专题11 三角形综合问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)
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专题11 三角形综合问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)

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资料简介
【课标解读】 三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查,特别是等腰三角形、等边三角形、直 角三角形等特殊三角形的性质应用,及其与三角形相关的知识点之间的综合考查。 【解题策略】 从具体问题入手→探索三角形知识点→综合各点联系→综合把握各个知识点之间的内在关系→综合应 用并解决问题 【考点深剖】 ★考点一 关于图形全等的综合问题 本类题大都含有基本图形“燕子图”,在条件给足的背景下,两个三角形是全等的,从图形变换条件,两 个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称. 归纳几何基本图形,然后对基本图形进行变式与拓展,是学习几何图形相关知识的重要手段.如: ①旋转模型 ②三垂直模型,,③一线三等角模型,,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形,不全等,即 “SSA”得不到两个三角形全等. 【典例 1】如图 1 所示,A、E、F、C 在同一直线上,AF=CE,过 E、F 分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,若 AB=CD. (1)试说明 ME=MF; (2)若将 E、F 两点移至如图 2 中的位置,其余条件不变,上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【分析】(1)由 DE⊥AC,BF⊥AC 得到∠AFB=90°,∠DEC=90°,可根据“HL”证明 Rt △ ABF≌Rt △ CDE, 则 BF=DE,然后根据“ASA”可证明 △ BFM≌△DEM,根据全等的性质即可得到 ME=MF; (2)上述结论仍然成立.证明的方法与(1)一样. ∵在 △ BFM 和 △ DEM 中,       DEBF DEMBFM DMEBMF , ∴△BFM≌△DEM(AAS), ∴ME=MF; (2)解:上述结论仍然成立.理由如下: 与(1)一样可证得 Rt △ ABF≌Rt △ CDE 得到 BF=DE, 与(2)一样可证得 △ BFM≌△DEM, 所以 ME=MF. ★考点二 关于图形变换的综合问题 【典例 2】(2018·湖北江汉·10 分)问题:如图①,在 Rt △ ABC 中,AB=AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B, C 重合),将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE,连接 EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系 式为 BC=DC+EC ; 探索:如图②,在 Rt △ ABC 与 Rt △ ADE 中,AB=AC,AD=AE,将 △ ADE 绕点 A 旋转,使点 D 落在 BC 边 上,试探索线段 AD,BD,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论; 应用:如图③,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若 BD=9,CD=3,求 AD 的长. 【分析】(1)证明 △ BAD≌△CAE,根据全等三角形的性质解答; (2)连接 CE,根据全等三角形的性质得到 BD=CE,∠ACE=∠B,得到∠DCE=90°,根据勾股定理计算即 可; (3)作 AE⊥AD,使 AE=AD,连接 CE,DE,证明 △ BAD≌△CAE,得到 BD=CE=9,根据勾股定理计算 即可. (2)BD2+CD2=2AD2, 理由如下:连接 CE, 由(1)得, △ BAD≌△CAE, ∴BD=CE,∠ACE=∠B, ∴∠DCE=90°, ∴CE2+CD2=ED2, 在 Rt △ ADE 中,AD2+AE2=ED2,又 AD=AE, ∴BD2+CD2=2AD2; (3)作 AE⊥AD,使 AE=AD,连接 CE,DE, ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAD′, 在 △ BAD 与 △ CAE 中, , ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE=9, ∵∠ADC=45°,∠EDA=45°, ∴∠EDC=90°, ∴DE= =6 , ∵∠DAE=90°, ∴AD=AE= DE=6.学科&网 ★考点三 关于条件探究的综合问题 【典例 3】如图 22-2,下列条件中,不能证明 △ ABD≌△ACD 的是 ( ) A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=CD C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC ★考点四 关于结论探究的综合条件 思维定式是条件改变,结论必须改变,但有些条件改变了,但全等的关系仍然存在,导致结论不变.1.全 等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法.2.变化题目中某些条件,结论是否成立,关键是得到结 论的核心是否仍然存在,比如:两个三角形是否仍然全等或相似. 【典例 4】(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 是 BC 的中点,若 AE 是∠BAD 的平分线,试探究 AB,AD,DC 之间的等量关系,证明你的结论; (2)如图 2,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AF 与 DC 的延长线交于点 F,E 是 BC 的中点,若 AE 是∠BAF 的平分线,试探究 AB,AF,CF 之间的等量关系,证明你的结论. (2)AB=AC+CF. 证明:延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. ∵E 是 BC 的中点,∴CE=BE. ∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G. ∵∠AEB=∠GEC,∴△AEB≌△GEC. ∴AB=GC. ∵AE 是∠BAF 的平分线,∴∠BAG=∠FAG. ∵AB∥CD,∴∠BAG=∠G. ∴∠FAG=∠G.∴FA=FG. ∴AB=CG=AF+CF. ★考点五 关于图形相似的综合问题 【典例 5】(2018•岳阳)已知在 Rt △ ABC 中,∠BAC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,将∠ACB 沿 CD 所在 的直线对折,使点 B 落在点 B′处,连结 AB',BB',延长 CD 交 BB'于点 E,设∠ABC=2α(0°<α<45°). (1)如图 1,若 AB=AC,求证:CD=2BE; (2)如图 2,若 AB≠AC,试求 CD 与 BE 的数量关系(用含α的式子表示); (3)如图 3,将(2)中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角(α+45°),得到线段 FC,连结 EF 交 BC 于点 O, 设 △ COE 的面积为 S1, △ COF 的面积为 S2,求 (用含α的式子表示). 【解答】解:(1)如图 1 中, ∵B、B′关于 EC 对称, ∴BB′⊥EC,BE=EB′, ∴∠DEB=∠DAC=90°, ∵∠EDB=∠ADC, ∴∠DBE=∠ACD, ∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°, ∴△BAB′≌CAD, ∴CD=BB′=2BE. (2)如图 2 中,结论:CD=2•BE•tan2α. (3)如图 3 中, 在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°﹣2α, ∵EC 平分∠ACB, ∴∠ECB= (90°﹣2α)=45°﹣α, ∵∠BCF=45°+α, ∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°, ∴∠BEC+∠ECF=180°, ∴BB′∥CF, ∴ = = =sin(45°﹣α), ∵ = , ∴ =sin(45°﹣α).学科&网 【讲透练活】 变式 1:(2018·河北 T23·9 分)如图,∠A=∠B=50°,P 为 AB 中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的 任意一点,连接 AP,并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N,设∠BPN=α. (1)求证: △ APM≌△BPN; (2)当 MN=2BN 时,求α的度数; (3)若 △ BPN 的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围. 变式 2: 已知:∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分别为 D,E. (1)如图 1,①线段 CD 和 BE 的数量关系是 CD=BE; ②请写出线段 AD,BE,DE 之间的数量关系并证明; (2)如图 2,上述结论②还成立吗?如果不成立,请直接写出线段 AD,BE,DE 之间的数量关系. (2)②中的结论不成立.结论:DE=AD+BE.理由: ∵AD⊥CM,BE⊥CM, ∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°. ∴∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°. ∴∠ACD=∠B. ∵AC=CB, ∴△ACD≌△CBE(AAS). ∴AD=CE,CD=BE. ∵DE=CD+CE=BE+AD, ∴DE=AD+BE. 变式 3:(2018•莱芜•9 分)已知 △ ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D.E 分别是 AB.AC 的中点,将 △ ADE 绕 点 A 按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到 △ AD'E′,连接 BD′、CE′,如图 1. (1)求证:BD′=CE'; (2)如图 2,当α=60°时,设 AB 与 D′E′交于点 F,求 的值. 【解答】解:(1)证明:∵AB=AC,D.E 分别是 AB.AC 的中点, ∴AD=BD=AE=EC. 由旋转的性质可知:∠DAD′=∠EAE′=α,AD′=AD,AE′=AE. ∴AD′=AE′, ∴△BD′A≌△CE′A, ∴BD′=CE′. (2)连接 DD′. ∵∠DAD′=60°,AD=AD′, ∴△ADD′是等边三角形. ∴∠ADD′=∠AD′D=60°,DD′=DA=DB. ∴∠DBD′=∠DD′B=30°, ∴∠BD′A=90°. ∵∠D′AE′=90°, ∴∠BAE′=30°, ∴∠BAE′=∠ABD′, 又∵∠BFD′=∠AFE′, ∴△BFD′∽△AFE′, ∴ . ∵在 Rt △ ABD′中,tan∠BAD′= = , ∴ = .学科&网 变式 4:(2017•乐山)在四边形 ABCD 中,∠B+∠D=180°,对角线 AC 平分∠BAD. (1)如图 1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由. (2)如图 2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)如图 3,若∠DAB=90°,探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由. 【解答】解:(1)AC=AD+AB. 理由如下:如图 1 中, 在四边形 ABCD 中,∠D+∠B=180°,∠B=90°, ∴∠D=90°, ∵∠DAB=120°,AC 平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC=60°, ∵∠B=90°, ∴ ,同理 . ∴AC=AD+AB. (2)(1)中的结论成立,理由如下:以 C 为顶点,AC 为一边作∠ACE=60°,∠ACE 的另一边交 AB 延长 线于点 E, (3)结论: .理由如下: 过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延长线于点 E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°, 变式 5:(2018•广东)已知 Rt △ OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边 OB=4,将 Rt △ OAB 绕点 O 顺时针 旋转 60°,如题图 1,连接 BC. (1)填空:∠OBC= °; (2)如图 1,连接 AC,作 OP⊥AC,垂足为 P,求 OP 的长度; (3)如图 2,点 M,N 同时从点 O 出发,在 △ OCB 边上运动,M 沿 O→C→B 路径匀速运动,N 沿 O→B→C 路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒,点 N 的运动速度为 1 单位/ 秒,设运动时间为 x 秒, △ OMN 的面积为 y,求当 x 为何值时 y 取得最大值?最大值为多少? 【解答】解:(1)由旋转性质可知:OB=OC,∠BOC=60°, ∴△OBC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°. 故答案为 60. (2)如图 1 中, ∵OB=4,∠ABO=30°, ∴OA= OB=2,AB= OA=2 , ∴S △ AOC= •OA•AB= ×2×2 =2 , ∵△BOC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°, ∴AC= =2 , ∴OP= = = . (3)①当 0<x≤ 时,M 在 OC 上运动,N 在 OB 上运动,此时过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E. 则 NE=ON•sin60°= x, ②当 <x≤4 时,M 在 BC 上运动,N 在 OB 上运动. 作 MH⊥OB 于 H.则 BM=8﹣1.5x,MH=BM•sin60°= (8﹣1.5x), ∴y= ×ON×MH=﹣ x2+2 x. 当 x= 时,y 取最大值,y< , ③当 4<x≤4.8 时,M、N 都在 BC 上运动,作 OG⊥BC 于 G. MN=12﹣2.5x,OG=AB=2 , ∴y= •MN•OG=12 ﹣ x, 当 x=4 时,y 有最大值,最大值=2 , 综上所述,y 有最大值,最大值为 . 变式 6:(2017 浙江义乌)已知 △ ABC,AB=AC,D 为直线 BC 上一点,E 为直线 AC 上一点,AD=AE,设 ∠BAD=α,∠CDE=β. (1)如图,若点 D 在线段 BC 上,点 E 在线段 AC 上. ①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α= °,β= °,②求α,β之间的关系式. (2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存 在,说明理由. 【考点】KY:三角形综合题. 【解答】解:(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°, ∴∠BAC=60°, ∵AD=AE,∠ADE=70°, ∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°, ∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°, ∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°, ∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°, 故答案为:20,10; ②设∠ABC=x,∠AED=y, ∴∠ACB=x,∠AED=y, 在 △ DEC 中,y=β+x, 在 △ ABD 中,α+x=y+β=β+x+β, ∴α=2β;

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