九年级上数学待定系数法求二次函数表达式专题复习一（含答案）.docx

专题复习一 待定系数法求二次函数表达式 二次函数表达式的三种形式：①一般式y=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x1)(x-x2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.‎ ‎1.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B).‎ A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+3‎ ‎2.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为点A(-2，-2)，且过点B(0，2)，则y关于x的函数表达式为(D).‎ A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2‎ ‎(第2题) (第3题) （第4题） (第8题)‎ ‎3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A).‎ A.y=-x2+x+2 B.y=-x2-x+2 C.y=-x2-x+1 D.y=x2-x-2‎ ‎4.如图所示，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-‎ 的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为(A).‎ A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2 C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+2‎ ‎5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1，2)和(-1，-6)两点，则a+c= -2 ．‎ ‎6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的表达式为 y=x2-4x+3 ．‎ ‎7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x＜2时，y随x的增大而减小；④当x＜2时，y＞0．‎ 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y=（x-2）2（不唯一） ．‎ ‎8.如图所示，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A1OB1，若点A的坐标为(2，1)，过点A，O，A1的抛物线的函数表达式为 y=x2-x ．‎ ‎9.根据下列条件求二次函数的表达式.‎ ‎(1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是-,,与y轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式．‎ ‎(2)二次函数图象的顶点在x轴上，且图象过点(2，-2)，(-1，-8)，求此函数的表达式．‎ ‎【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a（x+）（x-）.把点（0，-5）代入，得a××（-）=-5，解得a=.∴抛物线的函数表达式为y=（x+）（x-）=x2-x-5.‎ ‎(2)设抛物线的函数表达式为y=a（x-k）2.把点（2，-2）,（-1，-8）代入，得,‎ 解得,或.∴抛物线的函数表达式为y=-（x-5）2或y=-2（x-1）2.‎ ‎ （第10题）‎ ‎10.在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0，-2)，B(3，4).‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式及对称轴.‎ ‎(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D的纵坐标为t，记抛物线在A，B两点之间的部分为图象G(包含A，B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.‎ ‎【答案】(1)把点A(0，-2)，B(3，4)代入抛物线y=2x2+mx+n，得,解得.∴抛物线的函数表达式为y=2x2-4x-2，对称轴为直线x=1.‎ ‎（第10题答图）‎ ‎(2)如答图所示，作出抛物线在A，B两点之间的图象G.由题意得C(-3，-4)，二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4，由函数图象得出点D纵坐标的最小值为-4.设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C的坐标代入得,解得.∴直线BC的表达式y=‎ x.当x=1时，y=，∴t的取值范围是-4≤t≤.‎ ‎11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴为直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为(B).‎ A.(2，3) B.(2，1) C.(-2，1) D.(2，-1)‎ ‎12.若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为(D).‎ A.2 B.±2 C. D.±‎ ‎13.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D).‎ A.y=-x2+2x-5 B.y=ax2-2ax+a-3(a＞0)‎ C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a＜0)‎ ‎14.如图所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为点C，则AC长为 3 ．‎ ‎ (第14题) (第16题)‎ ‎15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2，-2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y=x2+2x或y=-x2+x ．‎ ‎16.如图所示，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上.若抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的函数表达式为 y=x2-2x+2 ．‎ ‎（第17题）‎ ‎17.如图所示，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=-x2+bx+c经过B，D两点.‎ ‎(1)求二次函数的表达式.‎ ‎(2)连结BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标.‎ ‎【答案】(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，∴CD=AB=1，OC=OA=2.‎ 则点B(2，1)，D(-1，2)，代入y=-x2+bx+c，得,解得.‎ ‎∴二次函数的表达式为y=-x2+x+.‎ ‎（第17题答图）‎ ‎(2)如答图所示，∵OA=2，AB=1，∴B(2，1).∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D(-1，2).∴点Q坐标为（，）.设直线OP的表达式为y=kx，将点Q坐标代入，得k=，解得k=3.∴直线OP的表达式为y=3x.由得,.∴点P的坐标为(1，3)或(-4，-12).‎ ‎ ‎ ‎ （第18题）‎ ‎18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过B(-2，6)，C(2，2)两点.‎ ‎(1)试求抛物线的函数表达式.‎ ‎(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积.‎ ‎(3)若直线y=-x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，求b的取值范围.‎ ‎【答案】(1)由题意,解得.∴抛物线的函数表达式为y=x2-x+2.‎ ‎ (2)如答图所示，∵y=x2-x+2= (x-1)2+.∴顶点D的坐标为（1，），对称轴为直线x=1.设直线BC的函数表达式为y=kx+b.将B（-2，6），C（2，2）代入，得,解得.∴直线BC的函数表达式为y=-x+4，∴对称轴与BC的交点H(1，3).∴S△BDC=S ‎△BDH+S△DHC=××3+××1=3.‎ ‎ (3)由消去y得x2-x+4-2b=0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1-4(4-2b)=0，解得b=.当直线y=-x+b经过点C时，b=3，当直线y=-x+b经过点B时，b=5.∵直线y=-x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，∴＜b≤3.‎ ‎（第19题）‎ ‎19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A).‎ A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1‎ ‎20.【广州】已知抛物线y1=-x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A(-1，5)，点A与y1的顶点B的距离是4.‎ ‎(1)求y1的函数表达式.‎ ‎(2)若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的函数表达式.‎ ‎【答案】(1)∵抛物线y1=-x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A(-1，5)，点A与y1的顶点B的距离是4.∴B(-1，1)或(-1，9).∴-=-1，=1或9，‎ 解得m=-2，n=0或8.∴y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8.‎ ‎ (2)①当y1=-x2-2x时，抛物线与x轴的交点是(0，0)和(-2，0).∵y1的对称轴与y2交于点A(-1，5)，∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-2，0).把(-1，5)，(-2，0)代入得,解得 ‎.∴y2=5x+10.②当y1=-x2-2x+8时，令-x2-2x+8=0，解得x=-4或2.∵y2随着x的增大而增大，且过点A(-1，5)，∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-4，0).把(-1，5)，(-4，0)代入 得,解得.∴y2=x+.综上可得y2=5x+10或y2=x+.‎ ‎21.如图所示，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)．‎ ‎ (1)求B，C两点的坐标．‎ ‎(2)求该二次函数的表达式．‎ ‎(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎(4)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．‎ ‎(第21题) 图1 图2‎ ‎（第21题答图）‎ ‎【答案】(1)令x=0，可得y=2;令y=0，可得x=4，∴B,C两点的坐标分别为B（4，0），C（0，2）.‎ ‎(2)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点A，B，C的坐标代入表达式得,解得.∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+2.‎ ‎(3)存在.∵y=-x2+x+2=- (x-)2+，∴抛物线的对称轴是直线x=.∴OD=.∵C（0，2），∴OC=2.在Rt△OCD中，由勾股定理得CD=.∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD.如答图1所示，作CH⊥对称轴直线x=于点H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4.∴P1(，4)，P2(，)，P3(，-).‎ ‎(4)如答图2所示，过点C作CM⊥EF于点M，设E（a，-a+2），F（a，-a2+a+2），∴EF=-a2+a+2-（-a+2）=-a2+2a（0≤a≤4）.∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN=+a（-a2+2a）+（4-a）（-a2+2a）=-a2+4a+=-（a-2）2+，∴当a=2时，四边形CDBF的面积最大，最大面积为，此时点E坐标为（2，1）.‎