全等三角形判定一（提高）知识讲解

1 全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边边边”，判定方法 2——“角边角”，判定方法 3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】 【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】 要点一、全等三角形判定 1——“边边边” 全等三角形判定 1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果 ＝AB， ＝AC， ＝BC，则△ABC≌△ . 要点二、全等三角形判定 2——“角边角” 全等三角形判定 2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠ ，AB＝ ，∠B＝∠ ，则△ABC≌△ . 要点三、全等三角形判定 3——“角角边” 1.全等三角形判定 3——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或 “AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就 可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者 是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC 和△ADE 中，如果 DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠ A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. ' 'A B ' 'A C ' 'B C ' ' 'A B C 'A ' 'A B 'B ' ' 'A B C2 要点四、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等 的三角形中，可以证这两个三角形全等； 2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； 3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 1——“边边边” 1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE. 【答案与解析】 证明：在△ABD 和△ACE 中， ∴△ABD≌△ACE（SSS） ∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）. 【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综 合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是 △BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等. 举一反三： 【变式】（2014 秋•双峰县校级期中）如图，已知 AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB， 应添加条件是　 　． 【答案】AC=DB. 类型二、全等三角形的判定 2——“角边角” 2、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出∠ABC 的平分线 BF，交 AC 于点 F；然后证明：当 AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG 时，DE＝BF. AB AC AD AE BD CE =  =  =3 【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明： ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠C ∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG 在△DAE 与△BCF 中 ∴△DAE≌△BCF（ASA） ∴DE＝BF 【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角 (线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出 所要证的角(线段)相等． 举一反三： 【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例 7】 【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ＝NQ． 求证：HN＝PM. 【答案】 证明：∵MQ 和 NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2 在△MPQ 和△NHQ 中，    ∠=∠ = ∠=∠ CDAC BCAD CBFADG4 ∴△MPQ≌△NHQ（ASA） ∴PM＝HN 类型三、全等三角形的判定 3——“角角边” 3、（2016•黄陂区模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，过 C 点作直线 l， 点 D，E 在直线 l 上，连接 AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB． 【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据 AAS 证△ADC≌△CEB． 【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ADC 和△CEB 中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． 【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、 AAS 等．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参 与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线 MN．过点 C 作 CE⊥MN 于点 E，过点 B 作 BF⊥MN 于点 F．当点 E 与点 A 重合时（如图 1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角 板绕点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不 成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【思路点拨】过 B 作 BH⊥CE 与点 H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等， 即可证得 AF＋BF＝2CE． 【答案与解析】 解：图 2，AF＋BF＝2CE 仍成立， 证明：过 B 作 BH⊥CE 于点 H， 1 2 MQ NQ MQP NQH ∠ = ∠  = ∠ = ∠5 ∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90° ∴∠CBH＝∠ACE 在△ACE 与△CBH 中， ∴△ACE≌△CBH．（AAS） ∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF， ∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC． 【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三： 【变式】已知 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为 AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 于 E、F．当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE⊥AC 于 E 时（如图 1），易证 ；当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情 况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明. 【答案】 解：图 2 成立； 证明图 2： 过点 作 则 在△AMD 和△DNB 中， 90 ACH CBH AEC CHB AC BC ∠ = ∠ ∠ = ∠ = °  = 1 2DEF CEF ABCS S S+ =△ △ △ D DM AC DN BC⊥ ⊥， 90DME DNF MDN∠ = ∠ = ∠ = ° 图 2 A D BC E M N F6 ∴△AMD≌△DNB（AAS） ∴DM＝DN ∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°， ∴∠ MDE＝∠NDF 在△DME 与△DNF 中， ∴△DME≌△DNF（ASA） ∴ ∴ 可知 ， ∴ 类型四、全等三角形判定的实际应用　 5、（2015 春•龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高 AB，在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P．测得旗杆顶 C 视线 PC 与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角∠APB=54°， 量得 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度相等，等于 10 米，量得旗杆与楼之间距离为 DB=36 米，小 强计算出了楼高，楼高 AB 是多少米？ 　　　　　 【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用 AB=DP=DB﹣PB 求出即 可． 【答案与解析】 　解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°， 　　∴∠DCP=∠APB=54°， 　　在△CPD 和△PAB 中 　　∵ ， AMD= DNB=90 A B AD BD ∠ ∠ ° ∠ = ∠  = 90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠ = ∠ = °  = ∠ = ∠ DME DNFS S=△ △ DEF CEFDMCN DECFS =S =S S .+△ △四边形 四边形 ABCDMCN 1S = S2 △四边形 1 2DEF CEF ABCS S S+ =△ △ △7 　　∴△CPD≌△PAB（ASA）， 　　∴DP=AB， 　　∵DB=36，PB=10， 　　∴AB=36﹣10=26（m）， 　　答：楼高 AB 是 26 米． 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB 是解题关 键 ．8 【巩固练习】 一、选择题 1．（2014 秋•西秀区校级期末）如图，△ABC 中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（　　） 　A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE 　C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对 2. 如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（ ） A.△BAC≌FED B. △BDA≌FCE C. △DEC≌CAD D. △BAC≌FCE 3. 如图，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（ ） A.AE＝EC B.∠D＝∠A C.BE＝BC D.∠1＝∠DEA 4. 下列判断中错误的是（ ） A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 5. △ABC 和△ 中, 条件 ①AB ＝ , ②BC ＝ , ③ AC＝ , ④ ∠A ＝ ∠ , ⑤ ∠B ＝ ∠ , ⑥ ∠C ＝ ∠ , 则下列各组条件中, 不能保证△ABC≌△ 的是( ) A.①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥ 6．如图，点 A 在 DE 上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则 DE 的长等于（ ） A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC ' ' 'A B C ' 'A B ' 'B C ' 'A C 'A 'B 'C ' ' 'A B C9 二、填空题 7. 已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，判定定理为 AAS，需要添加条件 ______；或添加条件______，证明全等的理由是 ASA. 8.（2014 秋•白云区期末）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，若直接推得△ABD≌△ACD，则其 根据是__________. 9.（2016•滨湖区一模）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE，且 AB=DE，请添加一 个条件　 　，使△ABC≌△DEF． 10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对. 11．如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A、C 到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则 EF 的 长是___________． 12. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.10 三、解答题 13．（2016 春•会宁县期中）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，直线 l 经过点 C（点 A、B 都在直线 l 的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为 D、E． 求证：△ADC≌△CEB． 14. 已知：如图， 中， ， 于 ， 于 ， 与 相交于点 ．求证： . 15.（2014 秋•杭州期末）如图，DC∥AB，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于 E，过 E 的直线 分别交 DC、AB 于 C、B 两点.求证：AD＝AB＋DC. 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B． 2. 【答案】D； 3. 【答案】A； 【解析】D 选项可证得∠D＝∠A，从而用 ASA 证全等. 4. 【答案】B； 【解析】C 选项和 D 选项都可以由 SSS 定理证全等. ABC△ 45ABC∠ = ° CD AB⊥ D BE AC⊥ E BE CD F BF AC=11 5. 【答案】C； 【解析】C 选项是两边及一边的对角对应相等，不能保证全等. 6. 【答案】C； 【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB. 二、填空题 7. 【答案】∠2＝∠1；∠E＝∠F. 8. 【答案】AAS； 9. 【答案】∠A=∠D 或∠ACB=∠F； 【解析】解：可添加条件为∠A=∠D 或∠ACB=∠F． 理由如下：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF． ∵在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 故答案是：∠A=∠D 或∠ACB=∠F． 10.【答案】6； 【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ ABC≌△CDA. 11．【答案】3； 【解析】由 AAS 证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3. 12.【答案】66°； 【解析】可由 SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝ ，所以∠DCB＝ ∠ABC＝25°＋41°＝66° 三、解答题 13.【解析】 证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ADC 和△CEB 中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． 14.【解析】 证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 82 412 ° = ° CD AB⊥ 90BDC CDA∠ = ∠ = ° 45ABC∠ = ° 45DCB ABC∠ = ∠ = ° DB DC= BE AC⊥ 90AEB∠ = ° 90A ABE∠ + ∠ = °12 ∵ ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ （AAS） ∴ 15.【解析】 证明：延长 DE 交 AB 的延长线于 F ∴∠CDE＝∠F, ∠CDA＋∠BAD＝180º ∵DE 平分∠CDA,AE 平分∠DAB ∴∠CDE＝∠ADE＝ ∠CDA, ∠DAE＝∠EAF＝ ∠BAD ∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º ∴∠AED＝∠AEF＝90º 在△ADE 与△AFE 中 ∴△ADE≌△AFE （AAS） ∴DE＝EF,AD＝AF 在△DCE 与△FBE 中 ∴△DCE≌△FBE （ASA） ∴DC＝BF ∴AD＝AB＋DC. 90CDA∠ = ° 90A ACD∠ + ∠ = ° ABE ACD∠ = ∠ BDF∆ CDA∆ BDC CDA DB DC ABE ACD ∠ = ∠  = ∠ = ∠ BDF∆ CDA∆ BF AC= 2 1 2 1    = ∠=∠ ∠=∠ AEAE FEADEA FADE    ∠=∠ = ∠=∠ FEBDEC FEDE FCDE F E D C BA