弧、弦、圆心角

24.1.3 弧、弦、圆心角圆是中心对称图形吗?它的对 称中心在哪里? · 一、思考 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心.N O 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度.N O N'  把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度.N O N'  把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度.N O N'  把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度.N O N'  定 理 ： 把 圆 绕 圆 心 旋 转 任 意 一 个 角 度 后， 仍 与 原 来 的 圆 重 合。 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度. 由此可以看出，点N'仍落在圆上。· 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心 角. O B A 二、概念 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？ 为什么？ ·O A B ·O A B A′ B′ A′ B′ 三、探究 · O B A′ B′ A 根据旋转的性质，将 圆心角∠AOB绕圆心 O旋转到∠A′OB′的位 置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′， 射线OA与OA′重合， OB与OB′重合． 而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′， 从而点A与A′重合，B 与B′重合． 因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合 ． ⌒AB ⌒A1B1=同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心 角______，所对的弧_________． 这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 相等 相等 相等 相等 四、定理证明：∵AB=AC ∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形． 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O 五、例题 例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°， 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，_________________． （2）如果 = ，那么____________，______________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O AB=CD AB=CD 相 等 因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以△AOB ≌ △COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高， 所以 OE = OF. 六、练习 ⌒CD⌒AB ⌒AB ⌒CD= ⌒AB ⌒CD=2.如图，AB是⊙O的直径， , ∠COD=35°， 求∠AOE的度数． ·A O B C DE 解： ⌒BC ⌒CD= = ⌒DE ⌒BC ⌒CD= = ⌒DE1°弧 n° 1° n°弧 ∵把圆心角等分成360份,则每 一份的圆心角是1º.同时整个圆 也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧. 这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角. 性质:弧的度数和它所对圆心角的度数 相等.1.在半径相等的⊙O和⊙O 中,AB和A B 所对的圆心 角都是60°. (1)AB和A B各是多少度? (2)AB和A B 相等吗? (3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么? 2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那 么 每一份弧是多少度? 3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等. ⌒⌒ ⌒ ´ ´ ´ ´ ⌒ ´ ´ ´ ⌒ ⌒ 结束 试一试例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为4cm，求AB的长 O A B CO A B C D 　如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. ⌒⌒⌒⌒ ∴ AB=BC=CD=DA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º AB=BC=CD=DA(圆心角定理) 点此继续 知识延伸弧的度数 圆心角定理的应用 圆心角定理 圆心角的定义 学生练习 圆的旋转不变性