【课标解读】
三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查,特别是等腰三角形、等边三角形、直
角三角形等特殊三角形的性质应用,及其与三角形相关的知识点之间的综合考查。
【解题策略】
从具体问题入手→探索三角形知识点→综合各点联系→综合把握各个知识点之间的内在关系→综合应
用并解决问题
【考点深剖】
★考点一 关于图形全等的综合问题
本类题大都含有基本图形“燕子图”,在条件给足的背景下,两个三角形是全等的,从图形变换条件,两
个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称.
归纳几何基本图形,然后对基本图形进行变式与拓展,是学习几何图形相关知识的重要手段.如:
①旋转模型
②三垂直模型,,③一线三等角模型,,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形,不全等,即
“SSA”得不到两个三角形全等.
【典例 1】如图 1 所示,A、E、F、C 在同一直线上,AF=CE,过 E、F 分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,若 AB=CD.
(1)试说明 ME=MF;
(2)若将 E、F 两点移至如图 2 中的位置,其余条件不变,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【分析】(1)由 DE⊥AC,BF⊥AC 得到∠AFB=90°,∠DEC=90°,可根据“HL”证明 Rt
△
ABF≌Rt
△
CDE,
则 BF=DE,然后根据“ASA”可证明
△
BFM≌△DEM,根据全等的性质即可得到 ME=MF;
(2)上述结论仍然成立.证明的方法与(1)一样.
∵在
△
BFM 和
△
DEM 中,
DEBF
DEMBFM
DMEBMF
,
∴△BFM≌△DEM(AAS),
∴ME=MF;
(2)解:上述结论仍然成立.理由如下:
与(1)一样可证得 Rt
△
ABF≌Rt
△
CDE 得到 BF=DE,
与(2)一样可证得
△
BFM≌△DEM,
所以 ME=MF.
★考点二 关于图形变换的综合问题
【典例 2】(2018·湖北江汉·10 分)问题:如图①,在 Rt
△
ABC 中,AB=AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B,
C 重合),将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE,连接 EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系
式为 BC=DC+EC ;
探索:如图②,在 Rt
△
ABC 与 Rt
△
ADE 中,AB=AC,AD=AE,将
△
ADE 绕点 A 旋转,使点 D 落在 BC 边
上,试探索线段 AD,BD,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;
应用:如图③,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若 BD=9,CD=3,求 AD 的长.
【分析】(1)证明
△
BAD≌△CAE,根据全等三角形的性质解答;
(2)连接 CE,根据全等三角形的性质得到 BD=CE,∠ACE=∠B,得到∠DCE=90°,根据勾股定理计算即
可;
(3)作 AE⊥AD,使 AE=AD,连接 CE,DE,证明
△
BAD≌△CAE,得到 BD=CE=9,根据勾股定理计算
即可.
(2)BD2+CD2=2AD2,
理由如下:连接 CE,
由(1)得,
△
BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,
∴∠DCE=90°,
∴CE2+CD2=ED2,
在 Rt
△
ADE 中,AD2+AE2=ED2,又 AD=AE,
∴BD2+CD2=2AD2;
(3)作 AE⊥AD,使 AE=AD,连接 CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAD′,
在
△
BAD 与
△
CAE 中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE=9,
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE= =6 ,
∵∠DAE=90°,
∴AD=AE= DE=6.学科&网
★考点三 关于条件探究的综合问题
【典例 3】如图 22-2,下列条件中,不能证明
△
ABD≌△ACD 的是 ( )
A.BD=DC,AB=AC
B.∠ADB=∠ADC,BD=CD
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C,BD=DC
★考点四 关于结论探究的综合条件
思维定式是条件改变,结论必须改变,但有些条件改变了,但全等的关系仍然存在,导致结论不变.1.全
等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法.2.变化题目中某些条件,结论是否成立,关键是得到结
论的核心是否仍然存在,比如:两个三角形是否仍然全等或相似.
【典例 4】(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 是 BC 的中点,若 AE 是∠BAD 的平分线,试探究
AB,AD,DC 之间的等量关系,证明你的结论;
(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AF 与 DC 的延长线交于点 F,E 是 BC 的中点,若 AE 是∠BAF
的平分线,试探究 AB,AF,CF 之间的等量关系,证明你的结论.
(2)AB=AC+CF.
证明:延长 AE 交 DF 的延长线于点 G.
∵E 是 BC 的中点,∴CE=BE.
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G.
∵∠AEB=∠GEC,∴△AEB≌△GEC.
∴AB=GC.
∵AE 是∠BAF 的平分线,∴∠BAG=∠FAG.
∵AB∥CD,∴∠BAG=∠G.
∴∠FAG=∠G.∴FA=FG.
∴AB=CG=AF+CF.
★考点五 关于图形相似的综合问题
【典例 5】(2018•岳阳)已知在 Rt
△
ABC 中,∠BAC=90°,CD 为∠ACB 的平分线,将∠ACB 沿 CD 所在
的直线对折,使点 B 落在点 B′处,连结 AB',BB',延长 CD 交 BB'于点 E,设∠ABC=2α(0°<α<45°).
(1)如图 1,若 AB=AC,求证:CD=2BE;
(2)如图 2,若 AB≠AC,试求 CD 与 BE 的数量关系(用含α的式子表示);
(3)如图 3,将(2)中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角(α+45°),得到线段 FC,连结 EF 交 BC 于点 O,
设
△
COE 的面积为 S1,
△
COF 的面积为 S2,求 (用含α的式子表示).
【解答】解:(1)如图 1 中,
∵B、B′关于 EC 对称,
∴BB′⊥EC,BE=EB′,
∴∠DEB=∠DAC=90°,
∵∠EDB=∠ADC,
∴∠DBE=∠ACD,
∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°,
∴△BAB′≌CAD,
∴CD=BB′=2BE.
(2)如图 2 中,结论:CD=2•BE•tan2α.
(3)如图 3 中,
在 Rt
△
ABC 中,∠ACB=90°﹣2α,
∵EC 平分∠ACB,
∴∠ECB= (90°﹣2α)=45°﹣α,
∵∠BCF=45°+α,
∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°,
∴∠BEC+∠ECF=180°,
∴BB′∥CF,
∴ = = =sin(45°﹣α),
∵ = ,
∴ =sin(45°﹣α).学科&网
【讲透练活】
变式 1:(2018·河北 T23·9 分)如图,∠A=∠B=50°,P 为 AB 中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的
任意一点,连接 AP,并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N,设∠BPN=α.
(1)求证:
△
APM≌△BPN;
(2)当 MN=2BN 时,求α的度数;
(3)若
△
BPN 的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.
变式 2: 已知:∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分别为 D,E.
(1)如图 1,①线段 CD 和 BE 的数量关系是 CD=BE;
②请写出线段 AD,BE,DE 之间的数量关系并证明;
(2)如图 2,上述结论②还成立吗?如果不成立,请直接写出线段 AD,BE,DE 之间的数量关系.
(2)②中的结论不成立.结论:DE=AD+BE.理由:
∵AD⊥CM,BE⊥CM,
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°.
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°.
∴∠ACD=∠B.
∵AC=CB,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
∴AD=CE,CD=BE.
∵DE=CD+CE=BE+AD,
∴DE=AD+BE.
变式 3:(2018•莱芜•9 分)已知
△
ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D.E 分别是 AB.AC 的中点,将
△
ADE 绕
点 A 按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到
△
AD'E′,连接 BD′、CE′,如图 1.
(1)求证:BD′=CE';
(2)如图 2,当α=60°时,设 AB 与 D′E′交于点 F,求 的值.
【解答】解:(1)证明:∵AB=AC,D.E 分别是 AB.AC 的中点,
∴AD=BD=AE=EC.
由旋转的性质可知:∠DAD′=∠EAE′=α,AD′=AD,AE′=AE.
∴AD′=AE′,
∴△BD′A≌△CE′A,
∴BD′=CE′.
(2)连接 DD′.
∵∠DAD′=60°,AD=AD′,
∴△ADD′是等边三角形.
∴∠ADD′=∠AD′D=60°,DD′=DA=DB.
∴∠DBD′=∠DD′B=30°,
∴∠BD′A=90°.
∵∠D′AE′=90°,
∴∠BAE′=30°,
∴∠BAE′=∠ABD′,
又∵∠BFD′=∠AFE′,
∴△BFD′∽△AFE′,
∴ .
∵在 Rt
△
ABD′中,tan∠BAD′= = ,
∴ = .学科&网
变式 4:(2017•乐山)在四边形 ABCD 中,∠B+∠D=180°,对角线 AC 平分∠BAD.
(1)如图 1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由.
(2)如图 2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图 3,若∠DAB=90°,探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由.
【解答】解:(1)AC=AD+AB.
理由如下:如图 1 中,
在四边形 ABCD 中,∠D+∠B=180°,∠B=90°,
∴∠D=90°,
∵∠DAB=120°,AC 平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC=60°,
∵∠B=90°,
∴ ,同理 .
∴AC=AD+AB.
(2)(1)中的结论成立,理由如下:以 C 为顶点,AC 为一边作∠ACE=60°,∠ACE 的另一边交 AB 延长
线于点 E,
(3)结论: .理由如下:
过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延长线于点 E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°,
变式 5:(2018•广东)已知 Rt
△
OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边 OB=4,将 Rt
△
OAB 绕点 O 顺时针
旋转 60°,如题图 1,连接 BC.
(1)填空:∠OBC= °;
(2)如图 1,连接 AC,作 OP⊥AC,垂足为 P,求 OP 的长度;
(3)如图 2,点 M,N 同时从点 O 出发,在
△
OCB 边上运动,M 沿 O→C→B 路径匀速运动,N 沿 O→B→C
路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒,点 N 的运动速度为 1 单位/
秒,设运动时间为 x 秒,
△
OMN 的面积为 y,求当 x 为何值时 y 取得最大值?最大值为多少?
【解答】解:(1)由旋转性质可知:OB=OC,∠BOC=60°,
∴△OBC 是等边三角形,
∴∠OBC=60°.
故答案为 60.
(2)如图 1 中,
∵OB=4,∠ABO=30°,
∴OA= OB=2,AB= OA=2 ,
∴S
△
AOC= •OA•AB= ×2×2 =2 ,
∵△BOC 是等边三角形,
∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°,
∴AC= =2 ,
∴OP= = = .
(3)①当 0<x≤ 时,M 在 OC 上运动,N 在 OB 上运动,此时过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E.
则 NE=ON•sin60°= x,
②当 <x≤4 时,M 在 BC 上运动,N 在 OB 上运动.
作 MH⊥OB 于 H.则 BM=8﹣1.5x,MH=BM•sin60°= (8﹣1.5x),
∴y= ×ON×MH=﹣ x2+2 x.
当 x= 时,y 取最大值,y< ,
③当 4<x≤4.8 时,M、N 都在 BC 上运动,作 OG⊥BC 于 G.
MN=12﹣2.5x,OG=AB=2 ,
∴y= •MN•OG=12 ﹣ x,
当 x=4 时,y 有最大值,最大值=2 ,
综上所述,y 有最大值,最大值为 .
变式 6:(2017 浙江义乌)已知
△
ABC,AB=AC,D 为直线 BC 上一点,E 为直线 AC 上一点,AD=AE,设
∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点 D 在线段 BC 上,点 E 在线段 AC 上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α= °,β= °,②求α,β之间的关系式.
(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存
在,说明理由.
【考点】KY:三角形综合题.
【解答】解:(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴∠BAC=60°,
∵AD=AE,∠ADE=70°,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°,
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°,
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°,
故答案为:20,10;
②设∠ABC=x,∠AED=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在
△
DEC 中,y=β+x,
在
△
ABD 中,α+x=y+β=β+x+β,
∴α=2β;