证明猜想与拓展教学设计.doc

1 综合与实践 猜想、证明与拓广 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习 后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九 上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累 了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。 二、教学任务分析 猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究， 先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中 让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培 养学生直观“判断”和正确“猜想”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法 中拓展思维。猜想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明. 由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，发 展学生的推理能力和探究能力.教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自 行找到解决问题的方法。 为此，本节课的教学目标是： 1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意 识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。 2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之 间的内在联系，理解证明的必要性。 3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。 教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的 体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法. 教学难点：在问题解决过程中的策略和方法。2 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：提出问题，猜想探究；第二环节： 思维拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思， 方法提炼；第五环节：布置作业，巩固所学。 第一环节：提出问题，猜想探究； 问题(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分 别是已知正方形周长和面积的 2 倍？ （教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路： 1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。 2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。3、由于任意两个 正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比 和面积比不可能同时为 2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都 应该给与肯定和表扬。） 证明方法为：解：设给定的正方形的边长为 a，则其周长为 4a,面积为 a2,周 长扩大两倍后为 8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方 形的面积的 2 倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍 为 2a2，则边长应为 ，此时周长应为 4 ，不是 4a 的两倍，无论从哪个角 度考虑，都不存在这样的正方形。 问题（2）任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的 2 倍? （教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考， 一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问 题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后， 再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一 些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。） 如果已知矩形的长和宽分别为 2 和 1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴 a2 a23 交流. 总结如下:有三种思路可以选择: ①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为 x，将问题化为方程 x(6－ x)=4 是否有解的问题. ②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为 x，将问题转化为方程 x+4/x=6 是否有解的问题. ③也可以根据已知矩形的长和宽分别为 2 和 1,那么其周长和面积分别为 6 和 2,所求矩形的周长和面积同时扩大 2 倍后应分别为 12 和 4,设其长和宽分别为 x 和 y,则得方程组 x+y=6 ，xy=4 然后讨论它的解是否符合题意. 然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得 到一个猜想。从而将探究活动推向第二环节拓展思维，证明猜想。将学生的思维 逐渐推向高潮。 第二环节：拓展思维，证明猜想； 当已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时，是否仍然有相同的结论？ 解:当已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时,那么其周长和面积分别为 2(m+n), 和 mn,所求的矩形周长和面积为 4(m+n)和 2mn.设所求矩形的长为 x,那么宽为 2(m+n)－x,根据题意,得 x［2(m+n)－x]=2mn.整理得 －2(m+n)x+2mn=0 解得 经检验 , 符合题意,所以存在 这样一个矩形。 于是得到结论：任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分 别是已知矩形周长和面积的 2 倍。 引导学生继续将问题向纵深拓展:既然存在倍增关系的矩形，那么是否存在 减半的矩形呢？ 第三环节：问题拓广，自主探究； 由学生提出问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的 2 x 1x 2x22 1 mnmnx +++= 22 2 mnmnx +−+=4 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ (教学策略：此问题提出后，学生也会有两种解决问题的思想，一种就是顺 承上面问题的解决思路完成此题的探究过程，另一种也可能会有小明一样的想法。 若是学生中未出现小明的思路，则让学生阅读课本，然后判断小明的想法是否正 确.此问题要求学生在自主探究的基础上，小组合作细化完成解答过程。) 学生通过如上问的探究：发现当已知矩形的长和宽为 2 和 1,3 和 1,4 和 1,5 和 1 时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 一半. 于是就可能会得到一个猜想，一定不存在这样减半的矩形。 于是进行一般情况下的对猜想的证明。设已知矩形的长和宽分别为 n,m,所 求矩形的长为 x，那么有 x〔 （n+m）－x〕= mn.得到一元二次方程的根的判 别 式 . 而 此 时 不 总是大于 0 的，也不总是小于 0 的，于是此题的结论不是一定不存在，而是有选 择性的存在，当 ≥0，这样的矩形存在，而当 ≤0 时 这样的矩形不存在。 并请几个学生举几个存在的特例，让学生更直观的感受一下这个结论。 第四环节：总结反思，方法提炼； （1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系. （2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合 的思想方法，体会证明的必要性. （3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思 路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让 学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野. 第五环节：布置作业，巩固所学； 2 1 2 1 )6(4 1 2 3 4 1 4 14 22222 mnmnmnmnacb −+=−+=− mnmn 622 −+ mnmn 622 −+ mnmn 622 −+5 1、181 页 1,2,3. 2、写篇小论文，把课题学习探索的过程 和探索得到的结果及你的感受体验整 理成数学小论文。