三角形及其性质(提高)知识讲解

1 三角形及其性质（提高）知识讲解 责编：康红梅 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 6. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ ABC”，读作“三角形 ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母 AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母 a、b、c 来表示，边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类： 要点诠释：      直角三角形 三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形2 ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点诠释： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长 线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长， 可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 要点五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或 角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从 不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字 语言 从三角形的一个顶点向它的 对边所在的直线作垂线，顶 点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶 点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线 与它的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线段． 图形 语言 作图 语言 过 点 A 作 AD ⊥ BC 于 点 D． 取 BC 边的中点 D，连接 AD． 作∠BAC 的平分线 AD， 交 BC 于点 D． 标示 图形 符号 语言 1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 边上 1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中 BC 1．AD 是△ABC 的角平分 线．      不等边三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形3 的高． 3．AD⊥BC 于点 D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90 °． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 边上的中线． 3．BD＝DC＝ BC 4 ．点 D 是 BC 边 的 中 点． 2．AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D． 3 ．∠1 ＝∠2 ＝ ∠BAC． 推理 语言 因为 AD 是△ABC 的高，所 以 AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为 AD 是△ABC 的中 线，所以 BD＝DC＝ BC． 因为 AD 平分∠BAC，所 以∠1＝∠2＝ ∠BAC． 用途 举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意 事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要 特征 三角形的三条高(或它们的 延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线， 它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分 线，它们交于三角形内一 点． 要点六、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳 定性。 要点诠释： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它 就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不 变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的 各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们 又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变 形． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．在△ABC 中，若∠A＝ ∠B＝ ∠C，试判断该三角形的形状． 【思路点拨】由∠A＝ ∠B＝ ∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B 和 ∠C 的度数，从而判断三角形的形状． 【答案与解析】 解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x． 由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有 x+2x+3x＝180°． 解得 x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°． 故△ABC 是直角三角形． 【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙． 举一反三： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 34 【变式 1】（2015 春•泰兴市期末）如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE∥CB，交 AB 于点 E， ∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE 各内角的度数． 【答案】 解：∵∠A=45°，∠BDC=60°， ∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°． ∵BD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠DBC=∠EBD=15°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE=∠DBC=15°； ∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°． 【高清课堂：与三角形有关的角 练习（3）】 【变式 2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 【答案】3,2． 2.在△ABC 中，∠ABC＝∠C，BD 是 AC 边上的高，∠ABD＝30°，则∠C 的度数是 多少? 【思路点拨】按△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论． 【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当△ABC 为锐角三角形时，如图所示，在△ABD 中， ∵ BD 是 AC 边上的高(已知)， ∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)． 又∵ ∠ABD＝30°(已知)， ∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°． 又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝120°，5 又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°． (2)当△ABC 为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD 中， ∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°． ∴ ∠BAC＝120°． 又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ABC+∠C＝60°． ∴ ∠C＝30°． 综上，∠C 的度数为 60°或 30°． 【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解 答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解 和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节． 类型二、三角形的分类 3.一个三角形一个内角的度数是 108°，这个三角形是（ ）三角形；一个三角形三 条边的长度分别是 7cm，8cm，7cm，这个三角形是（ ）三角形. 【答案】钝角；等腰 举一反三： 【变式】一个等腰三角形的边长为 5cm 和 4cm，围成这个等腰三角形至少需要（ ）cm 长的 绳子，最多需要（ ）cm 长绳子（接头忽略不计）. 【思路点拨】对于所给边长要分类讨论：当 4cm 为腰长时，需要绳子的长度最短；当 5cm 为 腰长时，需要绳子的长度最长. 【答案】13；14 类型三、三角形的三边关系 4. （2015 春•太康县期末）在△ABC 中，AB=9，AC=2，并且 BC 的长为偶数，求△ABC 的周长． 【答案与解析】 解：根据三角形的三边关系得： 9﹣2＜BC＜9+2， 即 7＜BC＜11， ∵BC 为偶数， ∴AC=8 或 10， ∴△ABC 的周长为：9+2+8=19 或 9+2+10=21． 【总结升华】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意 第三边是偶数这一条件． 举一反三： 【变式】三角形的三边长为 2，x-3，4，且都为整数，则共能组成　　　　个不同的三角形. 当 x 为　　　　 时，所组成的三角形周长最大.6 【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有 4-2