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第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．
考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
（2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构
2.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法
；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O
｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量
｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-b
b=-a
a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
3.向量的运算
|
运算类型
|
几何方法
|
坐标方法
|
运算性质
|
|
向量的
加法
|
1.平行四边形法则
2.三角形法则
|
|
|
|
向量的
减法
|
三角形法则
|
|
,
|
|
数
乘
向
量
|
1. 是一个向量,满足:
2. >0时, 同向;
<0时, 异向;
=0时, .
|
|
|
|
向
量
的
数
量
积
|
是一个数
1. 时，
.
2.
|
|
|
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥b
a＝λb(b≠0)
x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b
a·b＝O
x1x2＋y1y2＝O.
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段
所成的比为λ，即
＝λ
，则
＝
＋
(线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：
＝
（
＋
）或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
则
＝
+a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理
正弦定理：
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/
2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
[海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图：
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
]
则：①AE=
=1/2（b+c-a）
②BN=
=1/2（a+c-b）
③FC=
=1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=
（如图3）.
⑹在△ABC中，有下列等式成立
.
证明：因为
所以
，所以
，
结论！
⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则
.
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有
①
在△ABC中，由余弦定理有
②，②代入①，化简
可得，
（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线，
；
②若AD是∠A的平分线，
，其中
为半周长；
③若AD是BC上的高，
，其中
为半周长.
⑻△ABC的判定：
△ABC为直角△
∠A + ∠B =
＜
△ABC为钝角△
∠A + ∠B＜
＞
△ABC为锐角△
∠A + ∠B＞
附：证明：
，得在钝角△ABC中，
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示
同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
平行于
记作
．
当我们说向量
、
共线（或
//
）时，表示
、
的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量
、
（
≠
），
//
的充要条件是存在实数λ，使
＝λ
.
推论：如果
为经过已知点A且平行于已知非零向量
的直线，那么对于任意一点O，点P在直线
上的充要条件是存在实数t满足等式
．
其中向量
叫做直线
的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面
和向量
，作
，如果直线
平行于
或在
内，那么我们说向量
平行于平面
，记作：
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量
不共线，
与向量
共面的充要条件是存在实数
使
推论：空间一点
位于平面
内的充分必要条件是存在有序实数对
，使
或对空间任一点
，有
①
①式叫做平面
的向量表达式
7
空间向量基本定理：
如果三个向量
不共面，那么对空间任一向量
，存在一个唯一的有序实数组
，使
推论：设
是不共面的四点，则对空间任一点
，都存在唯一的三个
有序实数
，使
8
空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量
，在空间任取一点
，作
，则
叫做向量
与
的夹角，记作
；且规定
，显然有
；若
，则称
与
互相垂直，记作：
.
9．向量的模：
设
，则有向线段
的长度叫做向量
的长度或模，记作：
.
10．向量的数量积：
．
已知向量
和轴
，
是
上与
同方向的单位向量，作点
在
上的射影
，作点
在
上的射影
，则
叫做向量
在轴
上或在
上的正射影.
可以证明
的长度
．
11．空间向量数量积的性质：
（1）
．（2）
．（3）
．
12．空间向量数量积运算律：
（1）
．（2）
（交换律）（3）
（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令
=(a1,a2,a3),
，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
)
②空间两点的距离公式：
.
（2）法向量：若向量
所在直线垂直于平面
，则称这个向量垂直于平面
，记作
，如果
那么向量
叫做平面
的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面
的法向量，AB是平面
的一条射线，其中
，则点B到平面
的距离为
.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设
分别是二面角
中平面
的法向量，则
所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
方向相同，则为补角，
反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线
平面
，
，且CDE三点不共线，则a∥
的充要条件是存在有序实数对
使
.（常设
求解
若
存在即证毕，若
不存在，则直线AB与平面相交）.
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