1．已知集合A=R,B=R₊,f：A→B是从A到B的一个映射，若f：x→2x－1，则B中的元素3的原象为                           （    ）

       A．－1　　　          B．1　　　              C．2　                     D．3

　　2．函数f(x)＝的定义域是　                                               （　   ）

       A．－∞，0]　　   B．[0，＋∞　      C．（－∞，0）　     D．（－∞，＋∞）

　　3．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f[f()]＝                          (    )

　A． －         B．0            C．           D．1

　　4．若函数f(x) = + 2^x + log₂x的值域是 {3, －1, 5 + , 20}，则其定义域是               (     )

　　(A) {0，1，2，4}    (B) {，1，2，4}   (C) {，2，4}  (D) {，1，2，4，8}

　　5．反函数是                                      （   ）

　A.              B.    

　C.          D.

　　6.若任取x_1，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有成立，则称f(x) 是[a，b]上的凸函数。试问：在下列图像中，是凸函数图像的为      （    ）                                                 

　　7．.函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

  　　  A．(0，)             B．( ，＋∞)    C．(－2，＋∞)              D．(－∞,－1)∪(1,＋∞)

　　8．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是                    （   ）

　　　A.   B.    C.    D.

　　9．设函数|| + b+ c 给出下列四个命题：

　①c = 0时，y是奇函数                   ②b0 , c >0时，方程0 只有一个实根

　③y的图象关于(0 , c)对称              ④方程0至多两个实根

  　　 其中正确的命题是                                                    （    ）

　　A．①、④        B．①、③        C．①、②、③     D．①、②、④

　　10．已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x²-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)≥g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)<g(x)时,F(x)=f(x).那么F(x)         (      )

         　A．有最大值7-2,无最小值          B． 有最大值3,最小值-1 

　C．有最大值3,无最小值                D．无最大值,也无最小值

　　11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是     （    ）

    　   A． 

    　   B．

　C．   

　D．

　　12．设定义域为R的函数f（x）满足，且f（－1）＝，则f（2006）的值为                  （    ）

      　 A．－1                     B．1                       C．2006                    D．

　　二、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分）

　　13．已知a,b为常数，若则    .

　　14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f^－1(x)，f (4)＝0，则f^－1(4)＝    　.

　　15．若对于任意a[－1,1], 函数f(x) = x+ (a－4)x + 4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是                           .

　　16．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0，使得|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数，给出下列函数：

　　①f(x)=0；     ②f(x)=x²；     ③f(x)=(sinx+cosx)；    ④f(x)=；　　⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意实数x₁，x₂，均有|f(x₁)－f(x₂)|≤2|x₁－x₂|。则其中是F函数的序号是___________________

　　三、解答题（本题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）判断y=1-2x³ 在(-)上的单调性，并用定义证明。

　　18．（本小题满分12分）二次函数f（x）满足且f（0）=1.

(1)    求f（x）的解析式;

(2)     在区间上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

　　19．（本小题满分12分）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.

　　（1）求函数f(x)的解析式；

   　（2）设k>1，解关于x的不等式；.

　　20．（本小题满分12分）已知某商品的价格上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正的常数。

　　（1）当m=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

　　（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围

　　21．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x²+x)=f(x)－x²+x.

　　（Ⅰ）若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

　　（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0?)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

　　22．（本小题满分14分）已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．

　　（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

　　（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

　　（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．

　　（4）（理科生做）研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

南昌市高中新课程复习训练题

数学（函数（一））参考答案

　　一、选择题

　　二、填空题

　　(13).2；  (14). －2 ；(15). (-∞?1)∪(3,+∞) ；(16). ①④⑤

　　三、解答题

　　17．证明：任取x₁,x₂R,且-<x₁<x₂<+

　　f(x₁)-f(x₂)=(1-2x³₁)-(1-2x³₂)=2(x³₂-x₁³)=2(x₂-x₁)(x²₂+x₁x₂+x²₁)=2(x₂-x₁)[(x₁+x₂)²+x¹₂] ∵x₂>x₁∴x₀-x₁>0,又（x₁+x₂）²+x₁²>0, ∴f(x₁)-f(x₂)>0即f(x₁)>f(x₂)故f(x)=1-2x³在（-，+）上为单调减函数。

　　或利用导数来证明（略）

　　18. 解： (1)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.

　　　　∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.

　　　　　即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x²-x+1.

　　　　(2)由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

　　　　　设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.

　　　　　　故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1.        

　　　19．解：（1）将得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③.

　　20．解：（1）设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。

　　　　　　由题设：当价格上涨x%时，销售总额为y=a(1+x%)b(1－mx%)，

　　　　　　即 ，（0<x<），

　　　　　　取m=得：y=，当x=50时，y_max=ab，

　　　　　　即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。

　　　（2）二次函数，在上递增，在上递减，

　　　适当地涨价能使销售总金额增加，即 在(0,)内存在一个区间，使函数y在此区间上是增函数，所以  ， 解得，即所求的取值范围是（0，1）．

　　　21．解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x² + x)=f(x)－ x² +x，

　　　　　所以f(f(2)－ 2²+2)=f(2)－2²+2.

　　　　　又由f(2)=3，得f(3－2²+2)－3－2²+2，即f(1)=1.

　　　　　若f(0)=a，则f(a－0²+0)=a－0²+0，即f(a)=a.

　　　（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－x² +x)=f(x)－x² +x.

　　　　　又因为有且只有一个实数x₀,使得f(x₀)- x_0.所以对任意xεR，有f(x)－x² +x= x_0.

　　　　　在上式中令x= x₀,有f(x₀)－x + x₀₌ x_0,

　　　　　又因为f(x₀)－ x₀，所以x₀－x=0，故x₀=0或x₀=1.

　　　　　若x₀=0，则f(x)－ x² +x=0，即f(x)= x² －x.

　　　　　但方程x² －x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x₂≠0.

　　　　　若x₂=1,则有f(x)－x² +x=1，即f(x)= x² －x+1.易验证该函数满足题设条件.

　　　　　综上，所求函数为f(x)= x² －x+1（xR）

　　　 22．解：（1）易知，时，。

　　（2）＝＋是偶函数。易知，该函数在上是减函数，在上是增函数；  则该函数在上是减函数，在上是增函数。

　　　（3）推广：函数，

　　当为奇数时，，是减函数；，是增函数。            

　　　　　 ，是增函数；，是减函数。

　　　当为偶数时，，是减函数；，是增函数。   ，是减函数；，是增函数。

　　　　（4）（理科生做）＝＋

　　　　　当时，。

       　　　　 ∴，是减函数；，是增函数。

       　　 ∵

　　∴函数＝＋在区间[，2]上的最大值为，最小值为。