专题08 基本不等式(客观题)(理)(解析版)-2021年高考数学(理)二轮复习热点题型精选精练
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资料简介
专题 08 基本不等式(客观题) 一、单选题 1.已知 0, 0a b  ,且 1 1 1a b   ,则 4a b 的最小值是 A.2 B.6 C.3 D.9 【试题来源】湖南省湘潭市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟(理) 【答案】D 【解析】   1 1 4 44 4 5 5 2 9a b a ba b a b a b b a b a               , 当且仅当 3 2a  , 3b  时取等号,故选 D. 2.设正实数 a ,b 满足 2a kb  (其中 k 为正常数),若 ab 的最大值为 3,则 k  A.3 B. 3 2 C. 2 3 D. 1 3 【试题来源】广东省 2021 届高三上学期第二次月考 【答案】D 【解析】因为正实数 a ,b 满足 2a kb  (其中 k 为正常数), 所以 2( ) 12 a kba kb    ,则 1a b k   ,所以 1 3k  ,所以 1 3k  ,故选 D. 3.已知 41 3m  ,则 2 3 1 4 3m m   的最小值是 A.3 2 9 B. 3 6 C. 6 2 9 D.12 【试题来源】山东新高考质量测评联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考 【答案】C 【解析】 41 3m  1 0,4 3 0m m     , 2 3 6(4 3 ) 3(3 3)9 9 6 21 4 3 3 3 4 3 m m m m m m           , 当且仅当 6(4 3 ) 3(3 3) 3 3 4 3 m m m m    ,又 41 3m  故 5 2 3m  时取等号.故选 C. 4.已知 a>0,b>0,4a+b+2=2ab,则下列不等式一定成立的是 A.a+b≥7 B.a+b≤5 C.2a+b≥7 D.2a+b≤6 【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属 2021 届高三年级上学期数学第三次月考试题 【答案】C 【解析】因为 4a+b+2=2ab,所以 4 2 2 1 ab a   ,因为 a>0,b>0,所以 1 2a  , 所 以 4 2 2 1 aa b a a     2 1 1 2 aa a    1 2 5 12 2 2 a a      1 22 ( ) 12 2 a a     5 2  52 2 2   , 当且仅当 1 22a   , 2 2b   时,等号成立,故 ,A B 不正确; 4 22 2 2 1 aa b a a     42 1 32 1a a     42 (2 1) 3 72 1a a      , 当且仅当 3 , 42a b  时,等号成立,故C 正确, D 不正确.故选 C. 5.点 A、 B 、C 为直线l 上互异的三点,点 P l ,若 PA xPB yPC    ( 0, 0x y  ), 则 1 9 x y  的最小值 A.16 B.17 C.18 D.19 【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学 2020-2021 学年高三上学期第二次月考 【答案】A 【解析】因为点 A、B 、C 为直线l 上互异的三点,所以存在实数t ,使得  1AB t AC t   , 又点 P l ,所以  PB PA t PC PA      ,则  1t PA tPC PB     , 因此 1 1 1 tPA PC PBt t       ,又 PA xPB yPC    ,所以 1 11 1 tx y t t      , 所以  1 9 1 9 91 9 10 2 9 16y xx yx y x y x y               , 当且仅当 9y x x y  ,即 1 4 3 4 x y     时,等号成立.故选 A. 6.“ 4 4x x   ”是“ 1 2x  ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考 2020-2021 年第一学期高三(理) 【答案】B 【解析】当 4 4x x   时,得 0x  ,充分性不成立; 当 1 2x  时,由均值不等式可得 4 42 4x xx x     ,当且仅当 2x  时取等号, 必要性成立,故“ 4 4x x   ”是“ 1 2x  ”的必要不充分条件.故选 B. 7.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 A. 24 5 B. 28 5 C.5 D.6 【试题来源】2020 届新疆库车县乌尊镇中学高三上学期月考(理) 【答案】C 【解析】由已知可得 3 1 15 5x y   , 则 3 1 9 4 12 3 13 123 4 ( )(3 4 ) 55 5 5 5 5 5 5 5 y xx y x yx y x y            , 所以3 4x y 的最小值5,故选 C. 8.五一期间小红父母决定自驾汽车匀速到北京自驾游,全段路程1200km ,速度 v 不能超 过120km / h ,而汽车每小时的运输成本为 21 20050 v  元,为全程运输成本最小,则汽车 的行驶速度为 A. 90km / h B.100km / h C.110km / h D.120km / h 【试题来源】北京市 2020 届高三数学高考考前冲刺模拟试题 【答案】B 【解析】由题可得汽车全程运输成本 21200 240000 24000024 2 24 481 2 000050y v vv v vv          , 当且仅当 24000024v v  即 100v  时, y 最小.故选 B. 9.已知 2 1( 0, 0)a b a b    ,则 2 1b a b  的最小值等于 A.3+ 2 2 B. 2 2 2 C.3 D. 2 2 1 【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月教学调研 【答案】B 【解析】因为 2 1( 0, 0)a b a b    ,所以 1 2 0a b   ,则 10 2b  , 所以 2 1 2 1 2 1 1 1 111 2 1 2 1 2 1b b b a b b b b b b b              1 2 1 2 2 1 21 1 2 2 1 1 2 21 2 1 1 2 1 2 b b b bb bb b b b b b                              2 1 22 2 2 2 21 2 b b b b      ,当且仅当 2 1 2 1 2 b b b b  ,即 21 2b = - 时, 等号成立;故选 B. 10.已知 0, 0, 6m n m n    ,则 2 8 m n  的最小值是 A. 4 2 B.4 C. 6 D.3 【试题来源】广东省 2021 届高三上学期第二次联考 【答案】D 【解析】因为 0m  , 0n  , 6m n  , 所以 2 8 1 2 8 1 2 8( )( ) (10 ) 36 6 n mm nm n m n m n         , 当且仅当 2n m  8m n ,即 2m  , 4n  时取等号.故选 D. 11.设 a,b R ,且 0a b  ,则 A. 1 1 a b  B. b a a b  C. 2 a b ab  D. 2b a a b   【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三上学期期中考 【答案】D 【解析】 0a b Q , 1 1 a b   ,故 A 错; 0a b Q , 2 2a b  ,即 2 2 0, 0b a ab   , 可得 2 2 0b a b a a b ab    , b a a b   ,故 B 错; 0a b Q , 02 a b  ,而 0ab  ,则 2 a b ab  ,故 C 错; 0a b Q , 0, 0b a a b    , 2 2b a b a a b a b     ,等号取不到,故 D 正确;故选 D. 12.已知 0 0 4 2m n m n   , , ,则 4 1 m n  的最小值为 A.36 B.16 C.8 D.4 【试题来源】福建省福州市八县(市)一中 2021 届高三上学期期中联考 【答案】C 【 解 析 】 0 0 4 2m n m n    , , ,  4 1 1 4 1 1= 4 = 82 1 2 6m nm n m n m m n n                1 8 2 =82 16n m m n        , 当且 仅当 16 =n m m n 时即 11, 4m n  时等号成立,故 4 1 m n  的最小值为 8.故选 C. 13.函数 3( ) 1 xf x x   的最大值是 A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D.1 【试题来源】山西省大同市 2021 届高三上学期期中质量检测(理) 【答案】A 【解析】令 3 ( 0)x t t  … ,则 2 3x t  , 求函数 3( ) 1 xf x x   的最大值可化为 2( ) 4 tg t t   , 0t  时, (0) 0g  0t  ,有 2 1 1 10 ( ) 44 442 tg t t t tt t       „ ,当且仅当 2t  时“ ”成立, 综上, 10 ( ) 4g t „ , 3( ) 1 xf x x   的最大值为 1 4 ,故选 A. 14.已知实数 a ,b 满足  ln ln ln 3a b a b    ,则 a b的最小值为 A.2 B.4 C.2 D.6 【试题来源】“皖赣联考”2021 届高三第一学期第三次考试 (理) 【答案】D 【解析】依题意  ln ln ln ln 3a b ab a b     由已知得 3ab a b   ,即  1 1 4a b   ,       1 1 2 2 1 1 2 6a b a b a b           , 当且仅当 1 1a b   ,即 3a b  时取等号.故选 D. 15.《几何原本》卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理 问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称 之为无字证明.现有如图所示图形,点 F 在半圆O 上,点C 在直径 AB 上,且OF AB , 设 AC a , BC b ,则该图形可以完成的无字证明为 A. ( 0, 0)2 a b ab a b    B. 2 2 2 ( 0, 0)a b ab a b    C. 2 ( 0, 0)ab ab a ba b    D. 2 2 ( 0, 0)2 2 a b a b a b    【试题来源】2021 届高考数学复习(理)一轮讲练测 【答案】D 【解析】由 AC=a,BC=b,可得圆 O 的半径 r= 2 a b , 又 OC=OB-BC= 2 a b -b= 2 a b , 则 FC2=OC2+OF2= 2( ) 4 a b + 2( ) 4 a b = 2 2 2 a b , 再根据题图知 FO≤FC,即 2 a b ≤ 2 2 2 a b ,当且仅当 a=b 时取等号.故选 D. 16.已知 , ,x y z 都是正数,且 1x y z xyz    , ( )( )x y y z  的最小值 A.1 B. 2 C.3 D. 4 【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中 【答案】B 【解析】 ( )( )x y y z   2xy y xz yz y x y z xz        1 1 12 2y xz xz xzxyz xz xz         ,当且仅当 1 , 1xz xzxz   时等号成立.故选 B. 17.若 0mn  , 3m n  ,则 1 4 m n  的最小值为 A.2 B.6 C.9 D.3 【试题来源】河北省沧州市七校联盟 2021 届高三上学期期中 【答案】D 【解析】因为 0mn  , 3m n  , 所以 1 4 1 1 4 1 4( ) 53 3 n mm nm n m n m n                 1 45 2 33 n m m n         . 当且仅当 4n m m n  ,即 1m  , 2n  时取等号.故选 D. 18.已知函数   2 , 1 4 3, 1 x x f x x xx       ,则  f x 的值域是 A. 1, B. 0, C.  1, D.   0,1 1,U 【试题来源】新疆呼图壁县第一中学 2021 届高三上学期第二次月考(理) 【答案】B 【分析】考虑 1x  和 1x  两种情况,根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案. 【解析】当 1x  时,  2 0,y x   ; 当 1x  时, 4 3 2 4 3 1y x x       ,当 2x  时等号成立. 故函数值域为 0, .故选 B. 19.在 ABC 中,内角 A,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c ,且 sin 2 sin 0a B b A  , 若 2a c  ,则边b 的最小值为 A. 2 B.3 3 C.2 D. 3 【试题来源】江西省南昌市新建县第一中学 2021 届高三第一次月考(文) 【答案】D 【解析】根据 sin2 sin 0a B b A  由正弦定理可得sin sin2 sin sin 0A B B A  , 即 2sin sin cos sin sin 0A B B B A  , sin 0,sin 0A B  , 1cos 2B   , 2 3B   , 由余弦定理可得  22 2 2 2 22 cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac           . 2 2a c ac   , 1ac  . 2 4 3b ac    ,即 3b  , 故边b 的最小值为 3 .故选 D. 20.若 1a  ,设函数   4xf x a x   的零点为  , log 4am g x x x   的零点为 n ,则 1 1 m n  的取值范围是 A. 7 ,2     B. 1, C.  4, D. 9 ,2     【试题来源】四川省射洪中学校 2020-2021 学年高三上学期第二次月考(理) 【答案】B 【解析】函数 ( ) 4xf x a x   的零点是函数 xy a 与函数 4y x  图象交点 A的横坐标, 函数 ( ) log 4ag x x x   的零点是函数 logay x 与函数 4y x  图象交点 B 的横坐标, 由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线 y x 对称, 直线 4y x  与直线 y x 垂直,故直线 4y x  与直线 y x 的交点 (2,2) 即是 A,B 的 中点, 4m n   , 1 1 1 1 1 1( )( ) (2 ) 14 4 m nm nm n m n n m        … , 当 2m n  等号成立,而 4m n  ,故 1 1 1m n  … , 故所求的取值范围是[1, ) .故选 B. 21.已知正数 a 、b 满足 1 2 3a b   ,则   1 2a b  的最小值是 A.16 3 B. 50 9 C. 49 9 D. 6 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第二次质检 【答案】B 【解析】 1 2 3a b   , 2 1 3 13 a b a a     , 2 3 1 ab a    , 由于 a 、b 为正数,则 2 03 1 a a  且 0a  ,可得 1 3a  .         28 2 12 8 6 21 2 1 23 1 3 1 3 1 a aa a aa b a a a a                 , 令 3 1 0t a   ,可得 1 3 ta  , 所以,   28 6 2 1 81 2 8 343 1 9 a aa b ta t             1 8 502 8 349 9t t          . 当且仅当 1t  时,即当 2 3a  时,等号成立,因此,  1 2a b  的最小值为 50 9 .故选 B. 22.已知 0x  , 0y  , lg 4 lg 2 lg8x y  ,则 1 4 2x y  的最小值是. A.3 B. 9 4 C. 46 15 D.9 【试题来源】江苏省淮安市五校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考 【答案】A 【解析】 0x > , 0y  , 4 2 8x ylg lg lg  ,所以 4 2 8x y  ,即 2 3x y  , 则  1 4 1 1 4 1 8 1 82 5 5 22 3 2 3 2 3 2 y x y xx yx y x y x y x y                          3 , 当且仅当 8 2 y x x y  且 2 3x y  即 1 2x  , 2y  时取等号, 则 1 4 2x y  的最小值是 3.故选 A. 23.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理 300 吨垃圾, 最多要处理 600 吨垃圾,月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示 为 21 300 800002y x x   ,为使每吨的平均.....处理成本最低,该厂每月处理量应为 A.300 吨 B.400 吨 C.500 吨 D.600 吨 【试题来源】湖北省宜昌市 2019-2020 学年高三上学期元月调研考试(文) 【答案】B 【解析】由题意,月处理成本(元)与月处理量(吨)的函数关系为 21 300 800002y x x   , 所以平均处理成本为 21 300 80000 800002 3002 x xy xs x x x        ,其中 300 600x  , 又由 80000 80000300 2 300 400 300 1002 2 x x x x         , 当且仅当 80000 2 x x  时,即 400x  时,每吨的平均处理成本最低.故选 B. 24.已知 0a  , 0b  ,若 4a b  ,则 A. 2 2a b 有最小值 B. ab 有最小值 C. 1 1 a b  有最大值 D. 1 a b 有最大值 【试题来源】上海市交通大学附属中学 2021 届高三上学期 10 月月考 【答案】A 【解析】由题意,可知 a 0 , b 0 ,且 a b 4  , 因为 0, 0a b  ,则 2a b ab  ,即 2( ) 42 a bab   , 所以  22 2a b a b 2ab 16 2ab      16 2 4 8    , 当且仅当 2a b  时,等号成立,取得最小值8 ,故选 A. 25.甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻,振兴中华”合唱比赛中,7 位评委的评分情况如茎 叶图所示,其中甲班成绩的中位数是 81,乙班成绩的平均数是 86,若正实数 a、b 满足:a, G,b 成等差数列且 x,G,y 成等比数列,则 1 4 a b  的最小值为 A. 4 9 B.2 C.8 D. 9 4 【试题来源】广西 2021 届高三上学期数学(文)10 月份考试 【答案】D 【解析】由于甲班成绩的中位数是81,乙班成绩的平均数是86 ,结合茎叶图可知, 1x  , 76 80 82 80 91 93 96 867 y        ,解得 4y  .由于正实数 a、b 满足:a,G,b 成等差数列且 x,G,y 成等比数列,所以 2 2G a b G xy     ,即 2 4, 42 a b a b       .所以    1 4 1 1 4 1 4 1 4 1 95 5 2 5 44 4 4 4 4 a b a ba ba b a b b a b a                              .故选 D. 26.已知 1F , 2F 为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左右焦点,过 1F 的直线 l 与双曲线的左 右两支分别交于 A,B 两点,若 2ABF 为等边三角形,则 2 2 1b a  的最小值为 A. 6 3 B. 66 3  C. 6 2 6 D. 2 6 【试题来源】浙江省东阳中学 2021 届高三暑期第三次检测 【答案】D 【解析】由双曲线定义知 1 2 2BF BF a  ,又 2BA BF ,故 1 2 ,AF a 由双曲线定义知 2 1 2AF AF a  ,得 2 4AF a , 在 1 2AF F△ 中, 1 2 1 2 1 2 22 , 4 , 2 , 3AF a AF a F F c F AF      , 由余弦定理得     2 2 2 22 2 4 2 2 4 cos 3c a a a a       ,即 2 27c a , 2 2 2 26b c a a    , 2 2 2 2 1 16 2 6b aa a      , 当且仅当 2 2 16a a  即 2 6 6a  时取等号.故选 D. 27.已知函数     1, 1 2 , 1x mx x f x n x      ,在 R 上单调递增,则 mn 的最大值为 A.2 B.1 C. 9 4 D. 1 4 【试题来源】江苏省无锡市 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】D 【解析】由题意可知,函数在 R 上单调递增,则 0 2 1 1 2 m n m n         ,解得 0 1 1 m n m n       , 则由基本不等式可得 2 21 1 2 2 4 m nmn             ,当且仅当 m=n= 1 2 时取等号.故选 D. 28.若向量  1,2a x  r ,  4,b y 相互垂直,则9 3x y 的最小值为 A.6 B. 2 3 C.3 2 D.12 【试题来源】陕西省咸阳市高新一中 2020-2021 学年高三上学期第三次质量检测(理) 【答案】A 【解析】因为 a b  ,所以 0a b   ,即  4 1 2 0x y   ,所以 2 2x y  . 则 2 2 2 29 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 6x y x y x y x y        , 当且仅当 23 3x y , 2 1x y  取等号,所以最小值为 6,故选 A. 29.已知函数 ( ) |lg |, , ( ) ( )f x x a b f a f b   ,且 3 3a b m  恒成立,那么 m 的最大值 等于 A.8 B. 2 3 C. 3 D.2 【试题来源】北京师范大学第二附属中学 2021 届高三 10 月月考 【答案】D 【解析】 ( ) | lg |f x x 的定义域为 (0, ) ,所以 0a b  , 由 ( ) ( )f a f b 得| lg | | lg |a b ,得 lg lga b 或 lg lga b  , 因为 a b ,所以 lg lga b ,所以 lg lga b  ,即 lg lg 0a b  ,则 lg( ) 0ab  , 1ab  , 即 1b a  ,所以 3 3 3 3 3 3 1 12 2a b a aa a       ,当且仅当 1a  时,等号成立, 而当 1a  时, 1 1b a   ,与 a b 矛盾,所以基本不等式中的等号取不到, 所以 3 3 2a b  ,所以由 3 3a b m  恒成立,可得 2m  ,则 m 的最大值等于 2 .故选 D. 30.已知 4 2 2 3 3 1 x xy x    ,则 y 的最小值为 A.1 B. 2 C. 2 D.3 【试题来源】2021 年高考一轮数学(理)单元复习一遍过 【答案】D 【解析】令 2 1t x  ,则 1t  且 2 1x t  , 所以 4 2 2 2 2 3 3 ( 1) 3( 1) 3 1 1 11 x x t t t ty tx t t t              . 因为 1t  ,所以 1 12 2t tt t     ,当且仅当 1t t  ,即 1t  时,等号成立, 所以当 0x  时, y 取得最小值3.故选 D. 【名师点睛】解答本题的关键是换元和化简得到 4 2 2 3 3 1 11 x xy tx t      .对于高次或比 较复杂的式子,首先要注意观察,尝试换元,化复杂为简单,提高解题效率. 31.已知 0, 0, 1a b a b    ,则下列不等式一定成立....的是 A. b aa b B. b aa b C. 1 2 a ba b  D. 1a ba b  【试题来源】江苏省苏州市八校联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月第一次适应性检测 【答案】C 【解析】由题意 0 1a  , 0 1b  ,所以函数 ,x xy a y b  均为单调递减函数. 而函数 ,a by x y x  在 0  , 上均为增函数. 对于 A,当 a b 时, b a aa a b  ,故 A 错误; 对于 B,当 a b 时, b a aa a b  ,故 B 错误; 对于 C,由 aa a , bb b , 2 2 2 a b a b      , 所以 1 2a b  , 1 2 a ba b a b    ,故 C 正确; 对于 D,取 1 4a b  ,可得 2 1a ba b   ,故 D 错误.故选 C. 32.若函数 21( ) ln 2f x x cx x   存在垂直于 y 轴的切线,又     3 3 log 0 , 0 x g x x a b x      , 且有  (1) 1g g  ,则 a b c  的最小值为 A.1 B. 2 C. 2 1 D.3 【试题来源】四川省遂宁市 2021 届高三零诊考试(理) 【答案】D 【解析】由题意,函数  f x 的定义域为( )0,+¥ ,且 1( )f x c xx     , 因为函数  f x 存在垂直于 y 轴的切线,所以存在 0 0x  ,使得 0 0 0 1( ) 0f x c xx      成立, 所以 0 0 0 0 1 12 2c x xx x      ,当且仅当 0 0 1 xx  ,即 0 1x  时,等号成立, 又        3 3(1) log 1 0 1g g g g a b     ,所以 1a b  , 则 1 1 2 3a b c c       .故选 D. 33 . 已 知 二 次 不 等 式  2 2 2 0 ,ax x b a b    R 的 解 集 为 2x x a         , 则  2 2 2y a b a b    的最小值为. A. 2 4 2 B. 2 4 2 C. 4 4 2 D. 4 4 2 【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试 THUSSAT2021 届高三诊断性测试 (文)(一) 【答案】C 【解析】因为二次不等式  2 2 2 0 ,ax x b a b    R 的解集为 2x x a         , 所以 8 4 0 0 ab a       ,即 2ab  , 0, 0a b  , 所以 2 2 2a b ab   ,当且 a b 时,等号成立, 所以        2 22 2 2 2 4 1 5y a b a b a b a b a b             , 所以当 2 2a b  时, y 最小,最小值为 4 4 2 ,故选 C. 34.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n ,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此 随楼层升高,环境不满程度降低,设住第 n 层楼时,环境不满意程度为 8 n ,则此人应选 A.1 楼 B.2 楼 C.3 楼 D.4 楼 【试题来源】贵阳市 2021 届高三调研考试 【答案】C 【解析】由题意,可得总的不满意度为 8 82 4 2n nn n     , 当且仅当 8n n  ,即 2 2 3n   时等号成立,所以选三楼.故选 C. 35.如图,某市一个圆形公园的中心为喷泉广场, A 为入口, B 为公园内紧贴围墙修建的 一 个 凉 亭 , C 为 公 园 内 紧 贴 围 墙 修 建 的 公 厕 , 已 知 300mAB  , 500mBC  , 120ABC   ,计划在公园内 D 处紧贴围墙再修建一座凉亭,若要使得四条直线小路 AB , BC , CD 和 DA 的总长度 L 最大,则 DC 的长度应为(凉亭和公厕的大小忽略不计) A.500m B.700m C. 700 3m D.1400 3 m3 【试题来源】百师联盟 2021 届一轮复习(二) 全国卷 III 理数试题 【答案】 B 【分析】连接 AC ,由余弦定理,在 ABC 中,求出 AC ;在 ACD△ 中,求出 AD 和 CD 的关系,利用基本不等式求出 AD CD 的最值即可. 【解析】连接 AC ,则由余弦定理可得 2 2 2 2 22 cos 300 500 2 300AC AB BC AB BC B         1500 4900002        , 所以 700AC  .因为四边形 ABCD 是该圆的内接四边形,所以 180 60D B     . 在 ACD△ 中, 2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD D     , 即 2 2490000 AD CD  AD CD  ,所以  2490000 3AD CD AD CD    , 所以  23AD CD AD CD    2 490000 3 2 AD CD     ,所以 1400AD CD  , 当且仅当 700AD CD  时等号成立,此时 L 取得最大值,故选 B. 36.在 ABC 中,点 D 是线段 BC 上任意一点(不包含端点),若 AD mAB nAC  uuur uuur uuur , 则 1 4 m n  的最小值是 A.4 B.9 C.8 D.13 【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试(四)(理) 【答案】B 【解析】因为点 D 是线段 BC 上任意一点(不包含端点),所以  0 1BD tBC t   uuur , 则 AD AB BD AB    uuur uuur uuur uuur    1tBC AB t AC AB t AB t AC      uuur uuur uuur uuur uuur uuur , 因为 AD mAB nAC  uuur uuur uuur ,所以 1m t  , n t ,所以 1m n  .因为 0 1t  , 所以 0m  , 0n  ,则  1 4 1 4 4 5 4 5 9m nm nm n m n n m              ,当且仅当 1 3m  , 2 3n  时,等号成立.故选 B. 【名师点睛】注意当 A,B,C 三点共线时,若OA OB OC     ,则必有 1   成立. 37.已知实数 a ,b 满足  ln ln ln 3a b a b    ,则 a b的最小值为 A. 2 3 B.4 C. 2 5 D.6 【试题来源】【南昌新东方】江西师大附中 2020 年-2021 学年高三上学期 11 月期中数学(理) 【答案】D 【解析】由已知得 3ab a b   , 0, 0a b  ,即   1 1 4a b   , 给 3ab a b   两边同除以 a ,得 31 b ba a    , 整理得, 1 3(1 ) 1ba a    ,当 1a  时,右边=0  左边=4,所以 1a  ,同理 1b  , 则 1 3a aba a    ,所以 3 411 1 ab a a     ,因为 0b  ,所以 1a  ,同理 1b  , 所以       1 1 2 2 1 1 2 6a b a b a b           , 当且仅当 3a b  时取等号.故选 D. 38.在 ABC 内角 A,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ,若   3 cos sin sin 1 cosA B A B   , 6a c  ,则 ABC 的面积的最大值为 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 2 2 【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年度上学期高三二调考试(理) 【答案】D 【解析】在 ABC 内角 A, B ,C 的对边分别是 a ,b , c , 若   3 cos sin sin 1 cosA B A B   , 整理得3sin sin sin cos cos sin sin sinB A B A B A A C     , 利用正弦定理:3b a c  ,由于 6a c  ,整理得3 6b a c   , 所以解得 2b  .因为 6a c  ,所以 6 2a c ac   , 整理可得 9ac  ,(当且仅当 3a c  时等号成立), 所以  22 2 2 2 4 16cos 2 2 a c aca c b acB ac ac ac        . 所以 2 4sin 1 cos 2 16B B acac      , 所以 1 4 2 16 2 2 16 2 22ABCS ac ac acac       △ , 当且仅当 3ac  时,等号成立.则 ABC 的面积的最大值为 2 2 .故选 D. 39.已知正数 x,y 满足  1 2x y   ,则 2x y 的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.8 【试题来源】河南省九师联盟 2020-2021 学年高三第一学期 11 月质量检测(理) 【答案】B 【解析】由题意,得 0x  , 1y  . 法一:    2 2 1 1 2 2 1 1 5x y x y x y         , 当且仅当 2 1x y  ,即 1x  , 3y  时, 2x y 的最小值为 5. 法二:由  1 2x y   ,得 2 1x y   , 则    4 42 1 1 2 1 1 51 1x y y yy y            , 当且仅当 2 1x y  ,即 1x  , 3y  时, 2x y 的最小值为 5.故选 B. 40 . 已 知  f x    2 4 21 x x xx    ,   xg x a  1, 2a x  , 若  1 2,x   ,  2 2,x   使得    1 2f x g x ,则实数 a 的取值范围是 A. 3 5a  B.1 2a  C.1 3a  D.1 5a  【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区 2020-2021 学年高三上学期第二次调考(理) 【答案】D 【解析】   2 4 1 x xf x x       21 1 4 1 x x x         4 41 1 2 1 1 51 1x xx x           , 取等号时 21 4x   且 2x  ,即 3x  ,   41 1 51f x x x      ,   xg x a ,若 1a  ,则  g x 为增函数,当 2x  时,   2g x a ,  1 2,x   ,  2 2,x   使得    1 2f x g x , 2 5 1 a a    ,解得1 5a  , 故实数 a 的取值范围为1, 5 ,故选 D. 【名师点睛】一般地,已知函数    , ,y f x x a b  ,    , ,y g x x c d  ,则有: 若  1 ,x a b  ,  2 ,x c d  ,有    1 2f x g x ,则  f x 的值域是  g x 值域的子集. 41.已知 0a  , 0b  ,直线 1l :  4 1 0x a y    , 2l : 2 2 0bx y   ,且 1 2l l , 则 1 1 1 2a b  的最小值为 A.2 B.4 C. 2 3 D. 4 5 【试题来源】江苏省南京市六校联合体 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考 【答案】D 【解析】因为 1 2l l ,所以 2 4 0b a   ,即 1 2 5a b   , 因为 0, 0a b  ,所以 1 0,2 0a b   , 所以 1 1 1 2a b   1 1 1 2a b      1 1 25 a b   1 2 125 1 2 b a a b       1 2 1 42 25 1 2 5 b a a b         ,当且仅当 3 5,2 4a b  时,等号成立.故选 D . 42.l 是经过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     焦点 F 且与实轴垂直的直线,A,B 是双曲线 C 的两个顶点,若在 l 上存在一点 P,使 45APB   ,则双曲线离心率的最大值为 A. 2 B. 3 C.2 D.3 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考(三) 【答案】A 【解析】设点 ( , )P c m (不妨设 0m  ),则有 2 2 2 2 2 tan tan 2tan( ) 11 tan tan 1 m m PBF PAF amc a c aPBF PAF mPBF PAF m b c a                 , 所以 2 2 1a bm m   有解.即 2 2bm am   有解,又 2 2bm bm   ,所以 2 2a b . 故1 2e  .故选 A. 43.已知 0x  , 0y  ,且 1 2 1x y   ,则 xy x y  的最小值为 A. 6 5 3 B. 7 4 3 C. 6 4 3 D. 7 5 3 【试题来源】江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体 2021 届高三统一联合考试(理) 【答案】B 【解析】由 1 2 1x y   可得出 2 1 xy x   ,再由 0x  , 0y  可得出 1x  ,    22 2 1 1 2 1 12 2 43 41 1 1 1 1 x xx xxy x y x x xx x x x x                             4 43 1 7 2 3 1 7 7 4 31 1x xx x            , 当且仅当 3 2 3 3 2 3 x y      时,等号成立,因此, xy x y  的最小值为 7 4 3 .故选 B. 44.四面体 ABCD 中, , , 2AB BC CD BC BC   ,且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60 .若四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A. 2 3 B. 4 3 C. 3 3 D. 3 6 【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考 【答案】A 【分析】构建直三棱柱 ABE FCD ,利用正弦定理得到 ABE△ 的外接圆半径,从而得到 AE,再利用等体积法将 A BCDV  转化为 D ABEV  ,结合基本不等式及余弦定理得到 ABE△ 面 积的最大值即可得到答案. 【解析】构建直三棱柱 ABE FCD ,设 ,G H 分别为 ,ABE CDF△ △ 的外心,连接 GH , 取其中点O ,则O 为直三棱柱 ABE CDF 的外接球的球心,也为四面体 ABCD 的外接球 的球心,因为异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ,所以 60ABE   . 设三棱柱底面 ABE△ 的外接圆半径为 r ,则 5 1 2r    , 2 sin 60 2 3AE r  ,再 由余弦定理, 2 2 2 2 22 cos60 12AE AB BE AB BE AB BE AB BE          , 所以 2 212 2AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE          , 即 12AB BE  ,当且仅当 2 3AB BE  时,等号成立, 所以 1 1 3sin60 2 33 2 6A BCD A DBE D ABEV V V AB BE DE AB BE             , 故四面体 ABCD 的体积的最大值为 2 3 .故选 A. 45.设 0a b c   ,则   2 21 12 10 25a ac cab a a b     取得最小值时, a 的值为 A. 2 B.2 C.4 D. 2 5 【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估 (理) 【答案】A 【解析】   2 21 12 10 25a ac cab a a b     2 21 1 ( ) ( ) 2 10 25( )ab a a b ab a a b a ac cab a a b            2 21 1 ( ) 10 25( )ab a a b a ac cab a a b         21 1 ( ) ( 5 )( )ab a a b a cab a a b        1 12 2 ( ) 0 4( )ab a a bab a a b        , 当且仅当 1 ( ) 1 5 ab a a b a c       ,即 2a  , 2 2b  , 2 5c  时,等号成立.故选 A. 二、填空题 1.函数 4 ( 1)1y x xx    的最小值为_________. 【试题来源】北京市丰台区 2021 届高三上学期期中练习 【答案】5 【解析】 1x Q , 1 0x   ,  4 41 1 2 1 1 51 1y x xx x            , 当 3x  时,等号成立.所以函数 4 ( 1)1y x xx    的最小值为5.故答案为5. 2.已知正数 ,x y 满足 3 4 1y x   ,则 3x y 的最小值为_________. 【试题来源】陕西省渭南市大荔中学 2020-2021 学年高三上学期第二次质量检测(文) 【答案】25 【解析】 正数 ,x y 满足 3 4 1y x   ,   3 4 3 12 3 123 3 13 2 13 2 12 13 25x y x yx y x y y x y x y x                   , 当且仅当 3 12x y y x  ,即 10, 5x y  时等号成立, 3x y 的最小值为 25.故答案为 25. 3.已知 0x  , 0y  且 1 9 1x y   ,求 x y 的最小值为_________. 【试题来源】广东省、珠海一中、金山中学三校 2021 届高三上学期 11 月联考 【答案】16 【解析】 0x > , 0y  且 1 9 1x y   ,   1 9 9 910 10 2 16x y x yx y x y x y y x y x                ( 当 且 仅 当 9x y y x  , 即 3y x 时取等号),  min 16x y   .故答案为16 . 【名师点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题,解题关键是能够灵活利用已知条件中 “1”的等式,将所求项配凑成符合基本不等式的形式. 4.在三角形 ABC 中, 5BC  , 12AC  , 13AB  ,在边 AB , AC 上分别取点 D , E 满足线段 DE 将三角形 ABC 分为面积相等的两个部分,则这样的 DE 的长度的最小值为 _________. 【试题来源】江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体 2021 届高三统一联合考试(理) 【答案】 2 3 【解析】因为三角形 ABC 为直角三角形,过 D 作 DF AC 于 F ,设 DF x 则 DF AF BC AC  即 12 5 12 5 x AF xAF   , 1 1 30152 2ADE ABCS AE x S AE x         , 30 12 5 xEF AE AF x      , 2 2 2 2 2 2 2 30 12 169 900 144 125 25 x xDE DF EF x x x              , 2DE 的最小值是 12, DE 的最小值是 2 3 .故答案为 2 3 . 5.设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 0na  , 3 3S  ,则 2a 的取值范围为_________. 【试题来源】浙江省台州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 (0,1] 【解析】设等比数列 na 的公比为 , 0q q  , 则 3 1 2 3 2 1 1 3S a a a a q q           ,所以 2 3 1 1 a q q    , 因为 1 11 2 1 3q qq q       ,当且仅当 1q  时,等号成立, 所以 3 11 1q q    ,所以 2 (0,1]a  .故答案为 (0,1]. 6.已知正实数 x,y 满足 x+y=1,则 2y x xy  的最小值为_________. 【试题来源】江苏省泰州市 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 4 2 6 【解析】由题意因为 1x y  ,所以   22 2 2 2y y yx y yx xy x xy x y x            ,   2 2 22 2 2 2 41 1 y y y y x yy x yy y x y y x                    2 2 2 2 3 24 4 4 2 6 41 y x y y x y y x y y x x y x x y              ,当且仅当 3 2y x x y  , 即 3 6, 6 2x y    时等号成立,故答案为 2 6 4 . 7.已知 x>0,y>0,且 x+3y=xy,若 t2﹣t≤x+3y 恒成立,则实数 t 的取值范围是_________. 【试题来源】江苏省淮安市高中校协作体 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 3,4 【解析】因为 3x y xy  ,所以 3 1 1x y   , 所以 3 1 9 93 ( 3 ) 6 6 2 12y x y xx y x y x y x y x y               , 当且仅当 6, 2x y  时,等号成立,因为 2 3t t x y   恒成立, 即 2 12t t  ,解得 3 4t   .所以实数 t 的取值范围是 3,4 .故答案为 3,4 . 8.已知正实数 ,a b 满足 1 2 1a b   ,则 ( 1)( 2)a b  的最小值为_________. 【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考 【答案】18 【解析】因为 1 2 1a b   ,则 2a b ab  , 所以 ( 1)( 2) 2 2 2(2 ) 2a b a b ab a b         1 22(2 )( ) 2a b a b     4 42(4 ) 2 2(4 2 ) 2 18b a b a a b a b          , 当且仅当 2b a ,即 2, 4a b  取等号.故答案为 18 9.在 ABC 中,点 F 为线段 BC 上任一点(不含端点),若  2 0, 0AF xAB yAC x y      , 则 1 2 x y  的最小值为_________. 【试题来源】福建省平和县第一中学 2021 届高三上学期期中考试 【答案】8 【解析】因为  2 0, 0AF xAB yAC x y      ,且点 F 在线段 BC 上, 则 2 1x y  ,且 0, 0x y  , 则  1 2 1 2 42 4 4 4 8y xx yx y x y x y              ,当且仅当 1 1,4 2x y  时等号成立. 故答案为 8. 10.若点  2,1A 在直线 1 0mx ny   上,且 0m  , 0n  .则 1 1 m n  的取值范围为 _________. 【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试 【答案】 3 2 2,   【解析】因为点  2,1A 在直线 1 0mx ny   上,所以 2 1m n  . 因为 0m  , 0n  , 所以  1 1 1 1 2 22 3 3 2 3 2 2m n m nm nm n m n n m n m                . 当且仅当 2m n n m  ,即 21 2m   , 2 1n   时取等号. 故 1 1 m n  的取值范围为 3 2 2,   .故答案为 3 2 2,   . 11.已知 A、B、P 是直线 l 上三个相异的点,平面内的点 O l ,若正实数 x、y 满足 4 2OP xOA yOB  uuur uur uuur ,则 1 1 x y  的最小值为_________. 【试题来源】备战 2021 年高考数学(文)一轮复习易错题 【答案】 3 2+4 2 【解析】因为 A、B、P 是直线上三个相异的点,4 2OP xOA yOB  uuur uur uuur ,即 2 4 x yOP OA OB  uuur uur uuur , 所以 12 4 x y  , 1 1 1 1 2 4 x y x y x y           3 4 4 2 y x x y    3 24 4 2 y x x y    3 2 4 2   , 当且仅当 4 2 y x x y  ,即 4 2 2x   , 4 2 4y   时取等号,故答案为 3 2+4 2 . 12 . 定 义 , , a a ba b b a b     , 若 , 0x y  , 则 2 2 2 2 4 16 16 xy y x xy x y              的 最 小 值 _________. 【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中 【答案】 9 4 【解析】令 yt x  ,则 2 2 2 4 4xy y t tx    在  0,  为增函数, 2 2 2 16 1 1 16 16 x xy y t t    在在 0,  为减函数, 从而 2 2 1 1 1 942 16 4t t t t          , 当且仅当 1 2t  时取等号.故答案为 9 4 . 13.已知首项与公比相等且不为 1 的等比数列 na 中,若 *,m nN ,满足 2 2 6m na a a ,则 2 1 m n  的最小值为_________. 【试题来源】天津市经济技术开发区第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 2 3 【分析】将 2 2 6m na a a 写成等比数列基本量 1a 和 q的形式,结合 1a q 可得 2 12m n  , 从而利用  2 1 1 2 1 212 m nm n m n         ,展开后使用基本不等式即得结果. 【解析】设等比数列 na 公比为 q,则首项 1a q , 由 2 2 6m na a a 得    2 21 1 5 1 1 1 m na q a q a q   ,则: 2 12m nq q  2 12m n   .  2 1 1 2 1 1 4 1 42 2 2 412 12 12 n m n mm nm n m n m n m n                               *,m n N 4 0, 0n m m n    则 4 42 4n m n m m n m n     (当且仅当 4n m m n  ,即 2n m 时取等号),即 min 4 4n m m n      ,   min 2 1 1 24 412 3m n          .故答案为 2 3 . 14.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 BC,CD 的动点,且 2BE CF ,设  AC xAE yAF x y R     , ,则 x y 的最大值是_________. 【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 2 1 2  【分析】设 CF a ,建立直角坐标系,求得 , ,AC AE AF    的坐标,根据题设用 a 表示出 x y , 再利用函数的性质,即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系,其边长为 2, CF a , 则 (0,0), (2,2), (2,2 ), (2 ,2)A C E a F a ,所以 (2,2), (2,2 ), (2 ,2)AC AE a AF a      , 由 ,( , )AC xAE yAF x y R     , 得 2 (2 ) 2 2 2 2 x a y ax y       , 解 得 2 2 2 2, (2 2 2 2 2 2 a ax ya a a a      其中 0 1)a  , 所以 2 2 2 2 2 ax y a a     , 令 2 [1,2]t a   , 则 2 1 1 2 1 22 2 22 2 22 tx y t t t t         , 当 且 仅 当 2t  时,即 2 2a   时取等号,所以 x y 的最大值为 2 1 2  .故答案为 2 1 2  . 15.若正实数 ,x y 满足  2 9xy x y  ,则 2x y 的最小值为_________. 【试题来源】湖北省部分重点中学 2020-2021 学年高三上学期第一次联考 【答案】 2 3 【 分 析 】 根 据 2 2 3 9 0x y xy   , 利 用 一 元 二 次 方 程 的 解 法 结 合 0x  , 得 到 2 2 1 36 2 2 yx y y     ,进而得到 2 2 362x y y y    ,利用基本不等式求解. 【解析】因为正实数 ,x y 满足  2 9xy x y  ,所以 2 2 3 9 0x y xy   , 解得 3 6 2 2 2 2 36 1 36 2 2 2 y y y yx yy y        , 因为 0x  ,所以 2 2 1 36 2 2 yx y y     , 所以 2 2 2 2 36 362 2 2 3x y y yy y       ,当且仅当 63 , 62x y   ,取等号, 所以 2x y 的最小值为 2 3 ,故答案为 2 3 . 三、双空题 1.已知 ,a b 均为正实数,且 1a b  ,则 28 1a ab  的最小值为_________,此时 a 的值为 _________. 【试题来源】天津市八校 2020-2021 学年高三上学期期中联考 【答案】8 1 4 【解析】因为 ,a b 均为正实数,且 1a b  ,所以 2 1a b  , 所以 2 2 2 2 2 2 2 28 1 8 ( ) 8 2 9 2a a a b a a ab b a b ab ab ab ab            9 92 2 2 8a b a b b a b a        ,当且仅当 9a b b a  ,即 1 3,4 4a b  时取等号, 所以 28 1a ab  的最小值为 8,故答案为 8; 1 4 2.已知二次函数 2y a bx c   ( a ,b ,c 均为正数)过点 1,1 ,值域为 0, ,则 ac 的 最大值为_________;实数  满足1 b a  ,则  取值范围为_________. 【试题来源】江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 1 16 2 2,   【解析】因为二次函数 2y a bx c   ( a ,b , c 均为正数)过点 1,1 , 1( 0, 0, 0)b c aa b c      , 开口向上且值域为 0, , 2 4 0b ac    , 2 ab c  , 2 1b c a ac ca       , 2( ) 1a c   , 1a c   , 1 2a c a c   … ,即 1 2ac„ ,当且仅当 1 4a c  时等号成立. 1 ,4ac  即 1 16ac  ,当且仅当 1 4a c  时等号成立, ac 的最大值为 1 16 (当且仅当 1 4a c  时最大), 21 (1 ) 2 2 1a b a c a a a a           , 1 12 2 2 2a a a a        , 2 2 1 1 1 a c a a b       ,即 2 2 0a a  , 0a a   ,  1 0, 0 1a a a a a        , 0 1a   , 12 2 2 2 2 2a a     … ,当且仅当 12 a a  时,即 1 2a  时,等号成立. 又 0 a  时, 1 a   , 2 2,    ,故答案为 1 16 ; 2 2,   . 3.已知 ABC 中, 2AB AC  ,则 BC 的取值范围是_________,若 AB AC ,则 BC 的最小值是_________. 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】 (0,2) 2 【解析】第一空: 0 2BC AB AC    ; 第二空:若 AB AC ,则 2 2 2 ( ) 22 AB BCBC AB BC     ,当 1AB AC  时 取等号.故答案为 (0,2) ; 2 . 4.已知 1x  ,则 4 1x x   的最小值为_________,此时 x 的值为_________. 【试题来源】北京市第七中学 2021 届高三上学期期中考试 【答案】5 3 【分析】先将 4 1x x   变形为  41 11x x    ,再根据基本不等式求解即可. 【解析】因为 1x  ,所以 1 0x   , 4 01x  , 所以    4 4 41 1 2 1 1 51 1 1x x xx x x             , 当且仅当   41 1x x    ,即 3x  时等号成立.故答案为5;3. 5.如图,将一个圆柱 2n(n∈N*)等分切割,再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体, 当 n 越大,重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”,若新几何体的表面积比圆柱的表面 积增加了 8,则圆柱的侧面积为_________,在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时, 它的外接球体积为_________. 【试题来源】陕西省榆林市 2020 届高三下学期第四次高考模拟(文) 【答案】8π 32 3  【解析】(1)由题知,表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面,设原圆柱的底面半 径为 r ,高为 h ,则可得 2 8rh  ,所以圆柱的侧面积为 2 8rh  ; (2)设圆柱的外接球的半径为 R ,依题得    2 2 22 2R r h  ,所以外接球的表面积  2 2 2 2 24 4 2 4 4 16S R r h r h rh            , 当且仅当 2r h 时, S 最小,此时 2R  ,外接球的体积 34 32 3 3V R   . 故答案为(1)8π;(2) 32 3  . 6.已知递增等差数列{an},其前 n 项和为 Sn, 2 2 8 53a a  ,则当公差 d 的值为_________时, S13 的最小值为_________. 【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属 2021 届高三年级上学期数学第三次月考试题 【答案】1 13 【分析】由 2 2 8 53a a  ,得 2 2 1 1( 7 ) 3 ( 4 )a d a d    ,化简可得 2 1 1 11 2 da d  ,从而可得 2 13 1 1113( 6 )2 dS dd   ,然后利用基本不等式可得答案 【解析】设等差数列{an}的公差为 d ( 0d  ), 因为 2 2 8 53a a  ,所以 2 2 1 1( 7 ) 3 ( 4 )a d a d    , 所以 2 2 2 2 1 1 1 114 49 3 8 16a a d d a a d d      ,化简得 2 12 11 1a d d  , 所以 2 1 1 11 2 da d  ,所以 1 13 7 13 7 1 13( ) 13 2 13 13( 6 )2 2 a a aS a a d      21 1113( 6 )2 d dd   1 113( ) 13 2 132 2 2 2 d d d d       ,当且仅当 1 2 2 d d  ,即 1d  时 取等号,所以当公差 1d  时, 13S 有最小值 13,故答案为 1,13. 7.已知正实数满足 2 29 1 3x y xy   ,则当 x  _________时, 1 3 1 x y xy   取得最小值是 _________. 【试题来源】湖北省鄂西北五校(宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中) 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】 1 3 9 【解析】因为 2 29 1 3x y xy   ,所以1 3 6xy xy  ,解得 1 3xy  ,当且仅当 3 1x y  , 即 1 , 13x y  时,取等号,所以   2 21 3 1 1 3 1 1 1 12 2 3 3 3 3 3 3 9x y xy x y xy xy xy xy                   , 所以 1 3 1 x y xy   的最小值是 9,故答案为 1 3 ,9. 8.已知 0, 0, 1x y xy   ,则 4x y 的最小值为_________,此时 x 的值为_________. 【试题来源】北京市朝阳区 2021 届高三上学期期中质量检测 【答案】 4 2 【解析】由 0, 0, 1x y xy   ,可得 1y x  , 则 4 44 2 4x y x xx x       ,当且仅当 4x x  时,即 12, 2x y  时等号成立, 所以 4x y 的最小值为 4 ,此时 2x  .故答案为 4 , 2 . 9.已知 0x  , 1y  ,则 2x y y x  的最小值是_________, 2 22 3 2x xy y y   最小值是 _________. 【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021 学年高三上学期 8 月线上模拟考试 【答案】 2 2 0 【解析】已知 0x  , 1y  ,则 2 22 2 2x y x y y x y x     , 当且仅当 2x y y x  ,即 2x y 时取等号,所以 2x y y x  的最小值是 2 2 . 因为    22 22 3 2 2 1x xy y y x y y y       ,且 0x  , 1y  , 所以当 1x y  时, 2 22 3 2x xy y y   有最小值 0.故答案为 2 2 ;0. 10.已知函数 3 21( ) 23f x ax x cx   在 R 上单调递增,且 4ac  ,则 2 24 4 a c c a   的 最小值为_________, sin ins ac xx  的最小值为_________. 【试题来源】江苏省苏州市新草桥中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考 【答案】 1 2 5 【解析】因为 3 21( ) 23f x ax x cx   在 R 上单调递增,则   2 4 0f x ax x c     , 所以 0, =16 4 0a ac    ,所以 4ac  ,因为 4ac  ,所以 4ac  ,则 0c  , 所以   2 4 2 2 2 2 3 2 4 16 16 1 4 8 16 4 44 4 4 44 44 4 ca c c cc c cc a c cc c c cc c c                                    , 因为 4 42 4c cc c     ,取等号时 2c  , 且函数   8g t t t   在 4, 上递增,所以    min 4 2g t g  , 所以 2 24 4 a c c a   的最小值为 1 12=4 2  ,取等号时 2a c  ; 因为 4sin sinsin sinx acx x x    ,因为对勾函数   4h x x x   在  0,1 上单调递减, 所以    min 1 5h x h  ,所以 sin ins ac xx  的最小值为5,取等号时sin 1x   , 故答案为 1 2 ;5.

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