2020-2021学年高一数学课时同步练习 第10课 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
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2020-2021学年高一数学课时同步练习 第10课 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

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时间:2020-12-23

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资料简介
第二单元 等式与不等式 第 10 课 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、基础巩固 1.下列一元二次方程的解集为空集的是(  ) A.x2+2x+1=0   B.x2+x+2=0 C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0 【答案】B  【解析】A.∵Δ=22-4×1×1=0,∴方程有两个相等的实数根,此选项不合题意; B.∵Δ=12-4×1×2=-7<0,∴方程没有实数根,此选项符合题意; C.∵Δ=0-4×1×(-1)=4>0,∴方程有两个不相等的实数根,此选项不合题意; D.∵Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴方程有两个不相等的实数根,此选项不合题意.故选 B. 2.用配方法解下列方程,配方正确的是(  ) A.2y2-4y-4=0 可化为(y-1)2=4 B.x2-2x-9=0 可化为(x-1)2=8 C.x2+8x-9=0 可化为(x+4)2=16 D.x2-4x=0 可化为(x-2)2=4 【答案】D  【解析】A.2y2-4y-4=0 可化为(y-1)2=3,故选项错误;B.x2-2x-9=0 可化为(x-1)2=10, 故选项错误;C.x2+8x-9=0 可化为(x+4)2=25,故选项错误;D.x2-4x=0 可化为(x-2)2=4,故选 项正确.故选 D. 3.一元二次方程 x2+6x+9=0 的解集情况是(  ) A.只有一个元素 B.有两个元素 C.为空集 D.不能确定有几个元素 【答案】A  【解析】∵Δ=62-4×1×9=0,∴一元二次方程 x2+6x+9=0 有两个相等的实数根,故选 A. 4.若 α,β是一元二次方程 3x2+2x-9=0 的两个根,则 β α+ α β的值是(  ) A. 4 27 B.- 4 27 C.- 58 27 D. 58 27 【答案】C 【解析】由题知 α+β=- 2 3,αβ=-3, 所以 β α+ α β= (α+β)2-2αβ αβ =- 58 27. 5.已知关于 x 的一元二次方程 mx2-(m+2)x+ m 4=0 有两个不相等的实数根 x1,x2.若 1 x1+ 1 x2=4m, 则 m 的值是(  ) A.2 B.-1 C.2 或-1 D.不存在 【答案】A 【解析】由题知{m ≠ 0, Δ=(m+2)2-4m·m 4 > 0, 解得 m>-1 且 m≠0. 因为 x1+x2= m +2 m ,x1x2= 1 4, 所以 1 x1+ 1 x2= x1+x2 x1x2 = m +2 m 1 4 =4m, 所以 m=2 或-1. 因为 m>-1,所以 m=2. 6.若 x1,x2 是一元二次方程 x2+x-2=0 的两个实数根,则 x1+x2+x1x2=________. 【答案】-3  【解析】由根与系数的关系可知,x1+x2=-1,x1x2=-2,∴x1+x2+x1x2=-3. 7.若关于 x 的一元二次方程 x2+2x-m=0 的解集中只有一个元素,则 m 的值为________. 【答案】-1  【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x-m=0 的解集中只有一个元素,∴Δ=b2-4ac=0,即 22-4(-m)=0,解得 m=-1. 8.一元二次方程 x2-2x-5 4=0 的某个根,也是一元二次方程 x2-(k+2)x+9 4=0 的根,求 k 的 值. 【答案】-7 或7 5 【解析】x2-2x-5 4=0, 移项得 x2-2x=5 4, 配方得 x2-2x+1=9 4,即(x-1)2=9 4, 开方得 x-1=±3 2, 解得 x1=5 2,x2=-1 2. ①把 x=5 2代入 x2-(k+2)x+9 4=0 中, 得 (5 2 )2-5 2(k+2)+9 4=0, 解得 k=7 5. ②把 x=-1 2代入 x2-(k+2)x+9 4=0 中, 得 (-1 2 )2+1 2(k+2)+9 4=0, 解得 k=-7. 当 k=7 5或-7 时,b2-4ac=(k+2)2-9 都大于 0, 综上所述,k 的值为-7 或7 5. 二、拓展提升 9.已知实数 x1,x2 满足 x1+x2=7,x1x2=12,则以 x1,x2 为根的一元二次方程是(  ) A.x2-7x+12=0    B.x2+7x+12=0 C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=0 【答案】A  【解析】由一元二次方程根与系数的关系 x1+x2=-b a,x1x2=c a即可判断 A 正确,故选 A. 10.已知关于 x 的方程 m(x+a)2+n=0 的解集是{-3,1},则关于 x 的方程 m(x+a-2)2+n=0 的 解集是________. 【答案】{-1,3}  【解析】把后面一个方程 m(x+a-2)2+n=0 中的 x-2 看作整体,相当于前面一个方程中的 x. ∵关于 x 的方程 m(x+a)2+n=0 的解集是{-3,1}, ∴方程 m(x+a-2)2+n=0 可变形为 m[(x-2)+a]2+n=0,此方程中 x-2=-3 或 x-2=1,解得 x=-1 或 x=3. ∴关于 x 的方程 m(x+a-2)2+n=0 的解集是{-1,3}. 11.在学习解一元二次方程以后,对于某些不是一元二次方程的方程,我们可通过变形将其转化 为一元二次方程来解.例如:解方程:x2-3|x|+2=0. 解:设|x|=y,则原方程可化为:y2-3y+2=0. 解得:y1=1,y2=2. 当 y=1 时,|x|=1,∴x=±1; 当 y=2 时,|x|=2,∴x=±2. ∴原方程的解是:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. 上述解方程的方法叫做“换元法”.请用“换元法”解决下列问题: (1)解方程:x4-10x2+9=0. (2)若实数 x 满足 x2+ 1 x2-3x-3 x=2,求 x+1 x的值. 【答案】(1)x1=1,x2=-1,x3=3,x4=-3 ;(2)x+1 x=4 【解析】 (1)设 x2=a,则原方程可化为 a2-10a+9=0, 即(a-1)(a-9)=0, 解得:a=1 或 a=9, 当 a=1 时,x2=1,∴x=±1; 当 a=9 时,x2=9,∴x=±3. ∴原方程的解是 x1=1,x2=-1,x3=3,x4=-3. (2)设 x+1 x=y,则原方程可化为:y2-2-3y=2,即 y2-3y-4=0, ∴(y+1)(y-4)=0, 解得:y=-1 或 y=4, 即 x+1 x=-1(方程无解,舍去)或 x+1 x=4, 故 x+1 x=4. 12.已知 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)= 3 2成立?若存在,求出 k 的值,若不存在,请说明理 由. (2)求使 x1 x2+ x2 x1-2 的值为整数的实数 k 的整数值. 【答案】(1)k=- 9 7;(2)k=-2 或 k=-3 或 k=-5 【解析】Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k(k≠0),Δ≥0,k

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