 cosC ,然后由 2 2sin cos 1C C  可求得b 值. 【解析】(1)    sin cos cos sinc A A a C C   , 由正弦定理可得    sin sin cos sin cos sinC A A A C C   , 化为  2sin sin sin cos cos sin sin sinC A A C A C A C B     , 所以 2 sinc A b , 因为 sinh c A ,所以 2sin b b h c A   . (2)由(1)有 2sin sin sinC A B , 所以 2 sina C b ,即sin 2 2 b bC a   . 由余弦定理可得 2 2 2 2 cosc a b ab C   , 所以 25 1 2 cosb b C   ,可得 2 4cos 2 bC b  , 所以 22 22 2 4sin cos 12 2 b bC C b            , 化为 4 26 8 0b b   ,解得 2 2b  或 4,解得 2b  或 2. 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查两角和的正弦公式与诱导公式.解 三角形问题已知边角关系时常用利用正弦定理进行边角转换,然后由三角恒等变换公式变形 求解或由代数式运算求解. 10. ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 2sin sin 2sin cosA C B C  . (1)求 B 的大小; (2)若 3a  ,且 AC 边上的中线长为 19 2 ,求 ABC 的面积. 【试题来源】湖南省岳阳市 2021 届高三下学期高考一模 【答案】(1) 2 3B  ;(2)15 3 4 . 【 分 析 】( 1 ) 由 已 知 等 式 结 合 三 角 形 内 角 和 定 理 、 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得 2cos sin sin 0B C C  ,进而求得 cos B 的值,最后结合 B 的范围,可求出 B;(2)由(1) 知 2 2 2 2 3 9b a c ac c c      ,取 AC 的中点 D,连接 BD,在 CBD 和 ABC 中,利 用余弦定理可得 2 2 2 199 2 9 4 4 bb c         ,从而联立方程求出 c,最后由三角形面积公 式计算可得结果. 【解析】(1)因为 2sin sin 2sin cosA C B C  , 所以  2sin sin 2sin cosB C C B C   , 可得 2sin cos 2cos sin sin 2sin cosB C B C C B C   , 所以 2cos sin sin 0B C C  , 因为sin 0C  ,所以 2cos 1 0B   ,可得 1cos 2B   , 因为  0,B  ,所以 2 3B  ; (2)由 2 3B  ,可得 2 2 2 2 3 9b a c ac c c      ,① 在 ABC 中,取 AC 的中点 D,连接 BD, 因为 3a  , 19 2BD  ,所以在 CBD 中, 2 2 2 2 199 4 4cos 2 b BC CD BDC BC CD ab     , 在 ABC 中, 2 2 2 2 29cos 2 2 BC AC AB b cC BC AC ab      , 所以 2 2 2 199 2 9 4 4 bb c         ,② 把①代入②,化简可得 2 3 10 0c c   ,解得 5c  ,或 2c   (舍去), 所以 5c  ,所以 ABC 的面积 1 1 2 15 3sin 3 5 sin2 2 3 4S ac B       . 【名师点睛】对于第二问,先由余弦定理得出 2 2 2 2 3 9b a c ac c c      ,再分别在 CBD 和 ABC 中利用余弦定理计算可得 2 2 2 199 2 9 4 4 bb c         ,从而联立方程求 出 c,最后求出三角形的面积. 11 . 已 知 ABC 的 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c , 若 向 量  1, 2m a ,  ,cosn a B  ,且 m n  (1)求角 B (2)若 2 2, 2 3b a  ,求角 A 【试题来源】吉林省吉林市普通中学 2020-2021 学年高三第三次调研测试试试题 【答案】(1) = 4B  ;(2) = 3A  或 2 3  . 【分析】(1)由 m n  ,得到 2cos 2B  ,根据  0,B  ,求出 B 的值; (2)在 ABC 中,利用正弦定理求出 sin A ,根据 30, 4A     ,求出 A 的值. 【解析】(1)因为向量  1, 2m a ,  ,cosn a B  ,且 m n  , 所以 = 2 cos 0m n a a B     , 因为 0a  ,所以 2cos 2B  ,因为  0,B  ,所以 = 4B  . (2)在 ABC 中, = 4B  , 2 2, 2 3b a  ,由正弦定理得 sin sin a b A B  , 所以 sin 2 3 2 3sin = =2 22 2 a BA b   因为 π 4B  ,所以 30, 4A     ,所以 = 3A  或 2 3  . 12.在 ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,已知 2 sina b A . (1)求角 B 的大小; (2)若角 B 为钝角,且 2 7b  , 3a c ,求 c 和sin2C 的值. 【试题来源】天津市部分区 2021 届高三下学期质量调查(一) 【答案】(1) 6B  或 5 6B  (2) 2c  , 3 3sin 2 14C  【分析】(1)根据正弦定理边化角可得 1sin 2B  ,再根据 0 B   可求得结果; (2)根据余弦定理求出 2c  , 2 3a  ,cosC 3 21 14  ,根据同角公式求出 7sin 14C  , 再根据二倍角的正弦公式可求得结果. 【解析】(1)由 2 sina b A 以及正弦定理得sin 2sin sinA B A , 因为 0 A   ,所以sin 0A  ,所以 1sin 2B  , 因为 0 B   ,所以 6B  或 5 6B  . (2)因为角 B 为钝角,所以 5 6B  , 由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B    , 所以 2 2 2 328 3 2 3 ( )2c c c     , 所以 2 4c  ,所以 2c  , 2 3a  , 所以 2 2 2 12 28 4cos 2 2 2 3 2 7 a b cC ab        3 21 14  , 所以 2 3 21sin 1 14C       7 14  , 所以 7 3 21 3 3sin 2 2sin cos 2 14 14 14C C C     . 综上所述: 2c  , 3 3sin 2 14C  . 13. ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,且 a ,b , c 成等差数列. (1)若 3A  ,求 B ; (2)求 B 的取值范围. 【试题来源】湖南省衡阳市 2021 届高三下学期一模 【答案】(1) 3B  ;(2) 0 3B   . 【分析】(1)由等差数列得 2b a c  ,由正弦定理化边为角,利用 3A  得 2 3C B  , 代入可求得 B 角;(2)由余弦定理表示出 cos B ,代入 2 a cb  ,用基本不等式得 cos B 的 范围,从而得 B 角范围. 【解析】(1) a ,b , c 成等差数列,所以 2b a c  所以 2sin sin sinB A C  , 当 3A  时, 2sin sin sin3B C  ,即 22sin sin sin3 3B B       3 3 1cos sin2 2 2B B   , 3 1 1sin cos2 2 2B B  , 所以 1sin 6 2B      而 20 3B   ,所以 6 6 2B      , 所以 6 6B    ,所以 3B  (2)由余弦定理及 2b a c  , 2 2 2 3 1 12cos 2 8 4 2 a ca c c aB ac a c             ≥ , 当 a c 时取等号.结合余弦函数的单调性可知 0 3B   . 【名师点睛】本题考查用正弦定理进行边角转换,用余弦定理求得角的范围.解题时,由等 差数列得边的关系,在求角的问题中,利用正弦定理化边为角,然后利用三角函数恒等变换 公式变形求解.而在求范围时利用余弦定理求出 cos B ,代入已知条件化三元为二元,然后 由基本不等式得不等关系,从而可求范围. 14.已知 ABC 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 22 cos 2 cosa B b A c  . (1)求 c 的值; (2)若 3C  , 2 2a b  ,求 ABC 的面积. 【试题来源】安徽省合肥市 2021 届高三下学期第二次教学质量检测 【答案】(1)2;(2) 3 3 . 【分析】(1)由正弦定理化边为角后利用两角和的正弦公式和诱导公式可得 c ; (2)由余弦定理得出 ,a b 关系,结合已知可得 ab ,从而得三角形面积. 【解析】(1)因为 22 cos 2 cosa B b A c  , 所以由正弦定理得 2sin cos 2sin cos sinA B B A c C  , 即 2sin( ) 2sin sinA B C c C   , 又C 是三角形内角,sin 0C  ,所以 2c  ; (2)由余弦定理得 2 2 22 cosa b ab C c   , 即 2 2 4a b ab   , 2( ) 3 4a b ab   , 而 2 2a b  ,所以 4 3ab  , 1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3ABCS ab C     . 【名师点睛】本题考查正弦定理和余弦定理,考查三角形面积公式.在出现边角混合式子中 常常利用正弦定理进行边角转化,化边为角后利用三角恒等变换公式进行变形求得三角形的 元素,化角为边后可利用代数式恒等变换得出边的关系或值. 15 . 在 ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 sin sin sin sin b C a A b B c C   . (1)求 A ; (2)设 D 是线段 BC 的中点,若 2c  , 13AD  ,求 a . 【试题来源】天一大联考 2020-2021 学年高中毕业班阶段测试五 【答案】(1) 3  ;(2) 2 7 . 【分析】(1)正弦定理化角为边,然后由余弦定理可得 A 角; (2)用 ,AB AC   表示出中线向量 AD  ,平方后利用数量积运算求得b ,再由余弦定理求得 a . 【解析】(1)因为 sin sin sin sinb C a A b B c C   , 由正弦定理可得 2 2 2bc b c a   , 由余弦定理可得 2 2 2 2 cosbc b c a bc A    ,则 1cos 2A  . 又 (0, )A  , 3A  . (2)因为 D 是线段 BC 的中点,所以 1 ( )2AD AB AC    , 所以  2 22 21 1( ) 2 cos4 4AD AB AC AB AC AB AC BAC            , 将 AB c , AC b , 3BAC   代入整理得 2 2 48 0b b   , 解得 6b  ( 8b   舍去),由余弦定理得 2 2 2 2 cos 28a b c bc BAC     . 所以 2 7a  . 【名师点睛】本题考查正弦定理和余弦定理,考查平面向量的线性运算与数量积.在出现边 角混合关系时常常利用正弦定理进行边角互化,化边为角后利用三角恒等变换公式求得角, 或者化角为边后利用代数式运算求得边或用余弦定理求得角.有出现与中线有关的线段长时, 用向量表示中线然后转化为数量积的运算不失为一种好方法,可以避免作辅助线进行计算. 16.如图,在四边形 ABCD 中, //AB CD , 2 6AB  , 6CD  , 6cos 3A  , 1cos 3ADB  . (1)求 cos BDC ; (2)求 BC 的长. 【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三期中 【答案】(1) 6 9 ;(2) 11 . 【 分 析 】( 1 ) 计 算 出 sin A 、 sin ADB , 利 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 可 求 得 cos cosBDC ABD   的值;(2)在 ABD△ 中,利用正弦定理可求出 BD 的长,然后在 BCD△ 中利用余弦定理可求得 BC 的长. 【解析】(1)因为 6cos 3A  , 1cos 3ADB  ,则 A 、 ADB 均为锐角, 所以, 2 3sin 1 cos 3A A   , 2 2 2sin 1 cos 3ADB ADB     ,    cos cos cos sin sin cos cosABD A ADB A ADB A ADB A ADB            3 2 2 6 1 6 3 3 3 3 9      , //AB CDQ ,则 BDC ABD   ,因此, 6cos cos 9BDC ABD    ; (2)在 ABD△ 中,由正弦定理可得 sin sin AB BD ADB A  , 可得 32 6sin 3 3sin 2 2 3 AB ABD ADB     , 在 BCD△ 中,由余弦定理可得 2 2 2 62 cos 9 6 2 3 6 119BC BD CD BD CD BDC            , 因此, 11BC  . 17.如图,在平面四边形 ABCD 中, 1AD  , 7BD  , 2 3 πBAD  . (1)求边 AB 的长; (2)若 3CBD   , BC BD ,求 ABC 的面积. 【试题来源】安徽省示范高中皖北协作区 2021 届高三下学期第 23 届联考 【答案】(1) 2 ;(2) 3 3 2 . 【分析】(1)在 ABD△ 中,利用余弦定理可得关于 AB 的方程,进而可解得边 AB 的长; (2)分析出 BCD△ 为等边三角形,可得出 BC ,在 ABD△ 中,利用正弦定理求出 sin ABD ,进一步求出 cos ABD ,利用两角和的正弦公式求出sin ABC ,进而利用三 角形的面积公式可求得 ABC 的面积. 【解析】(1)在 ABD△ 中, 1AD  , 7BD  , 2 3 πBAD  , 由余弦定理得 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD BAD     , 即 2 17 1 2 2AB AB         ,即 2 6 0AB AB   , 0AB  ,解得 2AB  ; (2)在 ABD△ 中,由正弦定理得 1 7 2sin sin 3 ABD  ,解得 21sin 14ABD  . 因为 2 3 πBAD  ,所以 ABD 为锐角,所以 2 5 7cos 1 sin 14ABD ABD     , 因为 3CBD   , BC BD ,则 BCD△ 为等边三角形,则 7BC BD  , 所以sin sin sin cos cos sin3 3 3ABC ABD ABD ABD             3 5 7 1 21 3 21 2 14 2 14 14      , 所以 ABC 的面积为 1 1 3 21 3 3sin 2 72 2 14 2ABCS AB BC ABC       △ . 【名师点睛】已知三角形的两边及一角解三角形的方法: 先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解思路有两种: (1)利用余弦定理求出其它角; (2)利用正弦定理(已知两边和其中一边的对角)求解. 若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这个问题(在 0, 上, 余弦值所对的角是唯一的),故用余弦定理较好. 18. ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c .已知 ( 3 cos ) cos A c a C . (1)求 c b ; (2)若 cos 2 cA b  ,且 ABC 的面积为 9 11 4 ,求 a 及sin 2 3A       . 【试题来源】 2021 届高三下学期第四次月考 【答案】(1) 3 3 ;(2)3 3 , 11 5 3 12  . 【分析】(1)先根据正弦定理将原式化简,由此得到sin ,sinB C 的倍数关系,再结合正弦 定理即可得到 c b 的值;(2)先根据(1)的结果求解出 cos A的值,然后结合两角和的正弦 公式和二倍角公式求解出sin 2 3A       的值,再根据三角形的面积公式 1 sin2S bc A 求解 出 ,b c 的值,结合余弦定理可求解出 a 的值. 【解析】(1)因为 ( 3 cos ) cos A c a C , 所以由正弦定理可得 3sin cos sin sin cosC A C A C  , 即 3sin sin cos sin cos sin( )C C A A C A C    , 而    sin sin sinA C B B    ,所以 3c b ,故 3 3 c b  . (2)由(1)知 3cos 6A  ,则 33sin 6A  , 所以 2 2 3 33 11 33 3 5sin 2 2 ,cos26 6 6 6 6 6A A                      , 所以 1 3 1 11 3 5 11 5 3sin 2 sin 2 cos23 2 2 2 6 2 6 12A A A            ; 又 ABC 的面积为 21 11 9 11sin2 4 4S bc A c   ,则 3c  , 3 3b  , 由余弦定理得 2 2 2 32 cos 27 9 2 3 3 3 276a b c bc A          ,解得 3 3a  . 【名师点睛】利用正、余弦定理解三角形的注意事项: (1)注意隐含条件“ A B C    ”的使用; (2)利用正弦定理进行边角互化时,要注意结合条件判断将边转化为角的形式还是将角转 化为边的形式. 19.已知 a ,b , c 分别为 ABC 的内角 A , B ,C 的对边,  4 sin 8 sinb A b B  . (1)若 1a  , 30B   ,求 cos A; (2)已知 60C   ,求 ABC 的面积最大时的周长, 【试题来源】三省三校“3 3 3”2021 届高考备考诊断性联考卷(二) 【答案】(1) 3 7 8 ;(2)5 13 . 【分析】(1)根据  4 sin 8 sinb A b B  ,利用正弦定理得到  4 8ba b b  ,再结合 1a  求得 b,再利用正弦定理求得 sin A 即可; (2)由(1)知8 4a b  ,利用基本不等式求得 a,b,再利用余弦定理求得 c 即可. 【解析】(1)因为  4 sin 8 sinb A b B  , 由正弦定理得  4 8ba b b  ,即 4 8a b  , 因为 1a  ,所以 4b  . 由正弦定理 1 4 sin sin30A   ,解得 1sin 8A  , 又 a b ,所以 A B ,所以 0 30A   , 所以 2 3 7cos 1 sin 8A A   . (2)因为8 4 2 4 4a b ab ab    ,所以 4ab  , 所以 1 1 πsin 4 sin 32 2 3ABCS ab C    △ . 当且仅当 4a b ,即 1a  , 4b  时,等号成立. 此时 2 2 24 1 2 4 1 cos60 13c         ,即 13c  , 所以 ABC 的周长为5 13 . 【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理 都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理; 以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.解题中注意三角形内角和定理的应 用及角的范围限制. 20.在 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,且满足 cos 2 a cC b b   (1)求角 B ; (2)若 ABC 外接圆的半径为 3 ,且 AC 边上的中线长为 17 2 ,求 ABC 的面积 【试题来源】四省名校 2021 届高三第三次大联考 【答案】(1) 3  ;(2) 3 . 【分析】(1)利用正弦定理,结合两角和的正弦公式即可得解; (2)由正弦定理得 3b  ,利用 D 为中点,结合向量的加法法则得 2BD BA BC  uuur uur uuur ,从而 得到 2 217 c a ac   ,再结合余弦定理得 4ac  ,进而求得三角形面积. 【解析】(1)由 cos 2 a cC b b   ,得 2 cos 2b C a c  . 利用正弦定理得 2sin cos 2sin sinB C A C  , 即  2sin cos 2sin sinB C B C C   ,化简得 sin 2sin cosC C B .  0,C  , 0sinC  , 1cos 2B  . 又  0,B  , 3B   . (2)由正弦定理得 2 3 3sin b bB    . 设 D 为 AC 边上的中点,则 3 17,2 2AD BD  , 利用向量加法法则得 2BD BA BC  uuur uur uuur 两边平方得 2 2 2 4 2BD BA BC BA BC        ,即 2 217 c a ac   由余弦定理 2 2 2 2 cosb c a ac B   ,即 2 29 c a ac   , 两式相减得8 2ac ,即 4ac  . 由三角形面积公式得 1 sin 32ABCS ac B  .

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