2015江南十校高三联考数学(文)试题及答案
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2015江南十校高三联考数学(文)试题及答案

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资料简介
2015 年安徽省“江南十校”高三联考 数 学(文科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、复数 2 2 i i   (i 为虚数单位)的虚部为( ) A.3 5 B.4 5 C.3 5 i D.4 5 i 2、设集合  ln , 1y y x x    ,集合  24x y x    ,则  R   ð ( ) A. B. 0,2 C. 2, D.   , 2 2,   3、设命题 :p  3,1a  ,  ,2b m ,且 //a b  ;命题 :q 关于 x 的函数  2 5 5 xy m m a   ( 0a  且 1a  )是指数函数,则命题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、运行如图所示的程序框图后,输出的结果是( ) A.0 B.1 C. 21 2  D.1 2 5、设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 3 2S  , 6 6S  , 则 13 14 15a a a  的值是( ) A.18 B. 28 C.32 D.144 6、若函数 2 1xy a   ( 0a  且 1a  )的图象经过定点  ,m n ,且过点  Q 1,m n 的 直线l 被圆C: 2 2 2 2 7 0x y x y     截得的弦长为3 2 ,则直线l 的斜率为( ) A. 1 或 7 B. 7 或 4 3 C.0 或 4 3 D.0 或 1 7、已知点  0,1 、  2,3  、  C 1,2 、  D 1,5 ,则向量 C 在 D 方向上的投影 为( ) A.2 13 13 B. 2 13 13  C. 13 13 D. 13 13  8、已知函数   1 33 sin 1 cos2 2f x a x a x              ,将  f x 图象向右平移 3  个单 位长度得到函数  g x 的图象,若对任意 Rx ,都有   4g x g      成立,则a 的值 为( ) A. 1 B.1 C. 2 D.2 9、已知函数        1 2 0 1 0 x xf x f x x       若函数    g x f x x a   在 R 上恰有两个相异 零点,则实数 a 的取值范围为( ) A. 1,  B. 1,  C. ,0 D. ,1 10、在正方体 1 1 1 1CD C D    中, ①经过点  垂直于平面 1 D  的直线也垂直于平面 1 1D C ; ②设为 C 和 D 的交点,则异面直线 1 与 1C 所成的角是 6  ; ③若正方体的棱长为 2 ,则经过棱 1 1D C 、 1 1C 、 1 中点的正方体的截面面积为 3 3 ; ④若点  是正方形 CD 内(包括边界)的动点,点 Q 在对角线 1C 上,且满足 1Q C   , Q   ,则点 的轨迹是线段. 以上命题正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11、命题:“存在 Rx ,使得 2 21 1 0x x    ”的否定是 . 12、   3 0 log 2sin330 2 1 3    . 13、若实数 x , y 满足约束条件 4 3 0 2 6 0 x x y x y          ,则 2 1 y x  的取值范围为 . 14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点.现有一只蚂蚁从坐标平面的原 点出发,按如下线路沿顺时针方向爬过格点:    1 1,0   2 1, 1    3 0, 1    4 1, 1     5 1,0    6 1,1    7 0,1   8 1,1   9 2,1     12 2, 2      16 2, 2       20 2,2      25 3,2   ,则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个 格点 350 坐标为 . 15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1,则称曲线C “远离” 直线l .在下列曲线中,“远离”直线 :l 2y x 的曲线有 .(写出所 有符合条件的曲线C 的编号) ①曲线C: 2 5 0x y   ;②曲线C: 2 92 4y x x    ; ③曲线C:  22 5 1x y   ;④曲线C: 1xy e  ; ⑤曲线C: ln 2y x  . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 16、(本小题满分 12 分)已知函数   4sin cos 16f x x x       .   求函数  f x 的最小正周期;   在 C 中,角  , ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若   2f   , 3a  , C 3S  求 2 2b c 的值. 17、(本小题满分 12 分)某校高三文科(1)班学生参加“江南十校”联考,其数 学成绩(已折合成百分制)的频率分布直方图如图所示,其中成绩分布区间为  40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ,现已知成绩落在 90,100 的有5人.   求该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数;   根据频率分布直方图,估计该班此次数学成绩的平均分(可用中值代替各组数 据的平均值);   现要从成绩在 40,50 和 90,100 的学生中共选2 人参加某项座谈会,求 2 人来 自于同一分数段的概率. 18 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列  na 满 足 2 2 12 4n n n n na a a a a     ( n  ),且 1 1a  , 2 4a  .   证明:数列 na 是等差数列;   设 1 2 1 n n n nb a a   , nb 的前 n 项和为 nS ,求证: 1nS  . 19、(本小题满分 13 分)如图,圆柱 1 的底面圆半径为 2 , CD 为经过圆柱轴 1 的截面,点在 上且  1 3    ,Q为 D 上任意一点.   求证: Q   ;   若直线 D 与面 CD 所成的角为30 ,求圆柱 1 的体 积. 20、(本小题满分 13 分)已知函数    1ln 1 a xf x a x x    ,其中 0a  .   当 1a  时,求曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线方程;   讨论  f x 在其定义域上的单调性. 21、(本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )经过点 31, 2      ,它的 左焦点为  F ,0c ,直线 1 :l y x c  与椭圆C 交于  , 两点, F 的周长为 3a .   求椭圆C 的方程;   若点是直线 2 :l 3y x c  上的一个动点,过点 作椭圆C 的两条切线 、 ,  、  分别为切点,求证:直线 过定点,并求出此定点坐标.(注:经过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )上一点 0 0,x y 的椭圆的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y a b   ) 参考答案 1. B . 22 (2 ) 3 4 2 (2 )(2 ) 5 5 i i ii i i       ,故选 B 2.C .    0 , 2 2A x x B x x      ,  = 2 x 2 ,RC B x x   或  = 2 ,RA C B x x   故选C 3. A .命题 :3 2 0, 6p m m    ;命题 2: 5 5 1 1 6q m m m    由 得 或 ,故选 A 4. A .由程序框图可知,最后输出的 2 15sin sin sin 04 4 4p        ,故选 A 5. C . 由 等 比 数 列 性 质 可 知 3 6 3 9 6 12 9 15 12,S S S S S S S S S   , , , 也 成 等 比 , 易 求 出 13 14 15 15 12 32a a a S S     , 故选C 6. A . (2 2), (1 2)P Q, , ,设 2 ( 1), 2 0l y k x kx y k      : 即 ,圆 C: 2 2( 1) ( 1) 9x y    , 圆心 -1,1C( )到l 的距离 2 2 2 1 2 33 ( 2)21 k kd k        2 8 7 0k k    , 1 7,k   或 故选 A 7. D . ( 11), (3 2),AC BD      , , AC  在 BD  方 向 上 的 投 影 为 2 2 1 3 1 2 1 133 2 AC BD BD           13 13   ,故选 D 8. D . 1 3( ) sin cos 3sin cos2 2f x a x a x x x    = sin( ) 2cos( )3 3a x x    ( ) ( ) sin 2cos3g x f x a x x     ,由题意得 (g x)图象关于直线 4x  对称, ( ) (0), 22g g a    ,故选 D 9 B . ( ) 0 ( )g x f x x a     ,当  1,0x  时,  1 0,1x   , ( ) ( 1) 1f x f x x    , 故把 y x 图象在 0,1 上的部分向左平移 1 个单位得到 ( )f x 在 1,0 上的图象,再把 ( )f x 在  1,0 上的图象每次向左平移 1 个单位连续平移就得到 ( )f x 在 R 上的图象,再作出 y x a   的图象,由图象可得 1a  , 1a   ,故选 B 10. D .易证 1 / /A BD 面 1 1B D C 选,①正确; 1 1/ /A B D C , 1OC D 就是异面直线 1AB 与 1OC 所 成 的 角 . 1,BD OC BD CC  , BD  面 1OCC , 1BD OC  , 又 1 1 1 2 2OD BD C D  , 1 6OC D   ,②正确;设棱 1 1 1 1 1 1, , , , ,B D B C BB AB AD DD 的中 点分别为 , , , , ,E F G H M N ,则过点 , ,E F G 的正方形截面就是正六边形 EFGHMN ,  236 2 3 34S     ,  ③ 正 确 ; 连 结 1A P , 易 证 1AA AP , 又 1PQ AC , 1 1,PA PQ PA PA  , 1 1 1 1,Rt A PA Rt A PQ A A AQ     , Q 为 1AC 上定点,又 PA PQ , 点 P 在线段 AQ 的中垂面上,点 P 在 AQ 的中垂面与正方形 ABCD 的交线上,④正确; 故选 D 11.对任意 x R ,都有 2 21 1 0x x    . 12. 5 2 原式 1 5sin( 30 ) 1 2 32 2         . 13. 4 ,45     2 1 y x  可 看 作 点  1,0P  与 点  ,x y 连 线 斜 率 的 2 倍 , 画 出 可 行 域 , 由 4 2 6 0 x x y      得  4, 2A  , 由 3 0 2 6 0 x y x y        得  1,4B , 2 , 2,5PA PBk k    2 1 y x  的 取 值 范 围 为 4 ,45     . 14. 1,9 以 O 为中心,边长为 2 的正方形上共有格点 1 8a  个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  1,1 以O 为中心,边长为 4 的正方形上共有格点 2 16a  个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  2,2 以O 为中心,边长为 6 的正方形上共有格点 3 24a  个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  3,3 ……… 以O 为中心,边长为 2n 的正方形上共有格点 8na n 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  ,n n , 由 前 n 个 正 方 形 上 格 点 的 总 数 1 2 3nS a a a    … 8 16 24na     … (8 8 )8 3502 n nn    得 9n  . 当 9n  时 , 前 9 个 正 方 形 上 格 点 的 总 数 9 9(8 72) 3602S   ,且蚂蚁在第 9 个正方形(边长为 18 )上爬过的最后一个格点为  360 9,9A ,故蚂蚁在爬行过程中经过的第 350 个格点 350A 坐标为 1,9 . 15.②③⑤ 对①: 2 5 1 2 1 d     , 不合题意;对②:设直线 1 : 2l y x b  与曲线 2 9: 2 4C y x x    相 切 , 把 2y x b  代 入 2 92 4y x x    得 2 9 04x b   , 由 90 4 04 b        ,得 9 4b   ,此时直线 1l 与l 的距离 9 814 1805 d    ,符合题意; 对③:圆心  0,5C 到直线 l 的距离 0 5 5 5 d   ,圆 C 上的点到 l 距离的最小值为 5 1 1  ,符合题意;对④:设曲线C 上斜率为 2 的切线的切点为  0 0,P x y , ' xy e , 0 0 ' 2,x x xk y e    0 ln 2x  ,  ln 2,3P , 切 线 :  3 2 ln 2y x   , 即 : 2 3 2ln 2 0x y    ,  切 线 与 C 的 距 离 3 2ln 2 3 ln 4 5 5 d    ,  ln 4 1,2 ,  3 ln 4 1,2   ,而 5 2, 1d   ,不合题意;对⑤:设切点为  0 0,P x y , ' 1y x  , 0 ' 0 1 2,x xk y x    0 1 2x  , 1 , 2 ln 22P      , 1 ln 2 2 3 ln 2 1, 5 5 d       符合 题意。 16.解:(I)   4sin cos cos sin sin 16 6f x x x x       = 22 3sin cos 2sin 1x x x  = 3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x       …………3 分 2 2T     …………5 分 (II)   2sin 2 2, sin 2 16 6f A A A                , 又 130 , 2 , 2 ,6 6 6 6 2 6A A A A               …………7 分 1 sin 3, 4 32ABCS bc A bc     …………9 分 又 2 2 2 2 2 23 2 cos 12a b c bc A b c       , 2 2 21b c   …………12 分 17.解:(I)该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数为 5 500.010 10  (人) ……………………3 分 (II)平均分 45 0.06 55 0.16 65 0.20 75 0.28 85 0.20 95 0.10x             2.7 8.8 30 21 9.5 72      (分) …………7 分 (Ⅲ) 成绩在 40,50 中共有 0.006 10 50 3   (人),记为 , ,a b c …………8 分 成绩在 90,100 中共有 0.010 10 50 5   (人),记为 1,2,3,4,5 总的基本事件有       , , , , ,1 , , 4,5a b a c a  共 28 个,其中 2 人来自同一分数段的基本事 件有           , , , , , , 1,2 , 1,3 , , 4,5a b a c b c  共 13 个 …………11 分 故概率 13 28P  …………12 分 18.(Ⅰ) 2 2 12 4n n n n na a a a a     且 0na  2 2 2 1) (2 )n n na a a   ( 2 12n n na a a    …………3 分  na 是首项为 1 =1a ,公差为 2 1 1a a  的等差数列 ………… 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 21 ( 1) 1 ,n na n n a n      …………7 分    2 222 2 1 1 1 1 1n nb nn n n       ……………………9 分 2 2 2 1 1 11 2 2 3nS      …  22 1 1 1n n     2 11 1 1n     ……………………12 分 19.证明:(I)连接 PA , AB 为 O 的直径, PA PB  …1 分 又 AD PAB 面 , ,PB PAB PB AD  面 ……2 分 又 ,PA AB A PB PAD    面 …………4 分 又 AQ PAD 面 , AQ PB  …………5 分 (II)过点 P 作 PE AB , E 为垂足,连结 DE , 1 , ,OO PAB ABCD PAB PE ABCD     面 面 面 面 …………6 分 PDE 就是直线 PD 与 ABCD面 所成的角, 30PDE   …………8 分 又 » ¼1 3AP APB , 1 1, 3O E PE   , 又 tan PEPDE DE    22 2 23, 3 2 1 2 2DE AD DE AE        ……11 分 22 2 2 8 2V Sh        …………13 分 20.(Ⅰ)当 1a  时, 2( ) ln 1 xf x x x    , / 2 2 1 2( 1) 2 1 2( ) ( 1) ( 1) x xf x x x x x       …… 2分 / 1 1(1) 1 2 2f    ,又 (1) 1f   切线方程为 1( 1) ( 1)2y x    即 1 3 2 2y x  ……5分 E O1 A B P CD O Q 第 19 题 (Ⅱ) ( )f x 的定义域为 (0, ) , 2 / 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1) a a x a x ax a x af x x x x x           …… 6分 ①当 0a  时, / 2 2 1( ) 0( 1) ( 1) xf x x x x       ( )f x 在 (0, ) 上单调递减 …… 7分 ②当 0a  时,设 2( ) ( 1) ( (0, ))g x ax a x a x      ( a )当 2 2 2( 1) 4 3 2 1 0a a a a         即 1 3a  时, / ( ) 0,f x  ( )f x 在 (0, ) 上单调递增 ………… 9分 (b )当 23 2 1 0a a      即 10 3a  时, 由 ( ) 0g x  得 21 3 2 1 2 a a ax a      2 2 2(1 ) ( 3 2 1) 4 0a a a a       2 2 1 2 1 3 2 1 1 3 2 10 2 2 a a a a a ax xa a               当 1(0, )x x 和 2( , )x  时, / ( ) 0f x  , 当 1 2( , )x x x 时, / ( ) 0f x  ,  ( )f x 单调递增区间为 1(0, )x 和 2( , )x  , ( )f x 单调递减区间为 1 2( , )x x ………… 12分 综上,当 0a  时, ( )f x 单调递减区间为 (0, ) ; 当 10 3a  时, ( )f x 单调递增区间为 1(0, )x 和 2( , )x  ,单调递减区间为 1 2( , )x x ; 当 1 3a  时, ( )f x 单调递增区间为 (0, ) …………13 分 21. (Ⅰ)由题意得: 3 24 , 4, 2a a a a   ………… 2分 又椭圆 C 过 3(1, )2 点, 2 2 3 1 2+ 14 b   ( ) …………3分 2 3b  ………… 5分 椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  ………… 6分 (Ⅱ) 21, : 3c l y x   设 1 1 2 2, ), ( , ), ( , 3)M x y N x y P t t ( 则直线 1 1: 14 3MP x x y yl   ………… 7分 直线 2 2: 14 3PN x x y yl   …………8分 又 , 3)P t t ( 在上述两切线上, 1 1( 3) 14 3 x t y t    , 2 2 ( 3) 14 3 x t y t   直线 : ( 3) 14 3MN tx t yl   …………10分 即: (3 4 ) 12 12 0x y t y    由 3 4 0 12 12 0 x y y      得 4 3 1 x y      直线 MN 过定点,且定点坐标为 4( , 1)3  …13分

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