海淀区2016届高三下学期期中练习数学(理)试卷及答案
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海淀区2016届高三下学期期中练习数学(理)试卷及答案

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资料简介
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(理科) 2016.4 本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.函数 ( ) 2 1xf x   的定义域为 A.[0,+  ) B.[1,+  ) C.(-  ,0] D.(-  ,1] 2.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位),则输出的S 值为 A.-1 B.1 C.-i D.i 3.若x,y 满足 2 0 4 0 0 x y x y y          ,则 1 2z x y  的最大值为 A. 5 2 B.3 C. 7 2 D.4 4.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为 A. 3 3 B. 3 2 C. 2 3 3 D. 2 6 3 5.已知数列 na 的前n 项和为Sn,则“  na 为常数列”是 “ *, n nn N S na   ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在极坐标系中,圆C1 : 2cos  与圆C2: 2sin  相交于 A,B两点,则|AB|= A.1 B. 2 C. 3 D. 2 7.已知函数 sin( ), 0( ) cos( ), 0 x a xf x x b x      是偶函数,则下列结论可能成立的是 A. ,4 4a b    B. 2 ,3 6a b   C. ,3 6a b   D. 5 2,6 3a b   8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则 下列叙述正确的是 A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作 C.丙可以不承担第三项工作 D.丁可以承担第三项工作 二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.已知向量 (1, ), ( ,9)a t b t   ,若 a b    ,则t = _______. 10.在等比数列 na 中,a2=2,且 1 3 1 1 5 4a a   ,则 1 3a a 的值为_______. 11.在三个数 1 2 3 1 ,2 .log 22  中,最小的数是_______. 12.已知双曲线C: 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线l 的倾斜角为 3  ,且C 的一个焦点到l 的距离 为 3 ,则C 的方程为_______. 13.如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1,2,3 中的一个. (ⅰ)当每条边上的三个数字之和为4 时,不同的填法有_______种; (ⅱ)当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种. 14.已知函数 ( )f x ,对于实数t ,若存在a>0,b >0 ,满足: [ , ]x t a t b    ,使得 | ( ) ( ) |f x f t  2,则记a+b的最大值为H(t ). (ⅰ)当 ( )f x =2x时,H(0)= _______. (ⅱ)当 ( )f x 2x 且t [1,2] 时,函数H(t)的值域为_______. 三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13 分) 如图,在△ABC 中,点D在边 AB上,且 1 3 AD DB  .记∠ACD= ,∠BCD=  . (Ⅰ)求证: sin 3sin AC BC   ; (Ⅱ)若 , , 196 2 AB     ,求BC 的长. 16.(本小题满分13 分) 2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广.2015 年12 月10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示: (Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量; (Ⅱ)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 2 1s , 2 2s ,根据样本数据, 试估计 2 1s 与 2 2s 的大小关系(只需写出结论); (Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株,记这2 株的产量总和为 ,求 随机变量 的分布列和数学期望. 17.(本小题满分14 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证: BC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四个点在同一个平面内; (Ⅲ)当PA=AB=2,二面角C-AN -D的大小为 3  时,求PN 的长. 18.(本小题满分13 分) 已知函数f (x) =ln x+ 1 x -1, 1( ) ln xg x x  (Ⅰ)求函数 f (x)的最小值; (Ⅱ)求函数g(x)的单调区间; (Ⅲ)求证:直线 y=x不是曲线 y =g(x)的切线。 19.(本小题满分14 分) 已知椭圆C: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点, 且|AB|=2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在 y轴的右侧.直线PA,PB与直线x= 4 分别交于M , N 两点.若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E , F ,求点P 横 坐标的取值范围及|EF|的最大值. 20.(本小题满分13 分) 给定正整数n(n≥3),集合  1,2, ,nU n  .若存在集合A,B,C,同时满足下 列条件: ① U n =A∪B∪C,且A∩B = B∩C =A∩C= ; ②集合A 中的元素都为奇数,集合B 中的元素都为偶数,所有能被3 整除的数都在集 合C 中(集合C 中还可以包含其它数); ③集合A , B ,C 中各元素之和分别记为SA , SB ,SC ,有SA =SB =SC ; 则称集合 Un为可分集合. (Ⅰ)已知U8为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A , B ,C ; (Ⅱ)证明:若n 是3 的倍数,则Un不是可分集合; (Ⅲ)若Un为可分集合且n 为奇数,求n 的最小值. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学(理科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C A C B C B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 在 ACD 中,由正弦定理,有 sin sin AC AD ADC  …………………2 分 在 BCD 中 , 由 正 弦 定 理 , 有 sin sin BC BD BDC  …………………4 分 因为 πADC BDC    ,所以sin sinADC BDC   …………………6 分 因为 1 3 AD DB  , 所以 sin 3sin AC BC   …………………7 分 (Ⅱ)因为 π 6   , π 2   , 9. 3 10. 5 11. 1 2 12. 2 2 13 yx   13. 4,6 14. 2, [ 6 2,2) [2 3,4]  由(Ⅰ)得 πsin 32 π 23sin 6 AC BC   …………………9 分 设 2 , 3 , 0AC k BC k k   ,由余弦定理, 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC ACB      …………………11 分 代入,得到 2 2 2π19 4 9 2 2 3 cos 3k k k k      , 解得 1k  ,所以 3BC  . …………………13 分 16 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.6 44x     …………………2 分 则山下试验田100 株青蒿的青蒿素产量 S 估算为 100 400S x  g …………………3 分 (Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 2 1s 和 2 2s ,结果为 2 1s  2 2s . …………………6 分 (Ⅲ)依题意,随机变量 可以取7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4, , , , , , …………………7 分 1( 7.2) 4P    , 1( 7.4) 8P    1( 8) 4P    , 1( 8.2) 8P    1( 8.6) 8P    , 1( 9.4) 8P    …………………9 分 随机变量 的分布列为 …………………11 分 随机变量 的期望 1 1 1 1 1 1( ) 7.2 7.4 +8 +8.2 +8.6 +9.4 =84 8 4 8 8 8E          . …………………13 分  7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4 p 1 4 1 8 1 4 1 8 1 8 1 8 17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB BC , …………………1 分 因为 PA  平面 ABCD , BC  平面 ABCD , 所以 PA BC . …………………2 分 因为 AB PA A ,且 AB , PA  平面 PAB , 所以 BC  平面 PAB …………………4 分 (Ⅱ)证明:因为 BC  平面 PAB , PB  平面 PAB , [来源:Z.Com] 所以 BC PB …………………5 分 在 PBC 中, BC PB , MN PB , 所以 MN BC . …………………6 分 在正方形 ABCD 中, AD BC , 所以 MN AD , …………………7 分 所以 MN AD, 可以确定一个平面,记为 所以 , , ,M N D A四个点在同一个平面 内 …………………8 分 (Ⅲ)因为 PA  平面 ABCD , ,AB AD  平面 ABCD , 所以 PA AB , PA AD . 又 AB AD ,如图,以 A 为原点, , ,AB AD AP 所在直线为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系 A xyz , …………………9 分 所以 (2,2,0), (0,2,0), (2,0,0), (0,0,2)C D B P . 设平面 DAN 的一个法向量为 ( , , )n x y z , 平面 CAN 的一个法向量为 ( , , )m a b c , 设 PN PC  , [0,1]  , 因为 (2,2, 2)PC   ,所以 (2 ,2 ,2 2 )AN     , 又 (0,2,0)AD  ,所以 0 0 AN n AD n          ,即 2 2 (2 2 ) 0 2 0 x y z y         ,…………………10 分 取 1z  , 得到 1( ,0,1)n    , …………………11 分 因为 (0,0,2)AP  , (2,2,0)AC  所以 0 0 AP m AC m          ,即 2 0 2 2 0 c a b     , 取 1a  得, 到 (1, 1,0)m   , …………………12 分 因为二面C AN D  大小为 3  , 所以 π 1|cos , | cos 3 2m n     , 所以 2 1 1|cos , | 2| || | 12 ( ) 1 m nm n m n                  解得 1 2   , 所以 3PN  …………………14 分 18 解: (Ⅰ)函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) , …………………1 分 2 2 1 1 1'( ) xf x x x x    …………………2 分 当 x 变化时, '( )f x , ( )f x 的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1, ) '( )f x  0  ( )f x  极小值  …………………4 分 函数 ( )f x 在 ( , )0 上的极小值为 1( ) ln1 1 01f a     , 所以 ( )f x 的最小值为 0 …………………5 分 (Ⅱ)解:函数 ( )g x 的定义域为 (0,1) (1, ) , …………………6 分 2 2 2 1 1ln ( 1) ln 1 ( )'( ) ln ln ln x x x f xx xg x x x x        …………………7 分 由(Ⅰ)得, ( ) 0f x  ,所以 '( ) 0g x  …………………8 分 所以 ( )g x 的单调增区间是 (0,1),(1, ) ,无单调减区间. …………………9 分 (Ⅲ)证明:假设直线 y x 是曲线 ( )g x 的切线. ………………10 分 设切点为 0 0( , )x y ,则 0'( ) 1g x  ,即 0 0 2 0 1ln 1 1ln x x x    …………………11 分 又 0 0 0 0 0 1,ln xy y xx   ,则 0 0 0 1 ln x xx   . …………………12 分 所以 0 0 0 0 1 1ln 1xx x x    , 得 0'( ) 0g x  ,与 0'( ) 1g x  矛盾 所以假设不成立,直线 y x 不是曲线 ( )g x 的切线 …………………13 分 19 解:(Ⅰ)由题意可得, 1b  , …………………1 分 3 2 ce a   , …………………2 分 得 2 2 1 3 4 a a   , …………………3 分 解 2 4a  , …………………4 分 椭圆C 的标准方程为 2 2 14 x y  . …………………5 分 (Ⅱ)设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  , (0,1)A , (0, 1)B  , 所以 0 0 1 PA yk x  ,直线 PA 的方程为 0 0 1 1yy xx   , …………………6 分 同理:直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   , 直线 PA 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yM x   , …………………7 分 直线 PB 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yN x   , 线段 MN 的中点 0 0 4(4, )y x , …………………8 分 所以圆的方程为 2 2 20 0 0 4 4( 4) ( ) (1 )yx y x x      , …………………9 分 令 0y  ,则 2 2 20 0 2 0 16( 4) (1 )4 y xx x     , …………………10 分 因为 2 20 0 14 x y  ,所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , …………………11 分 所以 2 0 8( 4) 5 0x x     , 因为这个圆与 x 轴相交,该方程有两个不同的实数解,[来源:Z|xx|k.Com] 所以 0 85 0x   ,解得 0 8( ,2]5x  . …………………12 分 设交点坐标 1 2( ,0),( ,0)x x ,则 1 2 0 8| | 2 5x x x    ( 0 8 25 x  ) 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法二:(Ⅱ)设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  , (0,1)A , (0, 1)B  , 所以 0 0 1 PA yk x  ,直线 PA 的方程为 0 0 1 1yy xx   , …………………6 分 同理:直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   , 直线 PA 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yM x   , …………………7 分 直线 PB 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yN x   , 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交, 则 0 0 4( 1)[ 1]y x    0 0 4( 1)[ 1] 0y x    , …………………9 分 即 2 0 0 0 2 0 0 0 16( 1) 4( 1) 4( 1) 1 0,y y y x x x       即 2 0 2 0 0 16( 1) 8 1 0.y x x     …………………10 分 因为 2 20 0 14 x y  ,所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , …………………11 分 代入得到 0 85 0x   ,解得 0 8( ,2]5x  . …………………12 分 该圆的直径为 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 8| +1 ( 1)|=|2 |y y x x x     , 圆心到 x 轴的距离为 0 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 41 | +1+( 1)|=| |2 y y y x x x    , 该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 20 0 0 0 44 8 82 (1 ) ( ) 2 5 ,( 2)5 y xx x x       ; 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法三: (Ⅱ)设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  , (0,1)A , (0, 1)B  , 所以 0 0 1 PA yk x  ,直线 PA 的方程为 0 0 1 1yy xx   , …………………6 分 同理:直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   , 直线 PA 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yM x   , …………………7 分 直线 PB 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yN x   , 所以 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 8| |=| +1 ( 1)|=|2 |y yMN x x x     , …………………8 分 圆心到 x 轴的距离为 0 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 41 | +1+( 1)|=| |2 y y y x x x    , …………………9 分 若该圆与 x 轴相交,则 0 4|1 |x   0 0 4| |y x , …………………10 分 即 2 20 0 0 44(1 ) ( ) 0y x x    , 因为 2 20 0 14 x y  ,所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , …………………11 分 所以 0 85 0x   ,解得 0 8( ,2]5x  …………………12 分 该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 20 0 0 0 4 4 8 82 (1 ) ( ) 2 5 2 5 =22 y x x x       ; 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法四: 记 (2 0)D , , (4 0)H , ,设 0 0( , ) (4, ) (4, )P x y M m N n 由已知可得 (0,1) (0, 1)A B  , 所以 AP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   , ……………………….6 分 BP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   , 令 4x  ,分别可得 0 0 4( 1) 1ym x   , 0 0 4( 1) 1yn x   , ……………………….8 分 所以 0 0 4( 1)(4, 1),yM x   0 0 4( 1)(4 1)yN x  , 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 ,E F , 因为 EH MN , 所以 2EH HN HM  , ……………………….9 分 2 0 0 0 0 4( 1) 4( 1)( 1) ( 1)y yEH HN HM x x         2 2 0 0 0 2 0 16 16 8( )y x x x     ……………………….10 分 因为 2 20 0 14 x y  ,所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , ……………………….11 分 代入得到 2EH  2 0 0 2 0 8 5 0x x x   所以 0 8( ,2]5x  , ……………………….12 分 所以 0 8 82 2 5 2 5 22EF EH x       所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法五: 设直线 OP 与 4x  交于点T 因为 //MN y 轴,所以有 , ,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT     所以 AO BO TN TM  ,所以TN TM ,所以T 是 MN 的中点. ……………………….6 分 又设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  , 所以直线OP 方程为 0 0 yy xx  , ……………………….7 分 令 4x  ,得 0 0 4yy x  , 所以 0 0 4(4 )yT x , ……………………….8 分 而 0 4 1r TN x    ……………………….9 分 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 ,E F 则 0 0 0 4 4| | 1yd rx x     ……………………….10 分 所以 2 2 0 016 ( 4)y x  因为 2 20 0 14 x y  ,所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    ,代入得到 ……………………….11 分 所以 2 0 05 8 0x x  ,所以 0 8 5x  或 0 0x  因为点 00 2x  ,所以 0 8 25 x  ……………………….12 分 而 2 2 2 20 0 0 4 42 2 ( 1) ( )yEF r d x x      0 8 82 5 2 5 22x      所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 20 解: (I)依照题意,可以取  5,7A  ,  4,8B  ,  1,2,3,6C  …………………3 分 (II)假设存在 n 是3的倍数且 nU 是可分集合. 设 3n k ,则依照题意{3,6, ,3 }k C  , 故 CS  23 33 6 3 2 k kk    , 而这 n 个数的和为 (1 ) 2 n n ,故 21 (1 ) 3 3 2 2C n n k kS     23 3 2 k k , 矛盾, 所以 n 是 3 的倍数时, nU 一定不是可分集合 …………………7 分 (Ⅲ) n  35. …………………8 分 因为所有元素和为 (1 ) 2 n n ,又 BS 中元素是偶数,所以 (1 ) 32 B n n S  = 6m ( m 为正整数) 所以 (1 ) 12n n m  ,因为 , 1n n  为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数 由(Ⅱ)知道, n 不是 3 的倍数,所以一定有 1n  是 3 的倍数. [来源:Z+xx+k.Com] 当 n 为奇数时, 1n  为偶数,而 (1 ) 12n n m  , 所以一定有 1n  既是 3 的倍数,又是 4 的倍数,所以 1 12n k  , 所以 *12 1,n k k   N . …………………10 分 定义集合 {1,5,7,11,...}D  ,即集合 D 由集合 nU 中所有不是 3 的倍数的奇数组成, 定义集合 {2,4,8,10,...}E  ,即集合 E 由集合 nU 中所有不是 3 的倍数的偶数组成, 根据集合 , ,A B C 的性质知道,集合 ,A D B E  , 此时集合 ,D E 中的元素之和都是 224k ,而 21 (1 ) 24 23 2A B C n nS S S k k     , 此时 nU 中所有 3 的倍数的和为 2(3 12 3)(4 1) 24 62 k k k k     , 2 224 (24 2 ) 2k k k k   , 2 2(24 2 ) (24 6 ) 4k k k k k    显然必须从集合 ,D E 中各取出一些元素,这些元素的和都是 2k , 所以从集合 {1,5,7,11,...}D  中必须取偶数个元素放到集合C 中,所以 2 6k  , 所以 3k  ,此时 35n  而令集合 {7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A  , 集合 {8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B  , 集合 {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C  , 检验可知,此时 35U 是可分集合, 所以 n 的最小值为 35. …………………13 分 不用注册,免费下载!

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