广东省汕头市 2012 届高三下学期第二次模拟试题
文科数学
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1、设全集 U 3 3,x x x ， 1,2 ， 2, 1,2 ，则 U ð 等于
A． 1 B． 2 C． 1,2 D． 0,1,2
2、i 是虚数单位，复数 1 3
1 2
i
i
的模为
A．1 B． 2 C． 2 D． 2
2
3、已知 C 中，a ，b ，c 分别为角 ， ，C 的对边， 4a ， 4 3b ， 30 ，
则 等于
A． 60 B． 60 或120 C．30 D．30 或150
4、数列 na 是公差不为 0 的等差数列，且 1a ， 3a ， 7a 为等比数列 nb 的连续三项，则数
列 nb 的公比为
A． 2 B． 2 C． 4 D． 1
2
5、若函数 logmf x x 的反函数的图象过点 1,n ，则 3n m 的最小值是
A． 2 3 B． 2 2 C． 2 D． 5
2
6、已知l 、m 是不同的两条直线， 、 是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的
是
A．若 l ， ，则 //l B．若 //l ， ，则 //l
C．若l m ， // ， m ，则l D．若 l ， // ， m ，则l m
7、在约束条件
0
1
2 2 1 0
x
y
x y
下，目标函数 2z x y
A．有最大值 2 ，无最小值 B．有最小值 2 ，无最大值
C．有最小值 1
2
，最大值 2 D．既无最小值，也无最大值
8、如图1，矩形的长为 6 ，宽为 4 ，在矩形内随机地撒300 颗黄豆，数得
落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为
A． 7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32 图1
9、“ 1a ”是“直线 2 6 0a x y 与直线 4 3 9 0x a y 互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10、如果函数 f x 对任意的实数 x ，存在常数 ，使得不等式 f x x 恒成立，那
么就称函数 f x 为有界泛函．给出下面三个函数：
① 1f x ；② 2f x x ；③ 2 1
xf x x x
．
其中属于有界泛函的是
A．① B．② C．③ D．①②③
二、填空题（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．）
（一）必做题（11～13 题）
11、双曲线
2
2 14
yx 的渐近线方程是 ．
12、运行如图 2 所示的程序框图，若输入 4n ，则输出的 S 值
为 ．
13 、 已 知 向 量 a ， b
满 足 0a b ， 1a ， 2b ， 则
2a b ．
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 x y 中，直
线 l 的参数方程为
1
x t
y t
（参数 Rt ），圆 C 的参数方程为
cos 1
sin
x
y
（ 参 数 0,2 ）， 则 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离
是 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图3 ，四边形 CD 内接于 ， C 是 的直径，
切 于点 ， 25 ，则 DC ．
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分 12 分）已知函数 22cos 3sin2
xf x x ．
1 求函数 f x 的最小正周期和值域；
2 若 为第二象限的角，且 1
3 3f
，求 cos2
1 tan
的值．
17、（本小题满分 12 分）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与18 秒之
间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 13,14 ，第二组 14,15 ， ，第五组
17,18 ，图 4 是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
1 若成绩大于或等于14 秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人
数；
2 设 m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 m ， 13,14 17,18n ，求
事件“ 1m n ”的概率．
18、（本小题满分 14 分）如图5 ，在边长为 4 的菱形 CD 中， D 60 ．点 、F 分
别在边 CD 、C 上，点 与点 C 、D 不重合， F C ， F C ，沿 F 将 C F
翻折到 F 的位置，使平面 F 平面 FD ．
1 求证： D 平面 ；
2 记 三 棱 锥
D 体积为
1V ， 四 棱 锥
D F 体 积
为 2V ， 且
1
2
V 4
V 3
，求此时线段 的长．
19、（本小题满分 14 分）已知数列 na 是等差数列， 3 5a ， 5 9a ．数列 nb 的前 n 项
和为 nS ，且 1
2
n
n
bS n ．
1 求数列 na 和 nb 的通项公式；
2 若 n n nc a b ，求数列 nc 的前 n 项和 n ．
20、（本小题满分 14 分）设函数 3 2 21 13f x x x a x ，其中 0a ．
1 若函数 y f x 在 1x 处取得极值，求 a 的值；
2 已知函数 f x 有3 个不同的零点，分别为 0 、 1x 、 2x ，且 1 2x x ，若对任意的
1 2,x x x ， 1f x f 恒成立，求 a 的取值范围．
21、（本小题满分 14 分）已知平面内一动点 到定点 1F 0, 2
的距离等于它到定直线 1
2y
的距离，又已知点 0,0 ， 0,1 ．
1 求动点 的轨迹 C 的方程；
2 当点 0 0 0, 0x y x 在 1 中的轨迹 C 上运动时，以 为直径作圆，求该圆截直线
1
2y 所得的弦长；
3 当点 0 0 0, 0x y x 在 1 中的轨迹 C 上运动时，过点 作 x 轴的垂线交 x 轴于点
，过点 作 1 中的轨迹 C 的切线l 交 x 轴于点 ，问：是否总有 平分 F ？如果
有，请给予证明；如果没有，请举出反例．
汕头市 201２年普通高中高三教学质量测评试题（二）
数学（文科）参考答案和评分标准
一、选择题答案：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分
1. 答案 D 解析： { 2, 1, 0, 1, 2}U ， {0, 1}U B ð ，故 ( ) {0, 1, 2}UA B ð ．
2. 答案 C 解析：
2 21 3 1 21 3 1 , 1 +1 = 21 2 1 2 1 2
i ii ii i i
模为
3. 答 案 B 解 析 : sin 3sinsin sin 2
a b b ABA B a
， 又
0 00 180B B A 且 , 0 060 120B 或
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B A D A C A C
4. 答案 B 解析： 22 3
3 1 7 1 1 1 1
1
42 6 2 22
a da a a a d a a d a d q a d
5. 答 案 A 解 析 ： 函 数 ( ) logmf x x 的 反 函 数 为 xy m ， 1m n 即 1mn ，
3 2 3 2 3m n mn
6. 答 案 D 解 析 ：
, //l l m l m 又
7. 答案 A 解析： yxz 2 化为 2y x z ，可行
域如图，
过点 1 ,12A
时，z 取得最大值 2；因为点 B
不在可行
域内，所以 z 无最小值。
8. 答 案 C 解 析 ： 椭 圆 的 面 积 约 为
300 96 6 4 16.32300
9. 答 案 A 解 析 ： 21 4 3 0a a a 直 线 2 6 0a x y 与 直 线
4 3 9 0x a y 互相垂直；
直线 2 6 0a x y 与直线 4 3 9 0x a y 互相垂直 24 3 0 1a a a 或
3
4a .
10. 答案 C 解析：①对于 1f x ，当 0x 时，有 1 0 0f x M ， 1f x
不属于有界泛函;
对于② 2f x x ，当 0x 时，有 f x xx
无最大值， 2f x x 不属于有界泛函；
对于③ 2 1
xf x x x
，当 0x 时，有
22
1 1 4
1 31 3
2 4
f x
x x x x
，
2 1
xf x x x
属于有界泛函.
二、填空题答案：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分．本大题分为必做题和选做题
两部分．
㈠必做题（11～13 题） 11. 2y x 12. 11 13. 2 2
㈡选做题（14~15 题是选做题，考生只能从中选做一题；如果两题都做，以第 14 题的得分
为最后得分）
14. 2 15. 115
详细解答：
11. 解析：
2 2
2 21 1 24 4
y yx x y x 【答案】 2y x
12. 解析：1+1+2+3+4=11 【答案】11
13. 解析： 2 2 22 2
2 2 4 4 4 2 2a b a b a a b b a b
r r r r r r r r r r
g 【答案】 2 2 .
14. 解析：直线方程为 1y x ，圆的方程为 2 21 1x y ．于是圆心 1 , 0 到直线
1 0x y 的距离为 1 0 1 2
2
． 【答案】 2 ；
15. 解析： ，，，由已知得：连接 00 90BAC25BCAAC 0ABC 65 ，
0 0ADC 180 ABC 115 【答案】115
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