3.比例的应用
第 1 课时 比例尺(1)
教学目标
1.结合具体情境,使学生理解比例尺的意义,掌握求比例尺的方法,掌握数
值比例尺与线段比例尺互相改写的方法。
2.使学生通过观察、猜测、推理、计算、绘图等活动,体验数学与生活的联
系,培养学生综合应用所学知识解决问题的能力。
3.使学生在观察、思考和交流等活动中培养分析、抽象、概括的能力,进一
步体会数学知识之间的联系,感受学习数学的乐趣,培养学生“学数学,用数学”
的意识和创新精神。
教学重难点
1.理解比例尺的意义。
2.数值比例尺与线段比例尺互相改写的方法。
教学过程
一、建构比例尺的概念,唤起已有知识的回忆
师:我们的教室长 8m,宽 6m。如果要把这么大的一个教室在纸上画出平面
图,你有什么好办法?
【学情预设】学生会说出,缩小后画在纸上。
师:是个好办法,请看这里有两个长方形(出示课件),请同学们仔细观察一
下,哪个长方形能正确地表示出这个教室的平面图?
【学情预设】预设 1:第一个是正确的,因为第一个长方形是把教室的长缩
小到原来的 1
100
,宽也缩小到原来的 1
100
。
预设 2:第二个是错误的,因为第二个长方形是把教室的长缩小到原来的
1
200
,宽缩小到原来的 1
400
,长、宽缩小的比例不一样。
师:谁还想来解释一下?
【学情预设】预设 1:第一个是正确的,它是按 1∶100 的比缩小的。
预设 2:第二个是不正确的,因为 4cm 与 8m 的比是 1∶200,而 1.5cm 与
6m 的比是 1∶400。
师:大家分析得很对!其实大家所说的 1∶100,1∶200,1∶400,这些我们都
叫做比例尺。在同一幅图中,用同一个比例尺,才能正确表示原来的形状。例如,
第一幅图长和宽都缩小到原来的 1
100
,也就是按 1∶100 的比缩小的,所以第一
个长方形表示教室的平面图是正确的。
师:这节课我们就来研究有关比例尺的知识。[板书课题:比例尺(1)]
【设计意图】学生在生活中对比例尺是有接触的,之前也学过比的知识,创
设将教室的平面图画在纸上的情境,贴近学生生活实际。要判断哪个长方形能准
确表示教室的平面图,学生会自主地将图上长度与实际长度比较,找到它们之间
的关系,写出图上长度与实际长度的比,由此很自然地引出课题。
二、联系旧知识,理解比例尺的意义
1.理解图上距离、实际距离、比例尺的意义。
师:我们把画在图上的长度比如 8cm、6cm 叫做图上距离,把教室实际的长
度 8m、6m 叫做实际距离。数学上把图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比
例尺。1∶100 就是教室平面图的比例尺。(板书:图上距离∶实际距离=比例尺 或
图上距离
实际距离 =比例尺)
2.根据比例尺说意义。
师:根据 1∶100 这个比例尺,你能说说图上距离与实际距离的倍数关系吗?
【学情预设】图上距离是实际距离的 1
100
,实际距离是图上距离的 100 倍,
图上距离 1cm 表示实际距离 100cm,也就是 1m。
师:如果一幅地图的比例尺是 1∶100000000,你能说出这个比例尺的含义
吗?
【学情预设】图上距离是实际距离的 1
100000000
,实际距离是图上距离的
100000000 倍,图上距离 1cm 表示实际距离 100000000cm,也就是 1000km。(重
点让学生说说 100000000cm 是怎样换算成 1000km 的,掌握 1km=100000cm 的进
率。)
三、数值比例尺和线段比例尺
1.认识数值比例尺和线段比例尺。
师:像 1∶100000000 这样的比例尺,通常叫做数值比例尺。(板书)
师:有一幅北京地图的比例尺是这样表示的。(教师在黑板上画出 )
这种叫做线段比例尺。线段比例尺的一小段是 1cm。谁能说说这个线段比例尺的
含义吗?
【学情预设】图上距离 1cm 表示实际距离 50km。
师:线段比例尺通常不止画一段,可能会这样表示。(教师边说边在黑板上
画)谁再来说说这个线段比例尺表示的含义呢?
【学情预设】预设 1:图上距离 1cm 表示实际距离 150km。
预设 2:图上距离 1cm 表示实际距离 100km。
预设 3:图上距离 1cm 表示实际距离 50km。
师:哪一位同学说得对呢?
【学情预设】指导学生明确线段比例尺有多段时,通常只看第一段,也就是
图上距离 1cm 表示实际距离 50km;如果看两段,那就是图上距离 2cm 表示实际
距离 100km;如果看三段,就是图上距离 3cm 表示实际距离 150km。
2.数值比例尺和线段比例尺的改写。
(1)把数值比例尺改写成线段比例尺。
师:你能将数值比例尺 1∶100000000 改写成线段比例尺吗?
学生自主改写,集体订正后教师指导、规范格式。
【学情预设】学生可能出现的问题:将厘米换算成千米,进率出错;画线段
比例尺时,每段长 1cm,学生画得不规范;有的学生画了几段,数据标错了。
师:(一边画一边说)画一条 1cm 长的线段,第一个端点上标 0,第二个端点
上标 1000km。如果多画几段,在 1cm 处标 1000,在 2cm 处标 2000……在最后
一段的数据中写上单位。
师:将数值比例尺 1∶20000000 改写成线段比例尺。
学生完成后集体订正。
(2)把线段比例尺改写成数值比例尺。
师:你能把这个线段比例尺改写成数值比例尺吗?自己动手试试吧!
【学情预设】预设 1:1∶50。
预设 2:1∶50000。
预设 3:1∶5000000。
师:说说你们是怎么想的。哪一个答案是正确的呢?
【学情预设】预设 1:我认为 1∶50 这个比例尺是错误的,因为它表示图上
距离 1cm 相当于实际距离 50cm,不是 50km。(教师追问:你知道他是怎么错的
吗?引导学生说出没有统一单位。)
预设 2:我认为 1∶50000 这个比例尺也是错误的,因为它表示图上距离 1 cm
相当于实际距离 50000 cm,也就是 500 m,不是 50 km。(教师追问:你知
道他是怎么错的吗?引导学生说出单位换算错了。)
预设 3:我认为 1∶5000000 这个比例尺是正确的,因为它表示图上距离 1cm
相当于实际距离 5000000cm,5000000cm 去掉 5 个 0 就换算成了 50km。
师:同学们真会思考!能从检验的角度来证明哪一个数值比例尺改写得是正
确的。最后一名同学还给我们分享了一个把厘米换算成千米的好办法,就是在数
的末尾去掉 5 个 0。那大家想一想,如果我们要把千米换算成厘米,方法是怎样
的呢?(学生齐声回答:在数的末尾添上 5 个 0。)
教师板书规范的改写过程:1cm∶50km
=1cm∶5000000cm
=1∶5000000
师:想一想:比例尺 1∶5000000 表示图上距离是实际距离的几分之几?实
际距离是图上距离的多少倍?
【学情预设】比例尺 1∶5000000 表示图上距离是实际距离的 1
5000000
,实
际距离是图上距离的 5000000 倍。
师:把线段比例尺 改写成数值比例尺。
学生完成后集体订正,注意格式的指导。
师:改写比例尺要注意什么?
【学情预设】学生会说出:要看清楚比例尺的意思,明白图上距离 1cm 表
示实际距离是多少;将线段比例尺改写成数值比例尺时要注意统一单位;要注意
千米与厘米的换算进率等。教师及时进行鼓励评价。
【设计意图】数值比例尺与线段比例尺的改写是建立在学生对比例尺的概念的理
解之上,首先要理解比例尺表示的含义,让学生对不同形式的比例尺加以理解,
在灵活改写的过程中全面理解概念。
四、学习放大比例尺,深化比例尺的内涵
1.观察对比。
师:观察这些比例尺(手指着黑板),它们有什么共同的特点?
【学情预设】预设 1:比例尺就是一个比,是图上距离与实际距离的比。
预设 2:比例尺的前项都是 1。
2.创设情境,深入探究。
师:有一幅零件图纸的比例尺是 2∶1,你知道它表示什么吗?
学生独立思考并发言。
【学情预设】预设 1:这个比例尺表示图上距离 1cm 相当于实际距离 2cm。
预设 2:这个比例尺表示图上距离 2cm 相当于实际距离 1cm。
师:他们谁说得对?
【学情预设】指导学生从比例尺的意义来理解,比例尺前项是图上距离,后
项是实际距离,所以 2∶1 这个比例尺表示图上距离 2cm 相当于实际距离 1cm。
3.比较放大比例尺与缩小比例尺。
师:刚才大家说比例尺的前项都是 1,而这个比例尺的后项是 1,你知道它
们的区别吗?
【学情预设】指导学生说出前项是 1 的比例尺是缩小比例尺,后项是 1 的比
例尺是放大比例尺。(板书:缩小比例尺 放大比例尺)
师:同学们再说说比例尺 5∶1、20∶1 的含义。
学生交流,集体评价。
师小结:为了计算方便,一般把比例尺写成前项或后项是 1 的形式。
【设计意图】出示放大比例尺,引起学生认知冲突,引导学生紧紧抓住比例
尺的定义来解释后项为 1 的比例尺的含义。比较缩小、放大比例尺,让学生从多
个角度来思考比例尺的意义。
五、求比例尺
1.课件出示教科书 P53 例 1。
师:你能根据刚才所学的知识自主解决吗?试试吧!
因为图上距离∶实际距离=比例尺,120km=12000000cm,2.4∶12000000=1∶
5000000,即这幅地图的比例尺是 1∶5000000。
2.课件出示教科书 P53“做一做”。
【学情预设】预设 1:5mm∶2cm=5mm∶20mm=1∶4。
预设 2:2cm∶5mm=20mm∶5mm=4∶1。
指导学生辨析、明确求比例尺的方法是图上距离∶实际距离,所以第二种答
案是对的。
【设计意图】这部分的教学是练习求一幅图的比例尺,设计了放大比例尺和
缩小比例尺两种情况,让学生理解求比例尺的一般方法。
六、巩固练习,综合应用
学生独立解答教科书 P56“练习十”第 1~4 题。
解答完毕后,集中展示交流,订正。
【学情预设】第 1 题:这道题是将数值比例尺改写成线段比例尺,比例尺 1∶
30000000 表示的是 1cm 的图上距离相当于 30000000cm 的实际距离,而线段比
例尺是用 1cm 的线段表示出实际距离为多长,一般用 300km 表示,更显得简洁。
如果学生在线段比例尺上用 30000000cm、300000m 表示实际长度,从理论上讲
都是可行的,但要注意优化。
第 2 题:这道题已知图上距离和实际距离,求比例尺,根据比例尺的意义,
把 4cm∶4m 统一单位后化简就可以了,学生应感到比较轻松。
第 3 题:这道题是已知实际距离,要求学生自己量出图上距离,再求出比例
尺,还要将算出来的数值比例尺转化为线段比例尺。团结路在图上的长度约是
6cm,这幅图的比例尺为 1∶300000。线段比例尺为 。
第 4 题:要注意图上距离大于实际距离,求比例尺的方法仍然是图上距离∶
实际距离,得到的是一个后项为 1 的比例尺 6∶1。七、课堂小结
师:回顾今天的学习过程,你们有什么收获呢?你能说说比例尺的特点吗?
(课件出示比例尺的特点)
板书设计
教学反思
本节课把关注点聚焦到图上距离和实际距离的关系表示方法上,学生借助比
较、讨论、交流等自主学习形式,探索发现比例尺的意义和表示方法。呈现地图
和零件图纸中的比例尺,借助生活中真实情境,深化了对比例尺意义的理解。最
后练习环节也借助房屋平面图、七星瓢虫等问题巩固本节课所学内容。本节课内
容比较多,学生可能会有混淆,数值比例尺与线段比例尺的改写以及求放大比例
尺时出错较多,教师要注意抓住细节指导。