高中数学考点《空间几何体的表面积和体积》专项训练题

1．三视图的识别和简单应用； 2．简单几何体的表面积与体积计算． 1．空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等． (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体． 2．空间几何体的两组常用公式 (1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝1 2ch′(c 为底面周长，h′为斜高/母线)； ③S 台侧＝1 2(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高/母线)； ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝1 3Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝4 3πR3． 热点一　空间几何体的三视图与直观图 【例 1】　(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它 由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方 盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯 视图可能是(　　) 专题三 第 1 讲　空间几何体的表面积和体积 立体几何 考向预测 知识与技巧的梳理 热点题型(2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于(　　) A．4 2 B． 34 C． 41 D．5 2 解析　(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线， 因此，选项 B 可以是几何体的俯视图． (2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥 P－ABC(如 图所示)． 棱锥最长的棱长 PA＝ 25＋16＝ 41． 答案　(1)B　(2)C 探究提高　1．由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟悉常见几何体的 三视图． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面． (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置． (3)确定几何体的直观图形状． 【训练 1】 (1)(2017·兰州模拟)如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图的面积之和为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所 示，则该几何体的侧视图为(　　) 解析　(1)设点 P 在平面 A1ADD1 的射影为 P′，在平面 C1CDD1 的射影为 P″，如图所示． ∴三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图分别为△P′AD 与△P″CD， 因此所求面积 S＝S△P′AD＋S△P″CD＝1 2×1×2＋1 2×1×2＝2． (2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，故其侧视图为图②． 答案　(1)B　(2)B 热点二　几何体的表面积与体积 【例 2】　(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20π B．24π C．28π D．32π (2)(2017·山东卷)由一个长方体和两个1 4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________． 解析　(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h． 由三视图知 r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4． 所以 l＝ 22＋（2 3）2＝4． 故该几何体的表面积 S 表＝πr2＋ch＋1 2cl＝4π＋16π＋8π＝28π． (2)该几何体由一个长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体和两个半径为 1，高为 1 的1 4圆柱体构成，所以 V＝2×1×1 ＋2×1 4×π×12×1＝2＋π 2． 答案　(1)C　(2)2＋π 2． 探究提高　1．由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度 量大小．(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式． 2．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 3．求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解． 【训练 2】 (1) (2017·枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体 积是1 3，则它的表面积是________．(2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　) A．1 3＋2 3π B．1 3＋ 2 3 π C．1 3＋ 2 6 π D．1＋ 2 6 π 解析　(1)由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去 4 个三棱锥后剩余的内接正三棱锥 B－ A1C1D(如图所示)． 设正方体的棱长为 a，则几何体的体积是 V＝a3－4×1 3×1 2a2·a＝1 3a3＝1 3， ∴a＝1，∴三棱锥的棱长为 2， 因此该三棱锥的表面积为 S＝4× 3 4 ×( 2)2＝2 3． (2)由三视图知该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为 2 2 ，从而该几何体的 体积为1 3×12×1＋1 2×4 3π×( 2 2 )3 ＝1 3＋ 2 6 π． 答案　(1)2 3;(2) C． 热点三　多面体与球的切、接问题 【例 3】　(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC ＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是(　　) A．4π B．9π 2 C．6π D．32π 3 解析　由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10． 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为 r． 则1 2×6×8＝1 2×(6＋8＋10)·r，所以 r＝2． 2r＝4＞3，不合题意． 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大． 由 2R＝3，即 R＝3 2． 故球的最大体积 V＝4 3πR3＝9 2π． 答案　B 探究提高　1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面 解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归 为平面问题． 2．若球面上四点 P，A，B，C，PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方 体确定直径解决外接问题． 【训练 3】 (2017·月考)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动点．若三 棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析　因为△AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 O－ABC 的体积取得最大值．由1 3× 1 2R2×R＝36，得 R＝6．从而球 O 的表面积 S＝4πR2＝144π． 答案　C1．(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何 体的体积是28π 3 ，则它的表面积是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 2．(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一 平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 3．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为(　　) A．π B．3π 4 C．π 2 D．π 4 4．(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平 面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S－ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________． 1．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是(　　) （45 分钟）限时训练 经典常规题 高频易错题A．2 B．9 2 C．3 2 D．3 2．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　) A．π 2＋1 B．π 2＋3 C．3π 2 ＋1 D．3π 2 ＋3 3．(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥 的体积是________． 4．(2017·江苏卷)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体 积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1 V2的值是________． 5．(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝D1F＝4．过点 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值． 1．(2017·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　) 精准预测题A．π B．2π C．3π D．8π 2．(2017·衡阳联考)如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为(　　) A．6π B．2 3π＋ 3 C．4π D．2π＋ 3 3．(2017·衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(　　) A．41 41 48 π B．41 4 π C．4π D．4π 3 4．体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 5．(2017·沈阳质检)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点 O 为 AC 中点． (1)证明：A1O⊥平面 ABC； (2)求三棱锥 C1－ABC 的体积．参考答案 1．【解题思路】 该几何体是由球切出来的，算表面积时不应忘了切面的面积． 【答案】　由题知，该几何体的直观图如图所示， 它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的1 8后得到的组合体，其表面积是球面面积的7 8和三 个1 4圆面积之和，易得球的半径为 2，则得 S＝7 8×4π×22＋3×1 4π×22＝17π．故选 A． 2．【解题思路】 该几何体是由圆柱切出来的． 【答案】　法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所 示． 将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积 加上上部分圆柱体积的1 2，所以该几何体的体积 V＝π×32×4＋π×32×6×1 2＝63π． 法二　(估值法)由题意知，1 2V 圆柱