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第一章 勾股定理
回顾与思考
一、学生起点分析
通过前面三节的学习,学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识,并能
应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,因而学生已经具备解决本课
问题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了
很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流
的能力.
八年级学生已初步具有几何图形的观察,几何证明的理论思维能力.他们希
望老师创设便于他们进行观察的几何环境,给他们发表自己见解和表现自己才华
的机会,希望老师满足他们的创造愿望,让他们实际操作,使他们获得施展自己
创造才能的机会.但对于勾股定理的综合应用,还需要学生具备一定的分析、归
纳的思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能
力并不是很成熟,可能部分同学会有一些困难.
二、教学任务分析
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它揭示了直角三角形三边
之间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位,它有着悠久
的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用,勾股
定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数
学习必要的基础,具有学科的基础性与广泛的应用.
本课时教学是复习课,强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学
生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流,
强化应用意识,培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索,
感受数学的美,以提高学习兴趣.
为此,本节课的教学目标是:
①让学生回顾本章的知识,同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验
证的过程,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.
②在回顾与思考的过程中,提高解决问题,反思问题的能力.2
③在反思和交流的过程中,体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理
历史的再认识,培养爱国主义精神,体验科学给人来带来的力量.
三、教学过程设计
本节课设计了六个环节.第一环节:情境引入;第二环节:知识结构梳理;
第三环节:合作探究;第四环节:拓展提升;第五环节:交流小结;第六环节:
布置作业.
第一环节 情境引入
勾股定理,我们把它称为世界第一定理.它的重要性,通过这一章的学习已
深有体验,首先,勾股定理是数形结合的最典型的代表;其次,了解勾股定理历
史的同学知道,正是由于勾股定理得发现,导致无理数的发现,引发了数学的第
一次危机,这一点,我们将在《实数》一章里讲到,第三,勾股定理中的公式是
第一个不定方程,有许许多多的数满足这个方程,也是有完整的解答的最早的不
定方程,最为著名的就是费马大定理,直到 1995 年,数学家怀尔斯才将它证
明.
勾股定理是我们数学史的奇迹,我们已经比较完整地研究了这个先人给我们
留下来的宝贵的财富,这节课,我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了
解勾股定理的历史,勾股定理的应用.
目的:
通过对勾股定理历史及地位的解读,让学生了解知识脉络及前后联系,激发
学习探究热情.
效果:
从历史的深度提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基
础.
第二环节:知识结构梳理
本章知识要点及结构:
(第 1—6 题由学生独立思考完成,小组代表展示)
1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,如果用
和 分别表示直角三角形的直角边和斜边,那么__________ .
,a b
c 2c=3
2.勾股定理各种表达式:
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边也分别为 ,则
=_________, =_________, =_________.
3.勾股定理的逆定理:
在△ABC 中,若 三边满足___________,则△ABC 为___________.
4.勾股数:
满足___________的三个___________,称为勾股数.
5.几何体上的最短路程是将立体图形的________展开,转化为_________上
的路程问题,再利用___________两点之间,___________解决最短线路问题.
6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?
(教师引导,小组讨论、总结)
从边的关系来说,当然就是勾股定理;从角度的关系来说,由于直角三角形
中有一个特殊的角即直角,所以直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形作为一个特殊的三角形.如果又有一个锐角是 ,那么 的
角所对的直角边时斜边的一半.
7.举例说明,如何判断一个三角形是直角三角形.
判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断.
(1)从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形.
例如:①在△ABC 中, ,根据三角形的内角和定理,可
得 ,根据定义可判断△ABC 是直角三角形.
② 在 △ ABC 中 , , 由 三 角 形 的 内 角 和 定 理 可 知 ,
, , ,△ABC 是直角三角形.
(2)从边出发来判断一个三角形是直角三角形.其实从边来判断直角三角
形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理).
例 如 : ① △ ABC 的 三 条 边 分 别 为 , 而
,根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角
形,但这里要注意的是 b 所对的角 .
②在△ABC 三条边的比为 ,△ABC 是直角三角形.
, ,a b c c
b c
, ,a b c
30° 30°
75 15B C∠ = ° ∠ = °,
90A∠ = °
1 1
2 3A B C∠ = ∠ = ∠
A 30∠ = ° 2 60B A∠ = ∠ = ° 3 90C A∠ = ∠ = °
7 25 24a b c= = =, ,
2 2 2 2 22 6257 2524a c b+ = + = = =
90B∠ = °
: : 5:12:13a b c =4
8.通过回顾与思考中的问题的交流,由同学们自己建立本章的知识结构图.
(小组内展示自己总结的知识框图,相互交流完善知识框图;每个小组选取
一名代表,展示本组的知识框图.)
三边的关系--勾股定理→历史、应用
直角三角形
直角三角形的判别→应用
目的:
复习与直角三有形有关的知识,加强知识的前后联系,把勾股定理及判定纳
入直角三角形的知识体系中,把以前的零散的知识形成知识体系.通过学生相互
交流,整理知识框图复习本章知识点,自觉内化到自身的知识体系中.
效果:
学生有独立思考的空间,与有合作交流的舞台,动静结合,相得益彰.
第三环节:合作探究
内容:
探究一:利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为 3、4,求第三边长的平方.
解:(1)当两直角边为 3 和 4 时,第三边长的平方为 25;
(2)当斜边为 4,一直角边为 3 时,第三边长的平方为 7.
注意事项:
因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为 3 和 4 时,斜
边长为 5.但这一理解的前提是 3、4 为直角边.而本题中并未加以任何说明,
因而所求的第三边可能为斜边,但也可能为直角边.
探究二:利用勾股定理求图形面积:
1.求出下列各图中阴影部分的面积.
{
_(3)
2
15
图(1)阴影部分的面积为____;(答案:1)
图(2)阴影部分的面积为____;(答案:81)
图(3)阴影部分的面积为____;(答案:5)
2. 已知 Rt△ABC 中, ,若 ,求 Rt△ABC 的
面积.
探究三:利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度
1. 在 △ ABC 中 , 的 对 边 分 别 为 , 且
,则( ).
(A) 为直角 (B) 为直角 (C) 为直角 (D)不
是直角三角形
解: ,∴ .故选(A).
注意事项:
因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为 ,因而有同学就习惯
性的认为 就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误.该
题中的条件应转化为 ,即 ,因根据这一公式进行判断.
2.已知△ABC 的三边为 a,b,c,有下列各组条件,判定△ABC 的形状.
(1) ;
(2) .
解:(1)(2)均为直角三角形.
探究四:勾股定理及逆定理的综合应用:
B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东 方向以每小时 8 n mile 的速度
前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进,2 小时后,甲船到
90C∠ = ° 14 10a b cm c cm+ = =,
ABC
2 2 2
2 2
2 2
1 1S 22 4
1 ( ) ( )4
1 ( )4
1 (14 10 )4
24.
ab ab
a b a b
a b c
∆ = = ×
= + − +
= + −
= × −
=
解:
A B C∠ ∠ ∠, , a b c, ,
2( )( )a b a b c+ − =
A∠ C∠ B∠
2 2 2a b c− =
2 2 2a b c= +
C∠
C∠
2 2 2a b c− = 2 2 2a b c= +
41 40 9a b c= = =, ,
)(,, 0nmmn2cnmbnma 2222 >>=+=−=
60°6
M 岛,乙船到 P 岛,两岛相距 34 n mile,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
解:甲船航行的距离为 BM= (n mile),
乙船航行的距离为 BP= (n mile).
∵ ,∴ ,
∴△MBP 为直角三角形,∴ ,∴乙船是沿着南偏东 方向航
行的.
注意事项:
勾股定理的使用前提是直角三角形,而本题需对三角形做出判断,判断的依
据是勾定理的逆定理,其形式为“若 ,则 .学生容易不先对
三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算.
目的:
通过对四大问题的探究,培养同学们归纳知识的能力,并将各种数学基本思
想方法渗透其中,如对数形结合思想的渗透,鼓励学生由代数表示联想到几何图
形,由几何图形联想到有关代数表示,从而认识数学的内在联系.如对分类讨论
的渗透,培养学生严谨的数学态度.
效果:
探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题,这种贴近生活的实例,
训练学生解决实际问题的能力,通过学生的解答和讨论,让学生自我解决疑难,
既是对所学知识的巩固应用,又让学生体验成功的喜悦.
第四环节:拓展提升
内容:
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为
“赵爽弦图”(如图 1).图 2 由“弦图”变化得到,它是由八个全等的直角三角
形拼接而成.记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT 的面积分别为
S1,S2,S3,若 S1+S2+S3=10,则 S2 的值是 .
8 2 16× =
15 2 30× =
2 2 216 30 1156,34 1156+ = = 2 2 2BM BP MP+ =
90MBP∠ = ° 30°
2 2 2a b c+ = 90C∠ = °7
(答案为 )
目的:
学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民的
聪明才智,在我们的数学史上,好多结论的发现都是这样一个过程,都是从几个
或大量的特例中发现规律,大胆猜想出结论,然后以前面的理论作为基础,证明
猜想,一个伟大的成果就诞生了,掌握这种研究数学的方法,大胆创新,刻苦钻
研,说不一定你就是未来的商高,第二个赵爽.
效果:
运用勾股定理和方程思想解决实际问题,让学生体会生活中处处皆数学,并
且使新知得到了巩固,能力得到了训练,认识得到了升华.
第五环节:交流小结
内容:
师生相互交流总结:
1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法?
2.你在学习过程中是否积极参与?是否与同伴进行了有效的合作交流?
目的:
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定
理的广泛应用及它们的悠久历史.
效果:
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结解决问题的思路与方法,并
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赞叹我国古代数学的成就.
第六环节:布置作业
1.课本《复习题》.
2.思考题:一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形 DEFH
的边长为 2 m,坡角 m.当正方形 DEFH 运动到什么
位置,即当 AE= m 时,有 .
(答案为: .)
四、教学设计反思
本节课是复习课,利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题.勾股定理是
在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的,它揭示了一个三
角形三条边之间的数量关系,而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是
直角三角形.针对我班学生的知识结构和心理特征,本节课的设计思路是引导学
生“‘做’数学”,先由浅入深,在学生的自主探究与合作交流中解决问题,这
样既遵循了学生的认知规律,又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数
学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入,归纳知
识--综合练习,应用知识—课堂小结三部分,发展学生应用数学的意识与能力,
增强了学生学好数学的愿望和信心.让学生自己绘制知识网络图,进一步体会本
章所学知识之间的前后联系,并培养了学生这方面的能力.设计的题目既考察了
对基本知识的掌握情况,又注重了综合课的特点,注重对所学知识的综合利
用.设计的问题尽量与实际问题有联系,体现了数学来源于实际,又应用于生活
实际,这一点符合新课标的要求.
A 30 B 90 BC 6∠ = ° ∠ = ° =, ,
2 2 2DC AE BC= +
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附:板书设计
回顾与思考
一 情境引入
二 本章知识结构
三边的关系--勾股定理→历史、应用
直角三角形
直角三角形的判别→应用
三 合作探究
探究一:利用勾股定理求边长
探究二:利用勾股定理求图形面积
探究三:利用勾股定理及逆定理判定△ABC 的形状或求角度
探究四:勾股定理及逆定理的综合应用
四 拓展与提升
五 交流小结
六 布置作业
{