一次函数背景下的三角形面积问题（2）
教学目标：
1、 能利用割补法、等积法求一次函数背景下的三角形面积；
2、 通过对已知图形面积求函数解析式问题的探究，从等积变形的关系中进
一步体会数形结合思想和化归思想；
3、 在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的意
见，并尊重与理解其他人的见解，能从交流中获益。
教学重点：能利用割补法、等积法求一次函数背景下的三角形面积；
教学难点：通过对已知图形面积求函数解析式问题的探究，从等积变形的关
系中进一步体会数形结合思想和化归思想；
教材分析：
本节既是在一次函数图像、性质的基础之上对平面直角坐标系内三角形
面积的进一步研究，又是前面所学知识的深化和应用，还为研究二次函数中
三角形面积或四边形面积奠定了基础。一次函数背景下的三角形面积问题，
主要分为求图形面积和已知面积求点坐标或直线解析式。其实这两类题目是
相通的，都是要我们找出所求面积的表达式。这类题目的解答方法比较灵活，
常用方法包括公式法、割补法、等积法等。一般来说一道题都有多种方法，
就看哪一种方法计算简便。
学情分析：
在本节课学习之前，学生已较好地掌握了一次函数的定义，一次函数的
图像和性质以及解决简单的函数面积的相关内容，但对求平面直角坐标系中
任意三角形面积的方法还没有灵活掌握，且方法单一。因此本节课中教师适
当地引导之后，让学生合作交流，自主探索获得与一次函数相关的三角形面
积的多种解法。此外，学生还能获得求平面直角坐标系内任意三角形的面积
的通用方法。
教学过程
(一）课前练习，引入新课
（1） 已知点 A（3，5），B（4，0），C（-2，0）求△ABC 的面积
（2） 已知点 A（0，5），B（0，-1），C（-4，-3）求△ABC 的面积
（3） 已知点 A（3，0），B（0，2），C（5，3）求△ABC 的面积
（4） 已知点 A（-2，1），B（1，-3），C（3，4）求△ABC 的面积
总结：求一次函数背景下的三角形面积方法
（二）引导探究，分析归纳
1、“分割法”求面积：
①过点 C 作铅垂线，交 AB 于点 D，
S∆ABC = S∆ADC + S∆BDC
= 1
2 CD ∙ AE + 1
2 CD ∙ BF
=
1
2 CD ∙ AE + BF
=
1
2 CD ∙ MN
S∆ABC =
1
2 CD ∙ xB − xA
②过点 A 添水平线交 BC 于点 D
S∆ABC = 1
2 AD ∙ MN = 1
2 AD ∙ yC − yB
2、平行线转移面积法
（月考第 25 题）：如图，在平面直角坐标系
xOy
中，直线 AB：
y = kx
﹣
2
与 y
轴相交于点 A，与反比例函数
y =
在第一象限内的图像相交于点
B
（
m
，
2
）．
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）将直线 AB 向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点 C，且△ABC
的面积为 18，求平移后的直线的表达式．
总结：平行法求三角形面积:
S∆ABC = S∆ABD若
AD
∥
BC
则
S∆ABC = S∆DBC S∆BAD = S∆CAD
S∆ABE = S∆DEC
（三）变式探究，巩固提升
例 1：如图，直线
y =−
3
3 x + 1
与 x 轴、y 轴
分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一
象限内作等腰直角
∆ABC
，∠
BAC = 90
°，如
果在第二象限内有一点 P
a,
1
2
，且
∆ABP
的面
积与
∆ABC
的面积相等，求 a 的值。
【分析】
1、根据已知条件，容易求出
∆ABC
的面积
S∆ABC
=2，那么题目就变成了在直
线
y =
1
2
上找一点 P，使得
∆ABP
的面积
S∆ABP = 22、解法一：补形法 1
过点 P 作 PH⊥x 轴,交 x 轴于点 H，
则
S∆ABP = SOBPH + S∆AOB − S∆PAH
解法二：补形法 2
由于
∆ABP
三边与 x 轴或 y 轴都不平行，无法直接求得
面积表达式，因此采取割补法，连接 PO，如图：则：
S∆ABP = S∆AOB + S∆OBP − S∆AOP
解法三：分割法
如图：做 PQ 平行于 x 轴，交 AB 于点 Q，则有
S∆ABP =
1
2 PQ
×
OB
，可得 PQ=4
将 y=1 代入 AB 所在直线的解析式，得到 Q 点坐
标，然后此题得解。
解法四：等积法
过点 P 作 PD∥AB，交 y 轴于点 D，
则
S∆ABP = S∆ABD
，根据已知，可得
S∆ABD = 2
算出 D 点坐标。根据 PD∥AB，求出直线
PD 的解析式，将 y=
1
2
代入 PD 所在直线的解析式，
得到 a 的值。
（四）小组探究，深化迁移
例 2：如图，
∆AOB
为等边三角形，点 B 的坐标为（2，0），过点 C（-2，0）作
直线 l 交 AO 于 D，交 AB 于 E，且使
∆ADE
与
∆DCO
的面积相等，求直线 l 的解析
式。
解法一：
由ΔADE 与ΔODC 面积相等，易得直线 OE
平行于直线 CA。据此可以得到直线 OE 的解
析式，与直线 AB 的解析式连立可得 E 点坐
标，此题得解。
解法二：
如图，由ΔADE 和ΔDCO 的面积相等得到
ΔBCE 和ΔABO 的面积相等，又因为 BC
＝2BO，故有 AG＝2EF，可得 E 点坐标。
【小结】通过以上两个例题可以看出，
一次函数面积题的解题方法是非常灵活的，因此对于此类题目，我们不要急
于列解析式求解，而应该通过观察和分析，采用割补、替换或者转换等方法，
将已知的面积关系转化为点的位置关系或线段的长度关系，然后找到适合的
简便解法。
数学模型：如图，若有ΔABE 和ΔDEC 面积相等，则ΔABC 和ΔDBC 面积相等。
又因为两个三角形有一个公共底边 BC，故两条高相等，因此，必有 AD∥BC。
（五）课堂小结：
回顾本节课解决的主要数学问题及思考方法，你有哪些收获？
师生活动：教师引导总结，学生回答，自我反思
在坐标系中，规则和不规则图形面积所用的方法：公式法，割补法，等积法的使
用。
（六）布置作业：作业卷
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