【课标解读】
新课标明确指出,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,中考操作
探究型试题集知识的可操作性、探究性、趣味性、创新性于一体, 倡导同学们在多解化的操
作活动中体验数学的发现过程, 感悟数学思想方法及其本质。
实践操作型问题是指通过动手实验,获得数学结论的研究性活动.这类问题需要动手操作、
合理猜想和验证,有助于实践能力和创新能力的培养,更有助于养成实验研究的习惯.
【解题策略】
解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和
思维过程,灵活运用所学知识和生活经验,探索和发展结论,从而解决问题.
【考点深剖】
★考点一 图形设计型
利用图形的变换设计作图常见的有:(1)利用平移:把一个图形沿一定方向平移一定 距离;
(2)利用旋转:把一个图形绕一个定点旋转一定角度; (3)利用轴对称:作出一个图形的轴对称
图形; (4)利用位似:把一个图形按照一定的比例放大或缩小.温馨提示:利用图形的变换作
图是近几年中考的热点和重点,关键是掌握各种变换的特征.
【典例 1】(2018•临安•3 分.)(3 分)马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子,他先用 5 个大小
一样的正方形制成如图所示的拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在图中
的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子
(添加所有符合要求的正方形,添加的正方形用阴影表示) .
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.
【解答】解: ,
故答案为: .
【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图,展示了这样一个教学导向,教学中要让学生确实
经历活动过程,而不要将活动层次停留于记忆水平.我们有些老师在教学“展开与折叠”时,不
是去引导学生动手操作,而是给出几种结论,这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手
无策了.
★考点二 操作实验型
实验操作型试题是近几年中考数学的热点试题,这类试题就是让同学们在通过实际操作
的基础上设计的问题,需要动手操作(包括裁剪、折蠱、拼图等) ,合情猜想和验证,它既考查
学生的动手能力,又考查学生的想象能力,不但有利于培养同学们的创新能力和实践能力,
更有助于养成实验研究的习惯,体现新课程理念. ,符合新课程标准强调的发现式学习、探究式
学习和研究式学习,因此,实验与操作问题将成为今后中考的热点题型.
【典例 2】(2018 广西贵港)(10.00 分)已知:A、B 两点在直线 l 的同
一侧,线段 AO,BM 均是直线 l 的垂线段,且 BM 在 AO 的右边,AO=2BM,
将 BM 沿直线 l 向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP=90°不变,BP
边与直线 l 相交于点 P.
(1)当 P 与 O 重合时(如图 2 所示),设点 C 是 AO 的中点,连接 BC.求证:四边形 OCBM
是正方形;
(2)请利用如图 1 所示的情形,求证: = ;
(3)若 AO=2 ,且当 MO=2PO 时,请直接写出 AB 和 PB 的长.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
(3)由于点 P 的位置不确定,故需要分情况进行讨论,共两种情况,第一种情况是点 P 在 O
的左侧时,第二种情况是点 P 在 O 的右侧时,然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质,
勾股定理即可求出答案.
(2)连接 AP、OB,
∵∠ABP=∠AOP=90°,
∴A、B、O、P 四点共圆,
由圆周角定理可知:∠APB=∠AOB,
∵AO∥BM,
∴∠AOB=∠OBM,
∴∠APB=∠OBM,
∴△APB∽△OBM,
∴
(3)当点 P 在 O 的左侧时,如图所示,
过点 B 作 BD⊥AO 于点 D,
易证
△
PEO∽△BED,
∴
易证:四边形 DBMO 是矩形,
∴BD=MO,OD=BM
∴MO=2PO=BD,学*科*网
∴ ,
∵AO=2BM=2 ,
∴BM= ,
∴OE= ,DE= ,[来源:学&科&网 Z&X&X&K]
易证
△
ADB∽△ABE,
∴AB2=AD•AE,
∵AD=DO=DM= ,
∴AE=AD+DE=
∴AB= ,
由勾股定理可知:BE= ,
易证:
△
PEO∽△PBM,
∴ = ,
∴PB=
又易证四边形 ODBM 是矩形,AO=2BM,
∴AD=BM= ,
∴ = ,
解得:x= ,
∴BD=2x=2
由勾股定理可知:AB=3 ,BM=3
★考点三 图案设计与计算结合型
近年来加强了对学生动手操作的考查,主要培养学生能够利用所学的图形的对称、折叠、
旋转、平移及尺规作图等知识进行解题,主要设问形式有:根据题目要求用尺规作图、根据所作
图形的性质进行相关计算,进行图案设计使所作图形特征满足题目要求.
【典例 3】如图 2,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形 ABCD 内,装饰图中的三角形
顶点 E , F 分别在边 AB , BC 上,三角形①的边 GD 在边 AD 上,则 的值是________.
【解析】解:如图,过 G 作 GH⊥BC 交 BC 于 H,交三角形②斜边于点 I,
则 AB=GH=GI+HI,BC=AD=AG+GD=EI+GD。
设原来七巧板的边长为 4,
则三角形②斜边的长度=4,GI= ,三角形③斜边长 IH= ,
则 AB=GI+IH= +2,
★考点四 操作探究问题
操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研
究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理
猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题;(2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策
略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.
【典例 4】【典例 4】(2018•山东东营市•10 分)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题
目:
如图 1,在
△
ABC 中,点 O 在线段 BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3 3 ,BO:CO=1:
3,求 AB 的长.
经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD∥AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造
△
ABD 就可
以 解决问题(如图 2).,请回答:∠ADB= °,AB= 4 3 .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图 3,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC⊥AD,AO=3 3 ,∠ABC=∠ACB=75°,
BO:OD=1:3,求 DC 的长.
【 分 析 】( 1)根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 出 ∠ADB=∠OAC=75°,结 合 ∠BOD=∠COA 可 得
出
△
BOD∽△COA,利用相似三角形的性质可求出 OD 的值,进而可得出 AD 的值,由三角形内角
和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角对等边可得出 AB=AD=4 1
2
,此题得解;(2)过点
B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E,同(1)可得出 AE=4 3 ,在 Rt
△
AEB 中,利用勾股定
理可求出 BE 的长度,再在 Rt
△
CAD 中,利用勾股定理可求出 DC 的长,此题得解.
(2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E,如图所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽
△
EOB,
∴ OB
OD
= OE
OA
= BE
DA
.
∵BO:OD=1:3,
∴ OE
OA
= BE
DA
= 1
3
.
∵AO=3 3 ,
∴EO= 3 ,
∴AE=4 3 .
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在 Rt
△
AEB 中,BE2+AE2=AB2,即(4 3 )2+BE2=(2BE2,
解得:BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.学*科*网
【讲透练活】
变式 1:(2018•临安•3 分.)z 如图,正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4,点 E.F 分别是 AB.BC
的中 点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是( )
A.2 B.4 C.8 D.10
【分析】本题考查空间想象能力.
变式 2:(2017 齐齐哈尔)如图,在等腰三角形纸片 ABC 中,AB=AC=10,BC=12,沿底边 BC
上的高 AD 剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角
线的长是 .【出处:21 教育名师】
【考点】PC:图形的剪拼.
【分析】利用等腰三角形的性质,进而重新组合得出平行四边形,进而利用勾股定理求出对角
线的长.
【解答】解:如图: ,
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,
变式 3:(2018 湖北荆州)(10.00 分)问题:已知α、β均为锐角,tanα= ,tanβ= ,求α+β的
度数.
探究:(1)用 6 个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为 1),请借助这个
网格图求出α+β的度数;
延伸:(2)设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R,求 的弧长.
【分析】(1)连结 AM、MH,则∠MHP=∠α,然后再证明
△
AMH 为等腰直角三角形即可;
(2)先求得 MH 的长,然后再求得弧 MR 所对圆心角的度数,最后,再依据弧长公式求解即
可.
【解答】解:(1)连结 AM、MH,则∠MHP=∠α.
变式 4:(2018 贵阳)(12.00 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB═2,AD= ,P 是 BC 边上的
一点,且 BP=2CP.
(1)用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E,连接 AE、BE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图②,在(1)的条体下,判断 EB 是否平分∠AEC,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F,连接 AP,不添加辅
助线,
△
PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与
△
PAE 组成一个等腰三角形?如果能,说明理由,
并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离)
【分析】(1)根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论;
(2)先求出 DE=CE=1,进而判断出
△
ADE≌△BCE,得出∠AED=∠BEC,再用锐角三角函数
求出∠AED,即可得出结论;
(3)先判断出
△
AEP≌△FBP,即可得出结论.
【解答】解:(1)依题意作出图形如图①所示,
(3)∵BP=2CP,BC= ,
∴CP= ,BP= ,
在 Rt
△
CEP 中,tan∠CEP= = ,
∴∠CEP=30°,
∴∠BEP=30°,
∴∠AEP=90°,
∵CD∥AB,
∴∠F=∠CEP=30°,
在 Rt
△
ABP 中,tan∠BAP= = ,
∴∠PAB=30°,
∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB,
∵CB⊥AF,
∴AP=FP,
∴△AEP≌△FBP,
∴△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与
△
PAE 组成一个等腰三角形,
变换的方法为:将
△
BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和
△
EPA 重合,①沿 PF 折叠,②沿 AE 折叠.
变式 5:(2018 烟台)(11 分)【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 1,点 P 是正方形 ABCD 内一点,PA=1,PB=2,
PC=3.你能求出∠APB 的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将
△
BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到
△
BP′A,连接 PP′,求出∠APB 的度数;
思路二:将
△
APB 绕点 B 顺时针旋转 90°,得到
△
CP'B,连接 PP′,求出∠APB 的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图 2,若点 P 是正方形 ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC= ,求∠APB 的度数.
(2)同(1)的思路一的方法即可得出结论.学*科*网
【解答】解:(1)思路一、如图 1,
将
△
BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到
△
BP′A,连接 PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,
在 Rt
△
PBP'中,BP=BP'=2,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'= BP=2 ,
∵AP=1,
∴AP2+PP'2=1+8=9,
∵AP'2=32=9,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°;
思路二、同思路一的方法;
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质,直角三角形的性质和
判定,勾股定理,正确作出辅助线是解本题的关键.
变式 6:(2018 黑龙江龙东)(8.00 分)如图,在 Rt
△
BCD 中,∠CBD=90°,BC=BD,点 A 在
CB 的延长线上,且 BA=BC,点 E 在直线 BD 上移动,过点 E 作射线 EF⊥EA,交 CD 所在直
线于点 F.
(1)当点 E 在线段 BD 上移动时,如图(1)所示,求证:BC﹣DE= DF.
(2)当点 E 在直线 BD 上移动时,如图(2)、图(3)所示,线段 BC、DE 与 DF 又有怎样的
数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
【解答】(1)证明:如图 1 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE.
∵BC=AB=BD,BE=BH,
∴AH=ED,
∵∠AEF=∠ABE=90°,
∴∠AEB+∠FED=90°,∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠FED=∠HAE,
∵∠BHE=∠CDB=45°,
∴∠AHE=∠EDF=135°,
∴△AHE≌△EDF,
∴HE=DF,
∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE= EH= DF.
∴BC﹣DE= DF.
(2)解:如图 2 中,在 BC 上截取 BH=BE,同法可证:DF=EH.
可得:DE﹣BC= DF.
如图 3 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE.同法可证:DF=HE,
可得 BC+DE= DF.