专题14 实践操作问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)
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专题14 实践操作问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)

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资料简介
【课标解读】 新课标明确指出,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,中考操作 探究型试题集知识的可操作性、探究性、趣味性、创新性于一体, 倡导同学们在多解化的操 作活动中体验数学的发现过程, 感悟数学思想方法及其本质。 实践操作型问题是指通过动手实验,获得数学结论的研究性活动.这类问题需要动手操作、 合理猜想和验证,有助于实践能力和创新能力的培养,更有助于养成实验研究的习惯. 【解题策略】 解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和 思维过程,灵活运用所学知识和生活经验,探索和发展结论,从而解决问题. 【考点深剖】 ★考点一 图形设计型 利用图形的变换设计作图常见的有:(1)利用平移:把一个图形沿一定方向平移一定 距离; (2)利用旋转:把一个图形绕一个定点旋转一定角度; (3)利用轴对称:作出一个图形的轴对称 图形; (4)利用位似:把一个图形按照一定的比例放大或缩小.温馨提示:利用图形的变换作 图是近几年中考的热点和重点,关键是掌握各种变换的特征. 【典例 1】(2018•临安•3 分.)(3 分)马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子,他先用 5 个大小 一样的正方形制成如图所示的拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在图中 的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子 (添加所有符合要求的正方形,添加的正方形用阴影表示) . 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题. 【解答】解: , 故答案为: . 【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图,展示了这样一个教学导向,教学中要让学生确实 经历活动过程,而不要将活动层次停留于记忆水平.我们有些老师在教学“展开与折叠”时,不 是去引导学生动手操作,而是给出几种结论,这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手 无策了. ★考点二 操作实验型 实验操作型试题是近几年中考数学的热点试题,这类试题就是让同学们在通过实际操作 的基础上设计的问题,需要动手操作(包括裁剪、折蠱、拼图等) ,合情猜想和验证,它既考查 学生的动手能力,又考查学生的想象能力,不但有利于培养同学们的创新能力和实践能力, 更有助于养成实验研究的习惯,体现新课程理念. ,符合新课程标准强调的发现式学习、探究式 学习和研究式学习,因此,实验与操作问题将成为今后中考的热点题型. 【典例 2】(2018 广西贵港)(10.00 分)已知:A、B 两点在直线 l 的同 一侧,线段 AO,BM 均是直线 l 的垂线段,且 BM 在 AO 的右边,AO=2BM, 将 BM 沿直线 l 向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP=90°不变,BP 边与直线 l 相交于点 P. (1)当 P 与 O 重合时(如图 2 所示),设点 C 是 AO 的中点,连接 BC.求证:四边形 OCBM 是正方形; (2)请利用如图 1 所示的情形,求证: = ; (3)若 AO=2 ,且当 MO=2PO 时,请直接写出 AB 和 PB 的长. [来源:学#科#网 Z#X#X#K] (3)由于点 P 的位置不确定,故需要分情况进行讨论,共两种情况,第一种情况是点 P 在 O 的左侧时,第二种情况是点 P 在 O 的右侧时,然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质, 勾股定理即可求出答案. (2)连接 AP、OB, ∵∠ABP=∠AOP=90°, ∴A、B、O、P 四点共圆, 由圆周角定理可知:∠APB=∠AOB, ∵AO∥BM, ∴∠AOB=∠OBM, ∴∠APB=∠OBM, ∴△APB∽△OBM, ∴ (3)当点 P 在 O 的左侧时,如图所示, 过点 B 作 BD⊥AO 于点 D, 易证 △ PEO∽△BED, ∴ 易证:四边形 DBMO 是矩形, ∴BD=MO,OD=BM ∴MO=2PO=BD,学*科*网 ∴ , ∵AO=2BM=2 , ∴BM= , ∴OE= ,DE= ,[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 易证 △ ADB∽△ABE, ∴AB2=AD•AE, ∵AD=DO=DM= , ∴AE=AD+DE= ∴AB= , 由勾股定理可知:BE= , 易证: △ PEO∽△PBM, ∴ = , ∴PB= 又易证四边形 ODBM 是矩形,AO=2BM, ∴AD=BM= , ∴ = , 解得:x= , ∴BD=2x=2 由勾股定理可知:AB=3 ,BM=3 ★考点三 图案设计与计算结合型 近年来加强了对学生动手操作的考查,主要培养学生能够利用所学的图形的对称、折叠、 旋转、平移及尺规作图等知识进行解题,主要设问形式有:根据题目要求用尺规作图、根据所作 图形的性质进行相关计算,进行图案设计使所作图形特征满足题目要求. 【典例 3】如图 2,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形 ABCD 内,装饰图中的三角形 顶点 E , F 分别在边 AB , BC 上,三角形①的边 GD 在边 AD 上,则 的值是________. 【解析】解:如图,过 G 作 GH⊥BC 交 BC 于 H,交三角形②斜边于点 I, 则 AB=GH=GI+HI,BC=AD=AG+GD=EI+GD。 设原来七巧板的边长为 4, 则三角形②斜边的长度=4,GI= ,三角形③斜边长 IH= , 则 AB=GI+IH= +2, ★考点四 操作探究问题 操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研 究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理 猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题;(2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策 略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法. 【典例 4】【典例 4】(2018•山东东营市•10 分)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题 目: 如图 1,在 △ ABC 中,点 O 在线段 BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3 3 ,BO:CO=1: 3,求 AB 的长. 经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD∥AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造 △ ABD 就可 以 解决问题(如图 2).,请回答:∠ADB= °,AB= 4 3 . (2)请参考以上解决思路,解决问题: 如图 3,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC⊥AD,AO=3 3 ,∠ABC=∠ACB=75°, BO:OD=1:3,求 DC 的长. 【 分 析 】( 1)根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 出 ∠ADB=∠OAC=75°,结 合 ∠BOD=∠COA 可 得 出 △ BOD∽△COA,利用相似三角形的性质可求出 OD 的值,进而可得出 AD 的值,由三角形内角 和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角对等边可得出 AB=AD=4 1 2 ,此题得解;(2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E,同(1)可得出 AE=4 3 ,在 Rt △ AEB 中,利用勾股定 理可求出 BE 的长度,再在 Rt △ CAD 中,利用勾股定理可求出 DC 的长,此题得解. (2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E,如图所示. ∵AC⊥AD,BE∥AD, ∴∠DAC=∠BEA=90°. ∵∠AOD=∠EOB, ∴△AOD∽ △ EOB, ∴ OB OD = OE OA = BE DA . ∵BO:OD=1:3, ∴ OE OA = BE DA = 1 3 . ∵AO=3 3 , ∴EO= 3 , ∴AE=4 3 . ∵∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠BAC=30°,AB=AC, ∴AB=2BE. 在 Rt △ AEB 中,BE2+AE2=AB2,即(4 3 )2+BE2=(2BE2, 解得:BE=4, ∴AB=AC=8,AD=12.学*科*网 【讲透练活】 变式 1:(2018•临安•3 分.)z 如图,正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4,点 E.F 分别是 AB.BC 的中 点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是( ) A.2 B.4 C.8 D.10 【分析】本题考查空间想象能力. 变式 2:(2017 齐齐哈尔)如图,在等腰三角形纸片 ABC 中,AB=AC=10,BC=12,沿底边 BC 上的高 AD 剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角 线的长是 .【出处:21 教育名师】 【考点】PC:图形的剪拼. 【分析】利用等腰三角形的性质,进而重新组合得出平行四边形,进而利用勾股定理求出对角 线的长. 【解答】解:如图: , 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, 变式 3:(2018 湖北荆州)(10.00 分)问题:已知α、β均为锐角,tanα= ,tanβ= ,求α+β的 度数. 探究:(1)用 6 个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为 1),请借助这个 网格图求出α+β的度数; 延伸:(2)设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R,求 的弧长. 【分析】(1)连结 AM、MH,则∠MHP=∠α,然后再证明 △ AMH 为等腰直角三角形即可; (2)先求得 MH 的长,然后再求得弧 MR 所对圆心角的度数,最后,再依据弧长公式求解即 可. 【解答】解:(1)连结 AM、MH,则∠MHP=∠α. 变式 4:(2018 贵阳)(12.00 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB═2,AD= ,P 是 BC 边上的 一点,且 BP=2CP. (1)用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E,连接 AE、BE(保留作图痕迹,不写作法); (2)如图②,在(1)的条体下,判断 EB 是否平分∠AEC,并说明理由; (3)如图③,在(2)的条件下,连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F,连接 AP,不添加辅 助线, △ PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 △ PAE 组成一个等腰三角形?如果能,说明理由, 并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离) 【分析】(1)根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论; (2)先求出 DE=CE=1,进而判断出 △ ADE≌△BCE,得出∠AED=∠BEC,再用锐角三角函数 求出∠AED,即可得出结论; (3)先判断出 △ AEP≌△FBP,即可得出结论. 【解答】解:(1)依题意作出图形如图①所示, (3)∵BP=2CP,BC= , ∴CP= ,BP= , 在 Rt △ CEP 中,tan∠CEP= = , ∴∠CEP=30°, ∴∠BEP=30°, ∴∠AEP=90°, ∵CD∥AB, ∴∠F=∠CEP=30°, 在 Rt △ ABP 中,tan∠BAP= = , ∴∠PAB=30°, ∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB, ∵CB⊥AF, ∴AP=FP, ∴△AEP≌△FBP, ∴△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与 △ PAE 组成一个等腰三角形, 变换的方法为:将 △ BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和 △ EPA 重合,①沿 PF 折叠,②沿 AE 折叠. 变式 5:(2018 烟台)(11 分)【问题解决】 一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 1,点 P 是正方形 ABCD 内一点,PA=1,PB=2, PC=3.你能求出∠APB 的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:将 △ BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到 △ BP′A,连接 PP′,求出∠APB 的度数; 思路二:将 △ APB 绕点 B 顺时针旋转 90°,得到 △ CP'B,连接 PP′,求出∠APB 的度数. 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】 如图 2,若点 P 是正方形 ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC= ,求∠APB 的度数. (2)同(1)的思路一的方法即可得出结论.学*科*网 【解答】解:(1)思路一、如图 1, 将 △ BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到 △ BP′A,连接 PP′, ∴△ABP'≌△CBP, ∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3, 在 Rt △ PBP'中,BP=BP'=2, ∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'= BP=2 , ∵AP=1, ∴AP2+PP'2=1+8=9, ∵AP'2=32=9, ∴AP2+PP'2=AP'2, ∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°, ∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°; 思路二、同思路一的方法; 【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质,直角三角形的性质和 判定,勾股定理,正确作出辅助线是解本题的关键. 变式 6:(2018 黑龙江龙东)(8.00 分)如图,在 Rt △ BCD 中,∠CBD=90°,BC=BD,点 A 在 CB 的延长线上,且 BA=BC,点 E 在直线 BD 上移动,过点 E 作射线 EF⊥EA,交 CD 所在直 线于点 F. (1)当点 E 在线段 BD 上移动时,如图(1)所示,求证:BC﹣DE= DF. (2)当点 E 在直线 BD 上移动时,如图(2)、图(3)所示,线段 BC、DE 与 DF 又有怎样的 数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明. 【解答】(1)证明:如图 1 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE. ∵BC=AB=BD,BE=BH, ∴AH=ED, ∵∠AEF=∠ABE=90°, ∴∠AEB+∠FED=90°,∠AEB+∠BAE=90°, ∴∠FED=∠HAE, ∵∠BHE=∠CDB=45°, ∴∠AHE=∠EDF=135°, ∴△AHE≌△EDF, ∴HE=DF, ∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE= EH= DF. ∴BC﹣DE= DF. (2)解:如图 2 中,在 BC 上截取 BH=BE,同法可证:DF=EH. 可得:DE﹣BC= DF. 如图 3 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE.同法可证:DF=HE, 可得 BC+DE= DF.

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